Bashkësitë dhe veprimet me bashkësi
Sa elemente ka bashkesia {11,12.....29}?
Përcaktimi i bashkësive[redakto]
Në matematikë bashkësië caktohen në dy mënyra:
- (1) me numërimin e të gjitha elementeve
- (2) me përshkrimin e vetive karakteristike të elementeve:
Në formulën e fundit F(x) paraget një funksion gjykimesh me variablen x, kurse A bashkësinë e elementeve të atilla që kur cilido prej tyre zëvendësohet në F(x) e shndërron atë në gjykim të saktë.
Relacioni i përkatëshmërisë[redakto]
Me formulën aNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \in} A përcaktohet se a është element i bashkësisë A ( a i përket bashkësisë A) dhe quhet relacion i përkatshmërisë. Negacioni i këtij relacioni shënohet : bNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \not \in } A ose Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle { \lnot }} (bNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \in} A).
Bashkësia e zbrazët[redakto]
Bashkësia që nuk e përmban asnjë element quhet bashkësi e zbrazët (vakante) dhe shënohet me simbolin Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle { \varnothing }} . P.sh. bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit x2 + 1 Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle{=}} 0 në fushën e numrave realë është bashkësi e zbrazët.
Bashkësitë numerike[redakto]
Në matematikë rëndom shqyrtohen bashkësitë elementet e të cilave janë objekte matematikore. Bashkësitë që kanë për objekte (elemente) numra të ndryshëm quhen bashkësi numerike. Bashkësitë më të rëndësishme numerike janë: bashkesit kuptimi dhe elementet e alfabetit
- (1) Bashkësia e numrave natyralë : Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{N}} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle{=}} { 1, 2, 3, . . . , n, n + 1, . . . } ;
- (2) Bashkësia e numrave të plotë : Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{Z}} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle{=}} { . . . , - 2, -1, 0,1, 2, . . . } ;
- (3) Bashkësia e numrave racionalë : Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{Q}} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle{=}} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle { \{ } \scriptstyle {p \over q }} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mid} pNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \in} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{Z}} , qNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \in} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{N}} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \displaystyle { \} }} :
- (4) Bashkësia e numrave realë : Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{R}} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle{=}} {xNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mid} -Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle { \infty }} < x < +Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle { \infty }} } ;
- (5) Bashkësia e numrave kompleksë : Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{C}} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle{=}} {x+iyNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mid} xNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \in} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{R}} , yNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \in} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{R}} , iNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle{=}} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle { \sqrt{-1} }} } ;
- (6) Bashkësia e numrave çiftë (parë) : Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle {\mathbb{N}_{p} }} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle{=}} {nNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mid} nNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \in} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{N}} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \land} nNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \vdots} 2} ;
- (7) Bashkësia e numrave tekë (cupë) : Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle {\mathbb{N}_{c} }} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle{=}} {nNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mid} nNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \in} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{N}} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \land} nNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \not \vdots} 2}.
Nënbashkësistë[redakto]
Përkufizimi[redakto]
Bashkësia A quhet nënbashkësi e bashkësisë B, nëse çdo element i bashkësisë A është njëherit element edhe i bashkësisë B[1]
Formulimi i përkufizimit[redakto]
Vetitë[redakto]
Formula AB quhet relacioni i inkluzionit ose i përfshirjes, simboli
është shenja e atij relacioni.
Mbibashkësitë[redakto]
Sinonim i relacionit AB është A
B, ku B është mbibashkësi e bashkësisë A.
Nga përkufizimi 2.1.1. dalin këto dy inkluzione:
- për çdo bashkësi A .
Nënbashkësia e vërtet[redakto]
Kur AA dhe Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle{ \exists }}
xNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \in}
B ashtu që xNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \not \in }
A, thuhet se A është nënbashkësi (pjesë) e vërtetë e bashkësisë B dhe shënohet A
B. Negacioni i këtij relacioni shënohet A
B. P.sh.: Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{N}}
Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{Z}}
, Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{Z}}
Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{Q}}
, Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{Q}}
Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{R}}
, Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle {\mathbb{N}_{p} }}
Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mathbb{N}}
, Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle {\mathbb{N}_{p} }}
Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle {\mathbb{N}_{c} }}
, {a,b,c}
{a,b,d,e,f}.
Përkufizimi[redakto]
Bashkësia e pjesëve të bashkësisë A quhet bashkësia e të gjitha nënbashkësive të bashkësisë A[2], pra :
Koncepti i bashkësive[redakto]
Në bazë të këtij përkufizimi mund të konkludohet se bashkësia dhe elementi janë koncepte relative - A mund të konsiderohet si bashkësi të elementeve të caktuara ANuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle{=}} {xNuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \mid} F(x)} , por edhe si element i bashkësisë së caktuar ANuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \in} P(A) .
Barazia e bashkësive[redakto]
Nëse bashkësia A është e fundme dhe ka n elemente, atëherë bashkësia P(A) ka Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \sum_{k=0}^n {n \choose k}} Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle{=}} 2n elemente.
Përkufizimi[redakto]
Dy bashkësi A, B janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë, kur AB dhe B
A [3]
Formulimi i përkufizimit[redakto]
Për shembullê: {a, b, c}Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle{=}} {b, a, c}.
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).