Ligji i De Morganit

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet Bashkësitë Kuptimi i tyre Përcaktimi Relacioni i përkatëshmërisë Bashkësia boshe Bashkësitë numerike Nënbashkësistë Mbibashkësitë Nënbashkësia e vërtet Koncepti i bashkësive Barazia e bashkësive Bashkësitë ekuipotente‎ Bashkësitë e fundme dhe pafundme‎ Veprimet me bashkësi Prerja e bashkësive Unioni i bashkësive Diferenca e bashkësive Ligji i De Morganit Diferenca simetrike e bashkësive Ligjet themelore të veprimeve me bashkësi Dyshja e renditur Prodhimi kartezian Relacionet Pasqyrimet Veprimet binare Grupi Unaza, Trupi dhe Fusha

Të vërtetohen relacionet:

(A$\scriptstyle {\cup }$B)'$\scriptstyle {=}$A'$\scriptstyle {\cap }$B' dhe (A$\scriptstyle {\cap }$B)'$\scriptstyle {=}$A'$\scriptstyle {\cup }$B'

që paragesin ligjet e De Morganit.

V ë r t e t i m : Të vërtetojmë relacionin e parë. Vërtetimi bëhet sipas skemës:

(1) vërtetohet se (A$\scriptstyle {\cup }$B)'A'$\scriptstyle {\cap }$B' ;

(2) vërtetohet se A'$\scriptstyle {\cap }$B'(A$\scriptstyle {\cup }$B)' ; dhe

(3) nxirret konkludirni se (A$\scriptstyle {\cup }$B)'$\scriptstyle {=}$A'$\scriptstyle {\cap }$B'.

(1) vërtetimi i inkluzionit (A$\scriptstyle {\cup }$B)'A'$\scriptstyle {\cap }$B'.

Le të supozojmë se x është cilido një element i bashkësisë (A$\scriptstyle {\cup }$B)', atëherë marrim këto implikacione:

x$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\cup }$B)'$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \not \in$A$\scriptstyle {\cup }$B$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \not \in$A$\scriptstyle \land$x$\scriptstyle \not \in$B$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle \land$x$\scriptstyle \in$B'$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle {\cap }$B'.

Meqë, implikacioni x$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\cup }$B'$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle {\cap }$B' vlen për secilin element të bashkësisë (A$\scriptstyle {\cup }$B)', respektivisht

($\scriptstyle {\forall }$x$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\cup }$B)')x$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\cup }$B'$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle {\cap }$B'.

konkludojmë se (A$\scriptstyle {\cup }$B)'A'$\scriptstyle {\cap }$B'.

(2) Vërtetimi i inkluzionit A'$\scriptstyle {\cap }$B'(A$\scriptstyle {\cup }$B)':

Le të supozojmë tani se y është cilido një element i bashkësisë A'$\scriptstyle {\cap }$B', atëherë kemi këto implikacione:

y$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle {\cap }$B'$\scriptstyle {\Rightarrow }$y$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle \land$y$\scriptstyle \in$B'$\scriptstyle {\Rightarrow }$y$\scriptstyle \not \in$A$\scriptstyle \land$y$\scriptstyle \not \in$B$\scriptstyle {\Rightarrow }$y$\scriptstyle \not \in$A$\scriptstyle {\cup }$B$\scriptstyle {\Rightarrow }$y$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\cup }$B)'.

Meqë edhe këtu implikacioni y$\scriptstyle \in$A,$\scriptstyle {\cap }$B'$\scriptstyle {\Rightarrow }$y$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\cup }$B)' vlen për secilin element të bashkësisë A'$\scriptstyle {\cap }$B' respektivisht :

($\scriptstyle {\forall }$y$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle {\cap }$B') y$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle {\cap }$B'$\scriptstyle {\Rightarrow }$y$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\cup }$B)',

konkludojmë se A'$\scriptstyle {\cap }$B'(A$\scriptstyle {\cup }$B)'.

(3) Nga inkluzionet të vërtetuara nën (1) dhe (2) dhe në bazë të përkufizimit 2.1 .3. :

(A$\scriptstyle {\cup }$B)'A'$\scriptstyle {\cap }$B'	$\displaystyle {\}}$ $\scriptstyle \Leftrightarrow$(A$\scriptstyle {\cup }$B)'$\scriptstyle {=}$A'$\scriptstyle {\cap }$B',
A'$\scriptstyle {\cap }$B'(A$\scriptstyle {\cup }$B)'

konkludojmë se është i saktë relacioni që shpreh ligjin e parë të De Morganit. Në mënyrë analoge bëhet vërtetimi i ligjit të dytë .

---