Jump to content

Unaza, Trupi dhe Fusha

Nga Wikibooks
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare
Grupi

Unaza, Trupi dhe Fusha

       Krahas me grupin, tri struktura tjera të rëndësishme të matematikës bashkëkohore janë: unaza, trupi dhe fusha.
       P ë r k u f i z i m i  7.1. - Unazë quhet bashkësia jo e zbrazët A në të. cilën janë të përkufizuara dy veprime binare , , të quajtura mbledhje dhe shumëzim, ku:
       (1) (A, ) është grup abelian,
       (2) (A, ) është grupoid; dhe
       (3) shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes.
       Unaza shënohet me simbolin (A, , ) .
       Kur ky përkufizim zbërthehet, del se bashkësia jo e zbrazët A lidhur me veprimet binare , quhet unazë, nëse plotësohen këto shtatë kushte:
       {c1) (a, bA)(cA) abc ;
       (c2) (a, b A) a bb a ;
       {c3) (a, b, c A) (a b) c a (b c) ;
       (c4) (0A) a00aaaA ;
       (c5) (a A) ( (-a) A) a (-a)(-a) a0 ;
       (c6) (a, bA)(cA) abc ; dhe
       (c7) (a,b,cA) a(bc)abac ,
        (bc)abaca .
       Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të unazës. Siç shihet unaza (A, , ) lidhur me mbledhjen është grup aditiv abelian, ndërkaq lidhur me shumëzimin grupoid multiplikativ, ku njëherazi shumëzimi është distributiv (nga e majta dhe nga e djathta) ndaj mbledhjes.
       Unaza (A, , ) quhet asociative, nëse shumëzimi është asociativ: a (b c)(a b) c , ndërsa quhet komutative, nëse shumëzimi është komutativ: a bb a . Kur shumëzimi është asociativ dhe komutativ, (A, , ) quhet unazë asociative-komutative.
       P.sh.: (, +, .), (, +, .) dhe (, +, .) janë unaza asociative-komutative, ndërsa (, +, .) nuk është unazë.
       S h e m b u l l i  24. -  Të tregohet se bashkësia A{0, 1, 2, 3, 4, 5} në lidhje me mbledhjen dhe shumëzimin sipas modulit 6 është unazë asociative-komutative.
       Z g j i d h j e : Meqenëse plotësohen kushtet:
       (1) (A, +6) është grup aditiv,
       (2) (A, .6) është semigrup,
       (3) Shumëzimi sipas modulit 6 është veprim distributiv ndaj mbledhjes sipas modulit 6, dhe
       (4) Shumëzimi sipas modulit 6 është komutativ,
andaj konkludojmë se (A, +6,.6) është unazë asociative-komutative.
       Nga aksiomat e unazës (c1) - (c7) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të unazës:
       V e t i a 1. - Në çdo unazë (A, , ) vlen kjo rregull e lirimit prej kllapave:
(a b)(c d)acbcadbd.
       V e t i a 2. - Në secilën unazë (A, , ) ekziston veprimi i zbritjes, si veprim i kundërt i mbledhjes, meqë unaza është grup abelian lidhur me mbledhjen.
       V e t i a 3. - Në secilën unazë (A, , ) shumëzimi është veprim distributiv ndaj zbritjes, pra:
       
(a, b, cA) a (b-c)a b-a c,

(b-c) ab a-c a.

       V e t i a 4. - Kur njëri prej faktorëve të shumëzimit të unazës (A, , ) është i barabartë me zero, atëherë edhe prodhimi është zero, d.m.th.:
(a A) a 00 a0 .
       V e t i a 5. - Në çdo unazë (A, , ) për shumëzimin vlejnë këto rregulla për parashenja:
       (1) (-a) b -a b, (2) a (-b) -a b, (3) (-a) (-b)a b.
       V e t i a 6. - Asnjë unazë (A, , ) nuk e përmban elementin invers për zeron (0A) lidhur me shumëzimin.
       Sipas kësaj vetie del se unaza (A, , ) asnjëherë nuk mund të jetë grup lidhur me shumëzimin, meqenëse për elementin 0 nuk ekziston elementi invers. Mirëpo, nëse bashkësia e të gjitha elementeve jo të barabarta me zero të unazës është grup lidhur me shumëzimin, unaza e tillë quhet trup. Pra:
       P ë r k u f i z i m i  7.2. - Unaza asociative (A, , ) quhet trup, nëse (A1, ) është grup, ku A1A\{0} .
       P ë r k u f i z i m i  7.3. - Trupi (A, , ) quhet fushë, nëse shumëzimi është veprim komutativ.
       Pra, në fushën (A, , ) të dy veprimet , janë komutative.
       Kur këto dy përkufizime zbërthehen del se bashkësia jo e zbrazët A lidhur me dy veprime binare , quhet trup, respektivisht fushë, kur sistemit të kushteve (c1) - (c7) i shtohen edhe tri, respektivisht katër kushte:
       (c8) (a, c A) a (b c)(a b) c ;
       (c9) (eA) aeeaa, aA :
       (c10) (aA, a0)(a-1A) aa-1a-1ae ;
       (c11) (a, b A) a bb a .
       Kushtet (c1) - (c1o), (c1) - (c11) formojnë sistemin e aksiomave të trupit, përkatësisht të fushës.
       P.sh.: (,+,•) dhe (, +,•) janë fusha, ndërsa (, +,•) nuk është fushë, sepse (,•) nuk është grup.