Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare


Lidhur me zgjidhshmërinë e sistemit të ekuacioneve lineare (32) do të dallojmë këto tri raste

1°. Kur D\ne 0, sistemi i ekuacioneve lineare (32) është i mundshëm dhe i caktuar, sepse \frac {D_i}{D} (i=1, 2, 3) ekzistojnë.
2°. Kur D = 0 dhe \exist A_{ik}\ne 0> (i, k=1, 2, 3) sistemi i ekuacioneve lineare (32) është ekuivalent me këtë sistem të ekuacioneve:
\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \end{matrix}(...32a)
\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \\ a_{21} &a_{22} &a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \\ a_{31} &a_{32} &a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{vmatrix}=0

Vërtet, kur supozojmë se treshi i renditur (t1,t2,t3) është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32), ai është zgjidhja edhe i sistemit të ekuacioneve (32a), sepse ekuacioni i tretë i këtij sistemi, në atë rast, reduktohet në këtë formulë të saktë:

\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &0\\ a_{21} &a_{22} &0\\ a_{31} &a_{32} &0 \end{vmatrix}=0

Ndërkaq, kur supozojmë se treshi i renditur (t1,t2,t3) është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32a) dhe A_{33}\ne0, ekuacioni i tretë i këtij sistemi merr këtë trajtë:

(a_{31}t_1\!+\!a_{32}t_2\!+\!a_{33}t_3\!-\!b_3)A_{33}\!=\!0 \ ose \ a_{31}t_1\!+\!a_{32}t_2\!+\!a_{33}t_3\!-\!b_3\!=\!0, \,

çka do të thotë se (t1,t2,t3) është zgjidhja edhe e sistemit (32). D.m.th. në kushtet e përmendura sistemet (32) dhe (32a) janë ekuivalente. Nga ekuivalenca e tyre rrjedh se shqyrtimi i zgjidhshmërisë së sistemit (32) mund të bëhet nëpërmjet të sistemit (32a). Për këtë qëllim e zhvillojmë përcaktorin në ekuacionin e tretë të sistemit (32a) në kofaktor sipas elementeve të shtyllës së tretë, ku pas reduktimit merret:

(a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33}) x_3=b_1A_{13}+b_2A_{23}+b_3A_{33}\Rightarrow Dx_3=D_3,

sepse koeficientet e x1 dhe x2 janë të barabarta me zero. Në bazë të relacionit të fundit përfundojmë:

(a) Nëse D_3 \ne 0, sistemi (32) është i pamundshëm;
(b) Nëse D_3=0 \,, sistemi (32) është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në dy ekuacione me tri të panjohura:
\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \end{matrix}

Në këtë sistem, kur x3 e trajtojmë si parametër, kemi:

\begin{matrix} x_1 ={ \begin{vmatrix}b_1-a_{13}x_3&a_{12} \\ b_2-a_{23}x_3&a_{22} \end{vmatrix} \over {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} }} & , & x_2={ \begin{vmatrix}a_{11}&b_1-a_{13}x_3\\a_{21}&b_2-a_{23}x_3\end{vmatrix} \over { \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} }} \end{matrix}
3°. Kur D=0, A_{ik}=0 \ (\forall i, k=1, 2, 3) dhe \exist a_{ik}\ne 0, ekuivalent me:
\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \\ \begin{vmatrix} a_{11} &a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3-b_1 \\ a_{21} &a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3-b_2 \end{vmatrix}=0 \\ \begin{vmatrix} a_{11} &a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3-b_1 \\ a_{31} &a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3-b_3 \end{vmatrix}=0 \end{matrix} (...32b)

Ekuivalenca e këtyre dy sistemeve vërtetohet sikurse në rastin e mëparshëm.

Dy ekuacionet e fundit të sistemit (32b) mund të shprehen në këtë mënyrë

\begin{matrix} (\!a_{11}a_{21}\!-\!a_{11}a_{21}\!)x_1\!+\!(a_{11}a_{22}\!-\!a_{12}a_{21}\!)x_2\!+\!(a_{11}a_{23}\!-\!a_{13}a_{21}\!)x_3\!=\!a_{11}b_2\!-\!a_{21}b_1 \\ (\!a_{11}a_{31}\!-\!a_{11}a_{31}\!)x_1\!+\!(a_{11}a_{32}\!-\!a_{12}a_{31}\!)x_2\!+\!(a_{11}a_{33}\!-\!a_{13}a_{31}\!)x_3\!=\!a_{11}b_3\!-\!a_{31}b_1 \end{matrix}

prej nga, duke marrë parasysh kushtet, del:

\begin{matrix} \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} =0 & & \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{31} & b_3 \end{vmatrix} =0 \end{matrix}

D.m.th.:

(a) Nëse të paktën njëri prej përcaktorëve
\begin{matrix} \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} & ose & \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{31} & b_3 \end{vmatrix} \end{matrix}

nuk është i barabartë me zero, sistemi (32) është i pamundshëm;

(b) Nëse të dy këta përcaktorë janë të barabartë me zero sistemi është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura:
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1.\,

[redaktoni] Shembuj

Për vlerat e ndryshme të parametrit m të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit:

\begin{matrix} mx_1+x_2+ x_3=1 \\ x_1+mx_2+ x_3=m \\ x_1+ x_2+mx_3=m^2. \end{matrix}

Zgjidhje Meqë në këtë rast

D\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^2\!(m\!+\!2)\!,\!D\!_1\!=\!-\!(\!m\!-\!1\!)\!^2\!(\!m\!+\!1\!)\!,\! D\!_2\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^2\!,\!D\!_3\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^2\!(\!m\!+\!1\!)\!^2

ku ylerat karakteristike të parametrit m për përcaktorin kryesor janë − 2 dhe 1, kurse për përcaktorët karakteristikë − 1 dhe 1, pra:

(a) Për \forall m \ne - 2 \vee 1: D \ne 0, sistemi i dhënë është i mundshëm ku
x_1=\frac {m+ 1}{m+2}, \ x_2=\frac {1}{m+2}, \ x_3=\frac {(m+ 1)^2}{m+2} ,
(b) Për m=-2: D=0, \exist A_{ik}\ne 0 (p.sh. A33 = 3) dhe D_3=9\ne 0, prandaj sistemi i dhënë është i pamundshëm;
(c) Për m=1: D=0, A_{ik}=0 \ (\forall i, k=1, 2, 3), \exist a_{ik}\ne 0 (p.sh. a11 = 1) dhe
\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21}& b_2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 &1 \end{vmatrix}=0, \; \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{31} & b_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=0

prandaj sistemi i dhënë reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura: x1 + x2 + x3 = 1. Zgjidhjet e këtij ekuacioni janë (1 − m − n,m,n) ku m,n janë dy parametra çfarëdo.

Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Zgjidh%C3%ABshm%C3%ABria_e_sistemit_t%C3%AB_ekuacioneve_lineare"