Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare

Nga Wikibooks
Shko tek: lundrim, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët


Matricat


Përcaktorët


Sistemet e ekuacioneve


Format lineare



Lidhur me zgjidhshmërinë e sistemit të ekuacioneve lineare (32) do të dallojmë këto tri raste

1°. Kur D\ne 0, sistemi i ekuacioneve lineare (32) është i mundshëm dhe i caktuar, sepse \frac {D_i}{D} (i=1, 2, 3) ekzistojnë.
2°. Kur D = 0 dhe \exist A_{ik}\ne 0> (i, k=1, 2, 3) sistemi i ekuacioneve lineare (32) është ekuivalent me këtë sistem të ekuacioneve:
\begin{matrix}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2
\end{matrix}(...32a)
\begin{vmatrix}
a_{11}	&a_{12}	&a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1	\\
a_{21}	&a_{22}	&a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2	\\
a_{31}	&a_{32}	&a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3
\end{vmatrix}=0

Vërtet, kur supozojmë se treshi i renditur (t_1, t_2, t_3) është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32), ai është zgjidhja edhe i sistemit të ekuacioneve (32a), sepse ekuacioni i tretë i këtij sistemi, në atë rast, reduktohet në këtë formulë të saktë:

\begin{vmatrix}
a_{11}	&a_{12}	&0\\
a_{21}	&a_{22}	&0\\
a_{31}	&a_{32}	&0
\end{vmatrix}=0

Ndërkaq, kur supozojmë se treshi i renditur (t_1, t_2, t_3) është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32a) dhe A_{33}\ne0, ekuacioni i tretë i këtij sistemi merr këtë trajtë:

(a_{31}t_1\!+\!a_{32}t_2\!+\!a_{33}t_3\!-\!b_3)A_{33}\!=\!0 \ ose \ a_{31}t_1\!+\!a_{32}t_2\!+\!a_{33}t_3\!-\!b_3\!=\!0, \,

çka do të thotë se (t_1, t_2, t_3) është zgjidhja edhe e sistemit (32). D.m.th. në kushtet e përmendura sistemet (32) dhe (32a) janë ekuivalente. Nga ekuivalenca e tyre rrjedh se shqyrtimi i zgjidhshmërisë së sistemit (32) mund të bëhet nëpërmjet të sistemit (32a). Për këtë qëllim e zhvillojmë përcaktorin në ekuacionin e tretë të sistemit (32a) në kofaktor sipas elementeve të shtyllës së tretë, ku pas reduktimit merret:

(a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33}) x_3=b_1A_{13}+b_2A_{23}+b_3A_{33}\Rightarrow Dx_3=D_3,

sepse koeficientet e x_1 dhe x_2 janë të barabarta me zero. Në bazë të relacionit të fundit përfundojmë:

(a) Nëse D_3 \ne 0, sistemi (32) është i pamundshëm;
(b) Nëse D_3=0 \,, sistemi (32) është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në dy ekuacione me tri të panjohura:
\begin{matrix}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2
\end{matrix}

Në këtë sistem, kur x_3 e trajtojmë si parametër, kemi:


\begin{matrix}
x_1 ={
\begin{vmatrix}b_1-a_{13}x_3&a_{12} \\ b_2-a_{23}x_3&a_{22} \end{vmatrix}	
\over
{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} }}
&
,
&
x_2={
\begin{vmatrix}a_{11}&b_1-a_{13}x_3\\a_{21}&b_2-a_{23}x_3\end{vmatrix} 
\over
{
\begin{vmatrix}	a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} }}
\end{matrix}
3°. Kur D=0, A_{ik}=0 \ (\forall i, k=1, 2, 3) dhe \exist a_{ik}\ne 0, ekuivalent me:
\begin{matrix}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1
\\
\begin{vmatrix}
a_{11}	&a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3-b_1	\\
a_{21}	&a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3-b_2
\end{vmatrix}=0
\\
\begin{vmatrix}
a_{11}	&a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3-b_1	\\
a_{31}	&a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3-b_3
\end{vmatrix}=0
\end{matrix} (...32b)

Ekuivalenca e këtyre dy sistemeve vërtetohet sikurse në rastin e mëparshëm.

Dy ekuacionet e fundit të sistemit (32b) mund të shprehen në këtë mënyrë

\begin{matrix}
(\!a_{11}a_{21}\!-\!a_{11}a_{21}\!)x_1\!+\!(a_{11}a_{22}\!-\!a_{12}a_{21}\!)x_2\!+\!(a_{11}a_{23}\!-\!a_{13}a_{21}\!)x_3\!=\!a_{11}b_2\!-\!a_{21}b_1
\\
(\!a_{11}a_{31}\!-\!a_{11}a_{31}\!)x_1\!+\!(a_{11}a_{32}\!-\!a_{12}a_{31}\!)x_2\!+\!(a_{11}a_{33}\!-\!a_{13}a_{31}\!)x_3\!=\!a_{11}b_3\!-\!a_{31}b_1
\end{matrix}

prej nga, duke marrë parasysh kushtet, del:

\begin{matrix}
\begin{vmatrix}
a_{11}	&	b_1	\\
a_{21}	&	b_2
\end{vmatrix}
=0
& &
\begin{vmatrix}
a_{11}	&	b_1	\\
a_{31}	&	b_3
\end{vmatrix}
=0
\end{matrix}

D.m.th.:

(a) Nëse të paktën njëri prej përcaktorëve
\begin{matrix}
\begin{vmatrix}
a_{11} 	&	b_1	\\
a_{21} 	&	b_2
\end{vmatrix}
& 
ose 
&
\begin{vmatrix}
a_{11} 	&	b_1	\\
a_{31} 	&	b_3
\end{vmatrix}
\end{matrix}

nuk është i barabartë me zero, sistemi (32) është i pamundshëm;

(b) Nëse të dy këta përcaktorë janë të barabartë me zero sistemi është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura:
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1.\,

Shembuj[redakto]

Për vlerat e ndryshme të parametrit m të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit:

\begin{matrix}
mx_1+x_2+ x_3=1	\\
x_1+mx_2+ x_3=m	\\
x_1+ x_2+mx_3=m^2.
\end{matrix}

Zgjidhje Meqë në këtë rast

D\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^2\!(m\!+\!2)\!,\!D\!_1\!=\!-\!(\!m\!-\!1\!)\!^2\!(\!m\!+\!1\!)\!,\! D\!_2\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^2\!,\!D\!_3\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^2\!(\!m\!+\!1\!)\!^2

ku ylerat karakteristike të parametrit m për përcaktorin kryesor janë -2 dhe 1, kurse për përcaktorët karakteristikë -1 dhe 1, pra:

(a) Për \forall m \ne - 2 \vee 1: D \ne 0, sistemi i dhënë është i mundshëm ku
x_1=\frac {m+ 1}{m+2}, \ x_2=\frac {1}{m+2}, \ x_3=\frac {(m+ 1)^2}{m+2} ,
(b) Për m=-2: D=0, \exist A_{ik}\ne 0 (p.sh. A_{33}=3) dhe D_3=9\ne 0, prandaj sistemi i dhënë është i pamundshëm;
(c) Për m=1: D=0, A_{ik}=0 \ (\forall i, k=1, 2, 3), \exist a_{ik}\ne 0 (p.sh. a_{11}=1) dhe

\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21}& b_2   \end{vmatrix}=
\begin{vmatrix} 1      & 1   \\ 1 &1          \end{vmatrix}=0, \;
\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{31} & b_3  \end{vmatrix}=
\begin{vmatrix} 1      & 1   \\ 1 & 1         \end{vmatrix}=0

prandaj sistemi i dhënë reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura: x_1 +x_2+x_3=1. Zgjidhjet e këtij ekuacioni janë (1-m-n, m, n) ku m, n janë dy parametra çfarëdo.