Veprimet lineare me matrica

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Prodhimi i matricës me skalar

Përkufizimi

Prodhimi i matricës ${A=[a_{ik}]_{m,n}}$ me skalarin ${\alpha }$ quhet matrica ${B=[b_{ik}]_{m,n}}$ elementet e së cilës janë të barabata me prodhimin e elementeve korresponduese të matricës ${A}$ me skalarin ${\alpha }$, pra: lumi

Formulimi

${\alpha \cdot [a_{ik}]_{m,n}\ {\overset {p{\ddot {e}}rk}{\Leftrightarrow }}\ [b_{ik}]_{m,n}}$ (...7)

ku ${b_{ik}=\alpha \cdot a_{ik}(i=1,2,....m;k=1,2,...,n)}$.

Shembuj

Prodhimi i matricës ${A={\begin{bmatrix}1&3&5\\1&-3&-2\end{bmatrix}}}$ me skalarin ${\alpha =2}$ është ${2\cdot {\begin{bmatrix}2&3&5\\1&-3&-2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&6&10\\2&-6&-4\end{bmatrix}}}$

Matrica e kundërt

Kur ${\alpha =-1}$, matrica ${-A}$ quhet matrica e kundërt e matricës ${A}$.

Shuma e dy matricave

Përkufizimi

Shuma e dy matricave $A=[a_{ik}]_{m,n},B=[b_{ik}]_{m,n}$quhet matrica $C=[c_{ik}]_{m,n}$ elementet e së cilës janë të barabarta me shumëne elementeve korresponduese të matricave $A,B$ pra:

Formulimi

$[a_{ik}]_{m,n}+[b_{ik}]_{m,n}{\overset {p{\ddot {e}}rk}{=}}[c_{ik}]_{m,n}$(...8)

ku $c_{ik}=a_{ik}+b_{ik}\ (i=1,2,...,m;k=1,2,...,n)$.

Vetitë

Nga ky përkufizim del se mund të mblidhen vetëm matricat e tipit të njëjtë. Ky përkufizim mund të zgjerohet në shumën e $s(\in N)$ i matricave:

$\sum _{j=1}^{s}[(a_{j})_{ik}]_{m,n}{\overset {p{\ddot {e}}rk}{=}}[(\sum _{j=1}^{s}a_{j})_{ik}]_{m,n}$. (...9)

Shembuj

Shuma e matricave

$A={\begin{bmatrix}2&3&5\\1&{-3}&{-2}\end{bmatrix}}$ dhe $b={\begin{bmatrix}0&{-1}&4\\3&0&5\end{bmatrix}}$

është matrica:

$C={\begin{bmatrix}2&2&9\\4&{-3}&3\end{bmatrix}}$

Ndryshimi i matricave

Përkufiimi

Ndryshimi i matricave $A=[a_{ik}]_{m,n},B=[b_{ik}]_{m,n}$quhet matrica $C=[c_{ik}]_{m,n}$ elementet e së cilës janë të barabarta me ndryshimin e elementeve korresponduese të matricave $A,B$, pra:

Formulimi

$[a_{ik}]_{m,n}-[b_{ik}]_{m,n}{\overset {p{\ddot {e}}rk}{=}}[c_{ik}]_{m,n}$(...10)

ku $c_{ik}=a_{ik}-b_{ik}\ (i=1,2,...,m;k=1,2,...,n)$.

Shembuj

Ndryshimi i matricave

$A={\begin{bmatrix}1-i&7i&2+i\\2&1+i&0\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}3&8i&-i\\1&i&2\end{bmatrix}}$

është matrica:

$C=A-B=A={\begin{bmatrix}-2-i&-i&2+2i\\1&1&-2\end{bmatrix}}$.

Ligjet për mbledhjen dhe shumëzimin e matricës me skalar

Për mbledhjen e matricave dhe shumëzimin e matricës me skalar vlejnë këto ligje:

(a1) $A+B=B+A$;		(a2) $(A+B)+C=A+(B+C)$ ;
(a3) $A+0=0+A=A$;		(a4) $A+(-A)=0$;
(a5) $1\cdot A=A$;		(a6) $0\cdot A=0$;
(a7) $\alpha (\beta A)=(\alpha \beta )A$;		(a8) $(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$;
(a9) $\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B$.

Shembuj

Të vërtetojmë, p.sh. ligjin (a₈):

Le të supozojmë se $A=[a_{ik}]_{m,n}$ kurse $\alpha ,\beta$ janë dy skalarë çfarëdo.

Në bazë të formulave (7) dhe (8) kemi:

$(\alpha +\beta )A$	$=(\alpha +\beta )[a_{ik}]_{m,n}=[(\alpha +\beta )a_{ik}]_{m,n}=$
	$=[\alpha a_{ik}+\beta a_{ik}]_{m,n}=[\alpha a_{ik}]_{m,n}+[\beta a_{ik}]_{m,n}=$
	$=\alpha [a_{ik}]_{m,n}+\beta [a_{ik}]_{m,n}=\alpha A+\beta A$,

pra përftuam:

$(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$,

çka donim të vërtetonim.

Kombinimi linear homogjen i matricave

Le të supozojmë se $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{j}$, janë skalarë, kurse $A_{1},A_{2},\dots ,A_{j}$ janë matrica të tipit $m\times n$, atëherë në bazë të përkufizimit të shumës së matricave (2.2.) dhe të prodhimit të matricës me skalar(2.1.), kombinimi linear homogjen i matricave

$\alpha _{1}A_{1}+\alpha _{2}A_{2}+...+\alpha _{j}A_{j}$,

mund të paraqitet si një matricë $A$ e tipit $m\times n$.

Shembuj

Për shembull:

$2\cdot {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&-3\end{bmatrix}}+3\cdot {\begin{bmatrix}0&-1&4\\-4&0&2\end{bmatrix}}-5\cdot {\begin{bmatrix}-2&0&1\\1&2&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}12&1&13\\-13&-8&0\end{bmatrix}}.$

Llojet e posaçme ë matricave katrore

Titulli

</a href www.google.com /a>