Teorema e Kronecker-Capellit

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët

Matricat

Kuptimi dhe barazia e matricave
- Simboli
- Matrica drejtkëndore
- Matrica komplekse
- Matricat e tipit të njëjtë
- Matrica katrore
- Matrica njështyllore
- Matrica njërreshtore
- Zero matrica
- Barazia e matricave
Veprimet lineare me matrica
Llojet e posaçme të matricave katrore
Shumëzimi i matricave
- Fuqia e matricave katrore
- Transponimi i matricës
Matricat regulare, singulare dhe inverse
- Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare
- Matricat katrore të posaçme
  - Matrica e Hermitit
Rangu i matricës
Përcaktimi praktik i rangut të matricës
Matricat ekuivalente
Transformimet elementare të matricës
Forma kanonike e matricës
Matrica e zgjeruar

Përcaktorët

Kuptimi i tyre
Vetit e përcaktorëve
Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve
Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar

Sistemet e ekuacioneve

Format lineare

Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare
Format lineare
- Rangu i matricës
Pavarshmëria e formave lineare
Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës
Matricat ekuivalente
- Transformimet elementare të matricës
Përcaktimi praktik i rangut të matricës
- Forma kanonike e matricës
Teorema e Kronecker-Capellit
- Matrica e zgjeruar

[redaktoni] Matrica e ekuacionit linear dhe matrica e zgjeruar e tij

Le të marrim sistemin e $m$ ekuacioneve lineare me $n$ të panjohura:

$\sum^{n}_{k=1} a_{ik}x_k = b_i \ (i = 1, 2, \cdots, m)$ . (...44)

Në këtë rast matrica drejtkëndore $A = [a i k] m, n$ quhet matrica e sistemit të ekuacioneve lineare (44), ndërsa matrica drejtkëndore

$B= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & & & & \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \\ \end{bmatrix}$ (...45)

quhet matrica e zgjeruar e atij sistemi.

Thuhet se sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm nëse ekziston bashkësia e vlerave $t_k \ (k = 1, 2,.. . , n)$ e atillë që

$\sum^{n}_{k=1} a_{ik}t_k = b_i \ (i =1, 2, ... , m)$ (...44a)

paraqet një sistem i $m$ formulave të sakta. Bashkësia e vlerave të atilla quhet zgjidhja e sistemit të ekuacioneve lineare (44).

[redaktoni] Teorema e Kronecker - Capellit

T e o r e m a: e Kronecker - Capellit. - Sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm atëherë dhe vetëm atëherë nëse $r (A) = r (B)$ .

V ë r t e t i m: Hipoteza e teoremës është e nevojshme, meqë supozimi se sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm, implikon që $r (A) = r (B)$ .

Vërtet, kur e shumëzojmë me radhë shtyllën e parë, të dytë, $\cdots$ , shtyllën $n$ të matricës $B$ me numrat: $-t_1, -t_2, \ldots t_n$ dhe pastaj ato prodhime i shtojmë shtyllës së fundit, përftohet kjo matricë ekuivalente:

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & & b_1-\underset{{k=1}}{\overset{n}{\sum}} a_{1k}t_k\\ \vdots & & & & & \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & & b_m-\underset{{k=1}}{\overset{n}{\sum}} a_{mk}t_k\\ \end{bmatrix}$

Të gjitha elementet e shtyllës $n + 1$ të kësaj matrice janë të barabarta me zero (në bazë të formulave (44a)), prandaj konkludojmë se $r (A) = r (B)$ .

Hipoteza e teoremës është e mjaftueshme, sepse kushti $r (A) = r (B)$ implikon që sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm.

Vërtet, kur $r (A) = r (B) = r$ , atëherë ekziston së paku një submatricë regulare e rendit $r$ të matricës $A$ . Le të supozojmë se submatrica e atillë ndodhet në këndin e epërm të matricës. Në këtë rast $r$ rreshta të parë të matricës $A$ dhe matricës $B$ janë linearisht të pavarur, ndërkaq rreshtat tjerë në këto matrica janë kombinime lineare nga ata $r$ rreshta të para. Nga kjo del se tani sistemi i ekuacioneve lineare (44) reduktohet në $r$ ekuacione lineare me $n$ të panjohura:

$\begin{matrix} a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& \cdots &+& a_{1n}x_n &=& b_1 \\ a_{21}x_1 &+& a_{22}x_2 &+& \cdots &+& a_{2n}x_n &=& b_2 \\ & & & & & & & \vdots & \\ a_{r1}x_1 &+& a_{r2}x_2 &+& \cdots &+& a_{rn}x_n &=& b_r \\ \end{matrix}$

ndërsa ekuacionet tjera të atij sistemi mund të flaken (mënjanohen).

Varësisht prej vlerës së numrit r, dallojmë këto dy raste:

1°. Kur

r = n

(d.m.th. kur

r (A) = n

), sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm dhe i caktuar, zgjidhjen e tij mund ta njehsojmë me formulat e Cramerit ose me algoritmin e Gaussit; dhe

2°. Kur

r < n

(d.m.th. kur

r (A) < n

), sistemi i ekuacioneve lineare është i mundshëm, por i pacaktuar dhe ai sistem, respektivisht sistemi (44b), mund të shprehet në formën:

$\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+ \cdots +a_{1r}x_r=b_1-a_{1,r+1}x_{r+1}- & \cdots & -a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots +a_{2r}x_r=b_2-a_{2,r+1}x_{r+1}- & \cdots & -a_{2n}x_n \\ & \vdots & \\ a_{r1}x_1+a_{r2}x_2+ \cdots +a_{rr}x_r=b_r-a_{r,r+1}x_{r+1}- & \cdots & -a_{rn}x_n \\ \end{matrix}$

Zgjidhja ( $x_1, x_2, \ldots , x_r$ ) e këtij sistemi të ekuacioneve lineare varet nga të panjohurat $x_{r+1}, x_{r+2}, \ldots , x_n$ të cilat konsiderohen si parametra. Pra, në këtë rast sistemi i ekuacioneve lineare (44) ka pafund shumë zgjidhjesh.

Kur në sistemin e ekuacioneve lineare (44) të gjitha kufizat e lira janë të barabarta me zero ( $b_i=0, \ i=1, 2, \ldots , m$ ), sistemi i tillë quhet sistem i ekuacioneve lineare homogjene:

$\sum^{n}_{k=1} a_{ik}x_k=0 \ (i=1, 2, \ldots. m)$ .(...46)

Ky sistem ekuacionesh lineare homogjene ka vetëm zgjidhjen triviale $x_1=0, \ x_2=0,\ldots, \ x_n=0$ , nëse $r (A) = n$ .

Sistemi i ekuacioneve lineare homogjene (46) ka, përveç zgjidhjes triviale, edhe pa fund shumë zgjidhjesh tjera, nëse $r (A) < n$ .

[redaktoni] Shembuj

Të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit të ekuacioneve:

$\begin{matrix} 3x_1 &-& 5x_2 &+& 2x_3 &+& 4x_4 &=& 2 \\ 7x_1 &-& 4x_2 &+& \ x_3 &+& 3x_4 &=& 5 \\ 5x_1 &+& 7x_2 &-& 4x_3 &-& 3x_4 &=& 3 \\ \end{matrix}$

Z g j i d h j e: Këtu $r (A) = 2, r (B) = 3$ , prandaj sistemi i ekuacioneve të dhëna është i pamundshëm.

Të shgyrtohet zgjidhshmëria e sistemit të ekuacioneve:

$\begin{matrix} 3x_1 &-& 2x_2 &+& \ x_3 &=& 3 \\ 2x_1 &-& 3x_2 &+& \ x_3 &=& 0 \\ \ x_1 &+& \ x_2 &-& 2x_3 &=& 5 \\ -x_1 &+& 2x_2 &-& 2x_3 &=& 2 \\ \end{matrix}$

Z g j i d h j e: Këtu $r (A) = r (B) = 3$ , prandaj sistemi i ekuacioneve të dhëna është i mundshëm dhe është ekuivalett me këtë sistem ekuacionesh:

$\begin{matrix} 3x_1 &-& 2x_2 &+& \ x_3 &=& 3 \\ 2x_1 &-& 3x_2 &+& \ x_3 &=& 0 \\ \ x_1 &+& \ x_2 &-& 2x_3 &=& 5 \\ \end{matrix}$

Ngase $r = n$ , sistemi i ekuacioneve të dhënë është i caktuar dhe zgjidhja e tij është treshi i renditur ( $2;\ 1; - 1$ ).

Të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit

$\begin{matrix} x_1+x_2+ x_3-2x_4= 1 \\ x_1+x_2- x_3-2x4=-1 \\ x_1+x_2+5x_3-2x_4=5 \\ \end{matrix}$

Z g j i d h j e: Në këtë rast $r (A) = r (B) = 2 < n$ , prandaj sistemi i dhënë është i mundshëm, por i pacaktuar. Ky sistem ekuacionesh reduktohet në sistemin prej dy ekuacioneve lineare me katër të panjohura:

$\begin{matrix} x_1+x_2+x_3-2x_4= 1 \\ x_1+x_2-x_3-2x_4=-1 \\ \end{matrix}$

të cilin e shprehim në këtë trajtë:

$\begin{matrix} x_1+x_3=2x_4-x_2+1 \\ x_1 -x_3=2x_4-x_2-1 \\ \end{matrix}$

Në sistemin e fundit e marrim: $x_2=a, \ x_4=b$ , ndërsa e njehsojmë: $x_1=2b-a, \ x_3=1$ , prandaj konstatojmë se zgjidhjet e sistemit të dhënë janë katërshet e renditura ( $2b - a, \ a, \ 1, \ b$ ).