Grupi dhe nëngrupi

Nga Wikibooks
Shko tek: lundrim, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare

Grupi

Unaza, Trupi dhe Fusha

Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :

Përkufizimi[redakto]

Semigrupi (A, ) që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element a A ekziston elementi invers a-1 A.[1]

Sistemi i aksiomave të grupit[redakto]

Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët lidhur me veprimin binar është grup, nëse plotësohen këto kushte :

(a1) Bashkësia është e mbyllur lidhur me veprimin binar , pra:
 ;
(a2) Veprimi binar është asociativ, pra :
 ;
(a3) Në bashkësinë ekziston elementi neutral për veprimin binar , pra :
 ; dhe
(a4) Për secilin element ekziston elementi invers ashtu që :
.

Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.

Llojet e grupit[redakto]

Nëse veprimi binar është komutativ, quhet grup komutativ ose abelian[2]. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, , respektivisht quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.

P.sh. grupe aditive janë : , ndërkaq grupe multiplikative janë : ku . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.

Grupi aditiv dhe multiplikativ[redakto]

P.sh.: Të tregohet se bashkësia në lidhje me mbledhjen sipas është grup aditiv , kurse bashkësia në lidhje me shumëzimin, sipas , është grup multiplikativ .

Zgjidhje: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas , respektivisht duket kështu:

Nga këto tabela shihet se:

(1) është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas :

(2) është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas  :

Veprimet në grup[redakto]

Në përgjithësi, kur në grupin  :

- veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit përdoret simboli , atëherë quhet grup aditiv ; ndërsa kur
- veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit përdoret simboli , atëherë quhet grup multiplikativ.

Për grupin aditiv (A, ) elementi neutral shënohet me 0 , kurse elementi invers (i kundërt) me - a .

       S h e m b u l l i  20. -  - Të tregohet se bashkësia në lidhje me veprimin të përkufizuar me formulën :
është grup (A, ) .
       Z g j i d h j e : : Meqë bashkësia A në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :


(a1)


(a2)
(a3) dhe
(a4)

konkludojmë se është grup aditiv.

Grupi i fundëm dhe i pafundëm[redakto]

Grupi quhet i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia a është fundme apo e pafundme.

Përkufizimi[redakto]

Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit a A , i tillë që me përsëritjen e veprimit a riprodhohen të gjitha elementet e bashkësisë A.[3]

Elementi përlindës[redakto]

       Elementi i tillë a quhet përlindëse e grupit (A, ).
       S h e m b u l l i  21 -  Grupi (A, •), ku A është grup ciklik me dy përlindëse: dhe .Vërtet: etj.

Vetitë e grupit[redakto]

Prej aksiomave (a1) - (a4) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të grupit:

Vetia e elementit invers[redakto]

       V e t i a 1.-Nëse në grupin (A, ) a-1 është element invers i elementit a, edhe elementi a është invers për elementin a-1 , d.m.th. (a-1)-1 a.

Kjo veti për grupin aditiv (A, ) ka këtë trajtë: -(-a)a.

Vetia e rrënjës[redakto]

       V e t i a 2.- Në grupin (A, ) secili barazim

(1) axb,2) yab

ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën . x a-1 b, kurse për barazimin (2) trajtën y b a-1 .

       Për grupin aditiv abelian {{mate|(A, ) barazimet
a xb dhe y ab
kanë një zgjidhje të përbashkët: xy(-a) bb (-a)b-a.

Vetit e implikuacioneve[redakto]

       V e t i a 3.- Në grupin (A, ) vlejnë këto implikacione:
a b ac bc,
baca b c.
       Në grupin aditiv abelian (A, ) vlen implikacioni
a ba c bc.

Vetia e vlerfshmëris së barazimit[redakto]

       V e t i a 4.- Në secilin grup (A, ) vlen barazia:
(ab)-1b-1a-1 .

Në grupin aditiv abelian (A, ) kjo veti shprehet me formulën:

-(a b)(-a) (-b).

Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit[redakto]

       Le të jenë (A, ), (B, ) dy grupe dhe h:A→B pasqyrimi bashkësisë i A në bashkësinë B. Thuhet se grupet (A, ) dhe (B, ) janë homomorfe, kurse pasqyrimi h homorfizëm i grupit (A, ) në grupin (B, ) , nëse (fig. 1.17.):
(a, b A) h (a b) h (a) h (b) .(...51)
       Kur h (A)B, h quhet homomorfizëm i grupit (A, ) mbi grupin (B, ) ose homomorfizëm surjektiv apo epimorfizëm (fig. 1.18.).
Fig. 1.18. Fig. 1.17.
       Nëse e dhe e' janë elementet neutrale të grupeve homomorfe (A, ) dhe (B, ), atëherë kemi:
h (a) h (a e) h (a) h (e) h (e) e',
h (a) h (e a) h (e) h (a)
çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit (A, ) është element neutral i grupit (B, ).
       T e o r e m a  6.1.1. -  Nëse h1 është homomorfizëm i (A, 1) (B, 2) dhe h2 homomorfizëm i (B, 2) (C, 3), shumëzimi h2 h1 është homomorfizëm i (A, 1) (C, 3).
       V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës kemi:
       
(1) (a, bA) h1 (a1 b)
.
h1(a)2 h1(b)
a'2 b', ku a' h 1 (a), b'h1 (b);
       
(2) (a', b' B) h2 (a'2 b') h2(a')3 h2 (b')
h2 [h1(a)] 3 h2 [h1 (b)]
(h2 h1) (a) 3 (h2 h1) (b)
.
       Duke shfrytëzuar këto formula marrim:
       
(a, b A) (h2 h1) (a 1 b) h2 [h1 (a 1 b)]
h2 [h1 (a)2 h1 (b)]
h2 [h1 (a) 3 h2 h1 (b)]
(h2 h 1) (a) 3 (h2 h1) (b)
dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.
       Homomorfizmi injektiv i grupit (A, ) në grupin (B, ) quhet izomorfizëm i (A, ) (B, ) (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi h është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i (A, ) mbi (B, ) quhet izomorfizëm i (A, ) mbi (B, ) dhe thuhet se grupet (A, ) , (B, ) janë izomorfe ndërmjet tyre.
       Të konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.
Fig. 1.20.
       T e o r e m a  6.1.2. -  Nëse i1 është izomorfizëm i grupit (A, 1) mbi grupin (B, 2) dhe i2 izomorfizëm i (B, 2) mbi (C, 3) , shumëzimi i2 i1 është izomorfizëm i grupit (A, 1) mbi grupin (C, 3) .
       Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo !
       S h e m b u l l i  23. -  Të shohim grupet (+, .), (, +) dhe h:+→ pasqyrimin e + që përcaktohet me formulën:
h:x→y log x, x+ .
       Meqë vlen:
(x1, x2 +) log (x1 • x2) log x1 +log x2 ,
themi se (R+,.), (R, +) janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi h homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi h është izomorfizëm.

Fig. 1.19.


  1. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  2. 14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .
  3. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).