Veprimet lineare me matrica

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare

Tabela e përmbajtjeve

[redaktoni] Prodhimi i matricës me skalar

[redaktoni] Përkufizimi

Prodhimi i matricës A = [aik]m,n me skalarin α quhet matrica B = [bik]m,n elementet e së cilës janë të barabata me prodhimin e elementeve korresponduese të matricës A me skalarin α[1], pra:

[redaktoni] Formulimi

{\alpha \cdot [a_{ik}]_{m,n}\ \overset {p\ddot{e}rk} {\Leftrightarrow} \ [b_{ik}]_{m,n}} (...7)

ku {b_{ik}= \alpha \cdot a_{ik} (i =1, 2, .... m; k=1, 2, ... , n)}.

[redaktoni] Shembuj

Prodhimi i matricës {A=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\ 1 & -3 & -2 \end{bmatrix}} me skalarin α = 2 është {2 \cdot \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & -3 & -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 2 & -6 & -4 \end{bmatrix}}

[redaktoni] Matrica e kundërt

Kur α = − 1, matrica − A quhet matrica e kundërt e matricës A.

[redaktoni] Shuma e dy matricave

[redaktoni] Përkufizimi

Shuma e dy matricave A = [aik]m,n,B = [bik]m,nquhet matrica C = [cik]m,n elementet e së cilës janë të barabarta me shumëne elementeve korresponduese të matricave A,B[2] pra:

[redaktoni] Formulimi

[a_{ik}]_{m,n}+[b_{ik}]_{m,n} {\overset {p\ddot{e}rk} {=}} [c_{ik}]_{m,n}(...8)

ku c_{ik}=a_{ik}+b_{ik} \ (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n).

[redaktoni] Vetit

Nga ky përkufizim del se mund të mblidhen vetëm matricat e tipit të njëjtë. Ky përkufizim mund të zgjerohet në shumën e s (\in N) i matricave:

\sum_{j=1}^{s} [(a_{j})_{ik}]_{m,n} \overset {p\ddot{e}rk} {=} [(\sum_{j=1}^{s} a_{j})_{ik}]_{m,n}. (...9)

[redaktoni] Shembuj

Shuma e matricave

A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & {-3} & {-2} \end{bmatrix} dhe b=\begin{bmatrix} 0 & {-1} & 4 \\ 3 & 0 & 5 \end{bmatrix}

është matrica:

C=\begin{bmatrix} 2 & 2 & 9 \\ 2 & {-3} & 3 \end{bmatrix}

[redaktoni] Ndryshimi i matricave

[redaktoni] Përkufiimi

Ndryshimi i matricave A = [aik]m,n,B = [bik]m,nquhet matrica C = [cik]m,n elementet e së cilës janë të barabarta me ndryshimin e elementeve korresponduese të matricave A,B[3], pra:

[redaktoni] Formulimi

[a_{ik}]_{m,n}-[b_{ik}]_{m,n} \overset {p\ddot{e}rk} {=} [c_{ik}]_{m,n}(...10)

ku c_{ik}=a_{ik}-b_{ik} \ (i=1, 2,..., m; k=1, 2,..., n).

[redaktoni] Shembuj

Ndryshimi i matricave

A=\begin{bmatrix} 1-i & 7i & 2+i \\ 2 & 1+i & 0 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 3 & 8i & -i \\ 1 & i & 2 \end{bmatrix}

është matrica:

C=A-B=A=\begin{bmatrix} -(2+i) & -i & 2(1+i) \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}.

[redaktoni] Ligjet për mbledhjen dhe shumëzimin e matricës me skalar

Për mbledhjen e matricave dhe shumëzimin e matricës me skalar vlejnë këto ligje:

(a1) A + B = B + A;        (a2) (A + B) + C = A + (B + C) ;
(a3) A + 0 = 0 + A = A; (a4) A + ( − A) = 0;
(a5) 1 \cdot A=A; (a6) 0 \cdot A=0;
(a7) α(βA) = (αβ)A; (a8) (α + β)A = αA + βA;
(a9) α(A + B) = αA + αB.

[redaktoni] Shembuj

Të vërtetojmë, p.sh. ligjin (a8):

Le të supozojmë se A = [aik]m,n kurse α,β janë dy skalarë çfarëdo.

Në bazë të formulave (7) dhe (8) kemi:

(α + β)A = (α + β)[aik]m,n = [(α + β)aik]m,n =
= [αaik + βaik]m,n = [αaik]m,n + [βaik]m,n =
= α[aik]m,n + β[aik]m,n = αA + βA,

pra përftuam:

(α + β)A = αA + βA,

çka donim të vërtetonim.

[redaktoni] Kombinimi linear homogjen i matricave

Le të supozojmë se \alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_j, janë skalarë, kurse A_1, A_2, \dots , A_j janë matrica të tipit m \times n, atëherë në bazë të përkufizimit të shumës së matricave (2.2.) dhe të prodhimit të matricës me skalar(2.1.), kombinimi linear homogjen i matricave

α1A1 + α2A2 + ... + αjAj,

mund të paraqitet si një matricë A e tipit m \times n.

[redaktoni] Shembuj

Për shembull:

2\cdot\begin{bmatrix} 1&2&3 \\ 2&1&-3 \end{bmatrix}+3 \cdot\begin{bmatrix} 0&-1&4 \\ -4&0&2 \end{bmatrix}-5\cdot \begin{bmatrix} -2&0&1 \\ 1&2&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 12&1&13 \\ -13&-8&0 \end{bmatrix}.

Llojet e posaçme ë matricave katrore

[redaktoni] Burime

  1. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  2. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  3. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Veprimet_lineare_me_matrica"