Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët

Matricat

Kuptimi dhe barazia e matricave
- Simboli
- Matrica drejtkëndore
- Matrica komplekse
- Matricat e tipit të njëjtë
- Matrica katrore
- Matrica njështyllore
- Matrica njërreshtore
- Zero matrica
- Barazia e matricave
Veprimet lineare me matrica
Llojet e posaçme të matricave katrore
Shumëzimi i matricave
- Fuqia e matricave katrore
- Transponimi i matricës
Matricat regulare, singulare dhe inverse
- Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare
- Matricat katrore të posaçme
  - Matrica e Hermitit
Rangu i matricës
Përcaktimi praktik i rangut të matricës
Matricat ekuivalente
Transformimet elementare të matricës
Forma kanonike e matricës
Matrica e zgjeruar

Përcaktorët

Kuptimi i tyre
Vetit e përcaktorëve
Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve
Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar

Sistemet e ekuacioneve

Format lineare

Për njehsimin e vlerës së përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë rëndom shfrytëzohen këto skema:

(a)
(b)

(b₁)
(c)

Skemat (b), (b₁) shprehin rregullën e Legendrit ose rregullën e trekëndëshit, kurse skema (c) rregullën e Sarrusit. Përdorimi i tyre shihet qartas.

Mirëpo, për njehsimin e vlerës së përcaktorëve të rendit të tretë mund të shfrytëzohet edhe vetë formula përkufizuese (25). Kur polinomin e këtij përcaktori e paraqesim në këtë trajtë:

a 11 (a 22 a 33 - a 23 a 32) - a 12 (a 21 a 33 - a 23 a 31) + a 13 (a 21 a 32 - a 22 a 31)

respektivisht

$a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

atëherë kemi:

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} -a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} +a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$ (...25a)

ku përcaktorët e rendit të dytë:

$\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \ , \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \ , \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

quhen subdeterminante ose minore të elementeve $a 11, a 12, a 13$ të $det A$ . Kur përcaktorin e rendit të tretë (25a) emërtojmë me $D$ , atëherë minoret e elementeve $a 11, a 12, a 13$ emërtohen me $D 11, D 12, D 13$ dhe përcaktori shprehet:

D = a 11 D 11 - a 12 D 12 + a 13 D 13

. (...25b)

Kur përcaktorin e rendit të tretë e shprehim në formën (25a) ose (25b) themi se atë e kemi zhvilluar në minore (subdeterminante) sipas elementeve të rreshtit të parë. Fare lehtë mund të provohet se përcaktori $D$ mund të zhvillohet në minore sipas elementeve të cilido rresht ose shtyllë.

Në përgjithësi, minori që i përgjigjet elementit $a i k$ shënohet me $D i k$ . Prodhimi i minorit $D i k$ me numrin $( - 1) 1 + k$ quhet kofaktor (komplementi algjebrik) i elementit $a i k$ dhe shënohet $A i k$ , pra:

A i k = ( - 1) i + k D i k

. (...27)

Duke pasur parasysh këtë, formula (25b) merr këtë trajtë:

D = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13

Nuk është vështirë të provohet se, në përgjithësi, përcaktori i rendit të tretë $D$ mund të shprehet me formulat:

$D=\begin{cases} a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3} & (i=1, 2, 3) \\ a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+a_{3k}A_{3k} & (k=1,2,3) \end{cases}$ (...28)

që quhen formulat e Laplacit^[1].

Kur formulat e Laplacit i përgjithësojmë për përcaktorin e rendit $n$ përftojmë:

$D=\begin{cases} a_{i1} A_{i1} +a_{i2}A_{i2}+ \cdots +a_{in}A_{in} & (i=1, 2, \cdots, n) \\ a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+ \cdots +a_{nk}A_{nk} & (k=1, 2,\cdots, n) \end{cases}$ ^[2](...28a)

Nga këto formula shihet se njehsimi i përcaktorit të rendit $n$ reduktohet në njehsimin e $n$ përcaktorëve të rendit $n - 1$ .

[redaktoni] Shembuj

Të njehsohet vlera e përcaktorit

$D= \begin{vmatrix} a^2 & 2ab & b^2 \\ ac & ad + bc & bd \\ c^2 & 2cd & d^2 \end{vmatrix}$

Z g j i d h j e: E zhvillojmë përcaktorin në minore sipas elementeve të rreshtit të dytë dhe njëherit aplikojmë vetitë e përcaktorëve siç vijon;

	$D \,$	$= -ac \begin{vmatrix} 2ab & b^2 \\ 2cd & d^2 \end{vmatrix} +(ad + bc) \begin{vmatrix} a^2 & b^2 \\ c^2 & d^2 \end{vmatrix} -bd \begin{vmatrix} a^2 & 2ab \\ c^2 & 2cd \end{vmatrix}$
		$= -2abcd \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} +(ad + bc) \begin{vmatrix} a^2 & b^2 \\ c^2 & d^2 \end{vmatrix} -2abcd \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ $= -4abcd \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} +(ad+bc) (a^2 d^2 -b^2 c^2)$ $= -4abcd (ad-bc)+(ad-bc)^2(ad-bc) \,$ $= (ad-bc)[(ad-bc)^3-4abcd]=(ad-bc)^3 \,$ .

Të vërtetohet identiteti

$\begin{vmatrix} a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c &c-a-b \end{vmatrix}=(a+b+c)^3$ .

V ë r t e t i m: Duke shfrytëzuar vetitë e përcaktorëve kryhen këto transformime identike

$\begin{vmatrix} a\!-\!b\!-\!c &2a & 2a \\ 2b &b\!-\!c\!-\!a &2b \\ 2c &2c &c\!-\!a-\!b \end{vmatrix}$	$\!=\!i\!+\!(ii\!+\!iii)$	$\begin{vmatrix} a\!+\!b\!+\!c &a\!+\!b\!+\!c &a\!+\!b\!+\!c \\ 2b &b\!-\!c\!-\!a &2b \\ 2c &2c &\!c\!-\!a\!-\!b \end{vmatrix}$
	$\!=(a\!+\!b\!+\!c)$	$\begin{vmatrix} 1 &l &1 \\ 2b &b\!-\!c\!-\!a &2b \\ 2c &2c &c\!-\!a\!-\!b \end{vmatrix}$
	$=(a\!+\!b\!+\!c)$	$\begin{vmatrix} 1 &\overset {(ii-i)} {0} & \overset {(iii-i)} {0} \\ 2b &-(a\!+\!b\!+\!c) &0 \\ 2c &0 &-(a\!+\!b\!+\!c) \end{vmatrix}$
	$=(a\!+\!b\!+\!c)$	$\begin{vmatrix} -(\!a\!+\!b\!+\!c\!) &0 \\ 0 &-(a+b+c) \end{vmatrix}$
	$=(a\!+\!b\!+\!c)^3 \,$ .

Cite error: <ref> tags exist, but no <references/> tag was found

[1]

[2]

Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve

Nga Wikibooks

[redaktoni] Shembuj

Shikime

Mjete vetjake

Shfleto

Print/export

Kërko

Mjete