Dyshja e renditur dhe prodhimi kartezian i bashkësive

Nga Wikibooks
Jump to navigation Jump to search
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet
Bashkësitë

Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare
Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Bashkësinë prej dy elementeve a, b mund ta formojmë duke shkruar {a, b} ose {b, a} , sepse rendi i numërimit të elementeve nuk e cilëson bashkësinë, por vetëm përbërja e saj. Prandaj:

(a, b):{a, b}{b, a}.

Ndërkaq, (a, b) quhet dyshja e renditur (rregulluar), ku a është elementi i parë, e b i dytë, andaj

(a, b)(b, a), nëse ab.

Relacioni përkufizues i barazisë së dy dysheve të renditura (a, b), (c, d) është :

(a, b)(c, d) Barazpër.PNG acbd. (...17)

Në mënyrë analoge përkufizohet edhe treshi i renditur (a, b, c).

Prodhimi kartezian[redakto]

Përkufizimi[redakto]

Prodhimi kartezian [1] i bashkësive A, B quhet bashkësia e dysheve të renditura (a, b) me vetinë aA, bB[2] , pra

Formulimi i përkufizimit[redakto]

ABBarazpër.PNG {(a, b)aA, bB}. (...18)

Simboli[redakto]

Katrori kartezian[redakto]

P.sh.: {a, b, c} {c, d} {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, c), (c, d)} . Prodhimi AA quhet katrori kartezian (ose katrori i Dekartit) dhe shënohet me A2 , pra :

A2{(a, b)a, bA}. (...19)

Paraqitja e grafit[redakto]

Në paraqitjen e grafit të prodhimit kartezian AB në sistemin koordinativ xOy elementet e tij (a, b) trajtohen si pika, ku a quhet abshisa, kurse b ordinata e pikës. Kështu p.sh.:

  • (1) Në sistemin koordinativ xOy pikat e zeza paraqesin grafin e prodhimit kartezian {1, 2, 3} {2, 3, 4, 5}  ; ndërsa
  • (2) Në sistemin koordinativ xOy fusha e hijesuar paraqet grafin e prodhimit kartezian të bashkësive A{xa<x<b} dhe B{yc<y<d}.

Prodhimi kartezian i n-bashkësive[redakto]

Prodhimi kartezian i tri bashkësive A, B, C përkufizohet me këtë relacion :

A B C Barazpër.PNG {(a, b, c)a A, bB, cC}. (...20)

Formulimi[redakto]

A1A1A3 . . . AnAk.

Simboli[redakto]

Prodhimi kartezian i n bashkësive A1, A2 , A3 , . . . , An shënohet me simnbolin Ak (lexo : pi Ak , k prej 1 deri në n).

Vetitë[redakto]

Ligji distributiv ndaj unionit[redakto]

Të vërtetohet relacioni

A (BC)(AB)(AC)

që shpreh ligjin distributiv të prodhimit kartezian ndaj unionit.

       V ë r t e t i m : Skema e vërtetimit:
  • (1) Vërtetohet se A(BC)Inkluzion.PNG(AB)(AC),
  • (2) Vërtetohet se (AB)(AC)Inkluzion.PNGA(BC) ; dhe
  • (3) Nxirret konkluzioni se A(BC)(AB)(AC).

Le të supozojmë se (a, b) është cilido element i bashkësisë A (BC), nga marrim këto ekuivalenca:

(a, b)A(BC)
(aA, bBC)
{aA, bB bC)
(aA, bB) (aA, bC)
(a, b)AB (a, b)AC
(a, b)(AB)(AC).

Meqë ekuivalenca

(a, b)A(BC)(a, b)(AB)(AC)

vlen për secilën dyshe të renditur të bashkësisë A(BC), pra :

((a, b)A(BC)) (a, b)A(BC}(a, b)(AB)(AC)

konkludojmë se janë të sakta inkluzionet (1) dhe (2). Nga këto inkluzione, e në bazë të përkufizimit 2.1.3., marrim se

A(BC)(AB)(AC),

çka duhej të vërtetohej .


  1. 12) Prodhimi kartezian quhet edhe prodhim i kombinuar ose prodhim i Dekartit, sipas emrit të matematikanit të shquar francez Rene Descartes (1596-1650).
  2. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).