Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :
Semigrupi (A,
) që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element a
A ekziston elementi invers a-1
A.[1]
Sistemi i aksiomave të grupit[redakto]
Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët
lidhur me veprimin binar
është grup, nëse plotësohen këto kushte :
- (a1) Bashkësia
është e mbyllur lidhur me veprimin binar
, pra:
;
- (a2) Veprimi binar
është asociativ, pra :
;
- (a3) Në bashkësinë
ekziston elementi neutral për veprimin binar
, pra :
; dhe
- (a4) Për secilin element
ekziston elementi invers
ashtu që :
.
Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.
Llojet e grupit[redakto]
Nëse veprimi binar
është komutativ,
quhet grup komutativ ose abelian[2]. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim,
, respektivisht
quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.
P.sh. grupe aditive janë :
, ndërkaq grupe multiplikative janë :
ku
. Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.
Grupi aditiv dhe multiplikativ[redakto]
P.sh.: Të tregohet se bashkësia
në lidhje me mbledhjen sipas
është grup aditiv
, kurse bashkësia
në lidhje me shumëzimin, sipas
, është grup multiplikativ
.
Zgjidhje: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas
, respektivisht
duket kështu:
Nga këto tabela shihet se:
- (1)
është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas
:
- (2)
është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas
:
Veprimet në grup[redakto]
Në përgjithësi, kur në grupin
:
- - veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit
përdoret simboli
, atëherë
quhet grup aditiv ; ndërsa kur
- - veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit
përdoret simboli
, atëherë
quhet grup multiplikativ.
Për grupin aditiv (A,
) elementi neutral shënohet me 0 , kurse elementi invers (i kundërt) me - a .
- S h e m b u l l i 20. - - Të tregohet se bashkësia
në lidhje me veprimin
të përkufizuar me formulën :
- është grup (A,
) .
- Z g j i d h j e : : Meqë bashkësia A në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :
- (a1)

- (a2)
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}(\forall (a,b),\ (c,d),\ (e,f)\in A)&\\(a,b)\oplus [(c,d)\oplus (e,f)]&=(a,b)\oplus (c+e,d+f)\\&=(a+c+e,b+d+f)\\&=(a+c,b+d)\oplus (e,f)\\&=[(a,b)\oplus (c,d)\oplus (e,f)]\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c00d3fc328c205c9f4d1c66581015e1c9dbac89)
- (a3)
dhe
- (a4)

konkludojmë se
është grup aditiv.
Grupi i fundëm dhe i pafundëm[redakto]
Grupi
quhet i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia
a është fundme apo e pafundme.
Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit a
A , i tillë që me përsëritjen e veprimit
në a riprodhohen të gjitha elementet e bashkësisë A.[3]
Elementi përlindës[redakto]
- Elementi i tillë a quhet përlindëse e grupit (A,
).
- S h e m b u l l i 21 - Grupi (A, •), ku A

është grup ciklik me dy përlindëse:
dhe
.Vërtet:
etj.
Vetitë e grupit[redakto]
Prej aksiomave (a1) - (a4) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të grupit:
Vetia e elementit invers[redakto]
- V e t i a 1.-Nëse në grupin (A,
) a-1 është element invers i elementit a, edhe elementi a është invers për elementin a-1 , d.m.th. (a-1)-1
a.
Kjo veti për grupin aditiv (A,
) ka këtë trajtë: -(-a)
a.
Vetia e rrënjës[redakto]
- V e t i a 2.- Në grupin (A,
) secili barazim
(1) a
x
b,2) y
a
b
ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën . x
a-1
b, kurse për barazimin (2) trajtën y
b
a-1 .
- Për grupin aditiv abelian {{mate|(A,
) barazimet
a
x
b dhe y
a
b
- kanë një zgjidhje të përbashkët: x
y
(-a)
b
b
(-a)
b-a.
Vetit e implikuacioneve[redakto]
- V e t i a 3.- Në grupin (A,
) vlejnë këto implikacione:
a
b
a
c
b
c,
b
a
c
a
b
c.
- Në grupin aditiv abelian (A,
) vlen implikacioni
a
b
a
c
b
c.
Vetia e vlerfshmëris së barazimit[redakto]
- V e t i a 4.- Në secilin grup (A,
) vlen barazia:
(a
b)-1
b-1
a-1 .
Në grupin aditiv abelian (A,
) kjo veti shprehet me formulën:
-(a
b)
(-a)
(-b).
Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit[redakto]
- Le të jenë (A,
), (B,
) dy grupe dhe h:A→B pasqyrimi bashkësisë i A në bashkësinë B. Thuhet se grupet (A,
) dhe (B,
) janë homomorfe, kurse pasqyrimi h homorfizëm i grupit (A,
) në grupin (B,
) , nëse (fig. 1.17.):
(
a, b
A) h (a
b)
h (a)
h (b) .(...51)
- Kur h (A)
B, h quhet homomorfizëm i grupit (A,
) mbi grupin (B,
) ose homomorfizëm surjektiv apo epimorfizëm (fig. 1.18.).
- Fig. 1.18. Fig. 1.17.
- Nëse e dhe e' janë elementet neutrale të grupeve homomorfe (A,
) dhe (B,
), atëherë kemi:
h (a) h (a e) h (a) h (e)
|
h (e) e',
|
h (a) h (e a) h (e) h (a)
|
- çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit (A,
) është element neutral i grupit (B,
).
- T e o r e m a 6.1.1. - Nëse h1 është homomorfizëm i (A,
1) në (B,
2) dhe h2 homomorfizëm i (B,
2) në (C,
3), shumëzimi h2
h1 është homomorfizëm i (A,
1) në (C,
3).
- V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës kemi:
-
|
(1) ( a, b A) h1 (a 1 b) .
|
h1(a) 2 h1(b) a' 2 b', ku a' h 1 (a), b' h1 (b);
|
-
|
(2) ( a', b' B) h2 (a' 2 b')
|
h2(a') 3 h2 (b')
h2 [h1(a)] 3 h2 [h1 (b)]
(h2 h1) (a) 3 (h2 h1) (b).
|
- Duke shfrytëzuar këto formula marrim:
-
|
( a, b A) (h2 h1) (a 1 b)
|
h2 [h1 (a 1 b)]
h2 [h1 (a) 2 h1 (b)]
h2 [h1 (a) 3 h2 h1 (b)]
(h2 h 1) (a) 3 (h2 h1) (b)
|
- dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.
- Homomorfizmi injektiv i grupit (A,
) në grupin (B,
) quhet izomorfizëm i (A,
) në (B,
) (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi h është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i (A,
) mbi (B,
) quhet izomorfizëm i (A,
) mbi (B,
) dhe thuhet se grupet (A,
) , (B,
) janë izomorfe ndërmjet tyre.
- Të konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.
- Fig. 1.20.
- T e o r e m a 6.1.2. - Nëse i1 është izomorfizëm i grupit (A,
1) mbi grupin (B,
2) dhe i2 izomorfizëm i (B,
2) mbi (C,
3) , shumëzimi i2
i1 është izomorfizëm i grupit (A,
1) mbi grupin (C,
3) .
- Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo !
- S h e m b u l l i 23. - Të shohim grupet (
+, .), (
, +) dhe h:
+→
pasqyrimin e
+ në
që përcaktohet me formulën:
h:x→y
log x,
x
+ .
- Meqë vlen:
(
x1, x2
+) log (x1 • x2)
log x1 +log x2 ,
- themi se (R+,.), (R, +) janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi h homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi h është izomorfizëm.
Fig. 1.19.
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
- ↑ 14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).