Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare

Në bazë të formulave (5) dhe (18) sistemi i ekuacioneve lineare (34) mund të shprehet në këtë mënyrë:

\begin{bmatrix} a_{1l}x_1 +a_{12}x_2 + \cdots +a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1 +a_{22}x_2 + \cdots +a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2 + \cdots +a_{nn}x_n \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}

respektivisht

\begin{bmatrix} a_{1l} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} (...39)

që quhet forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare (34), ku A është matrica e atij sistemi, X matrica njështyllore elementet e së cilës janë të panjohurat x_k \ (k=1, 2, \cdots, n), kurse B matrica njështyllore elementet e së cilës janë kufizat e lira b_k \ (k=1, 2, \cdots, n). Algoritmi i zgjidhjes së ekuacionit matricial AX = B është sa vijonë:

AX=B/ \cdot A^{-1} \Rightarrow A^{-1} (AX)=A^{-1}B,

prej nga me aplikimin e ligjit të asociacionit përftohet:

(A^{-1} A) X=A^{-1}B \Rightarrow EX=A^{-1}B \Rightarrow X=A^{-1}B.

Nëse tani në relacionin e fundit aplikojmë formulën (37) kemi:

X=\frac {adj\; A}{\det A} B=\frac{1}{D} (adj\; A) B

respektivisht

X= \frac {1}{D} \begin{bmatrix} b_1A_{11} +b_2A_{21} + \cdots +b_nA_{n1} \\ b_1A_{12} +b_2A_{22} + \cdots +b_nA_{n2} \\ \vdots \\ b_1A_{1n} +b_2A_{2n} + \cdots +b_nA_{nn} \\ \end{bmatrix} =\frac{1}{D} \begin{bmatrix} D_1 \\ D_2 \\ \vdots \\ D_n \end{bmatrix} (...40)

prej nga del:

x_k=\frac {D_k}{D} \ (k=1,2,\cdots, n) (...40a)

që janë në të vërtetë formulat e Cramerit.

[redaktoni] Shembuj

Të zgjidhet sistemi i ekuacioneve

\begin{matrix} 2 x_1 &+& \ x_2 &-& 5 x_3 &+& \ x_4 &=& \ 8 \\ & & \ x_1 &-& 2 x_2 &-& 6 x_4 &=& \ 9 \\ & & 2 x_2 &-& \ x_3 &+& 2 x_4 &=& -5 \\ \ x_1 &+& 4 x_2 &-& 7 x_3 &+& 6 x_4 &=& \ 0 \\ \end{matrix}

Zgjidhje Meqenëse detA = 27 dhe

A^{-1}=\frac {1}{27} \begin{bmatrix} 36 & \! -18 & \; 9 & \!-27 \\ -2 & \;\ 7 & \ 31 & \ -3 \\ 10 & \ -8 & \;\ 7 & \! -12 \\ \;\ 8 & \! -11 & -14 & \ -3 \\ \end{bmatrix}

prandaj kemi

X=A^{-1}B=\frac {1}{27} \begin{bmatrix} 36 & \! -18 & \; 9 & -27 \\ -2 & \ 7 & \ 31 & \ -3 \\ 10 & \ -8 & \; 7 & -12 \\ \ 8 & \! -11 & -14 & \ -3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \;\ 8 \\ \;\ 9 \\ -5 \\ \;\ 0 \\ \end{bmatrix} =\frac {1}{27} \begin{bmatrix} 81 \\ -108 \\ -27 \\ 27 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \\ -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}

respektivisht

x_1=3,\ x_2=-4,\ x_3=-1,\ x_4=1.
Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Forma_matriciale_e_sistemit_t%C3%AB_ekuacioneve_lineare"