Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare

Forma e përgjithshme e sistemit të n ekuacioneve (barazimeve) lineare me n të panjohura është:

\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+ \cdots +a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots +a_{2n}x_n=b_2 \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+ \cdots +a_{nn}x_n=b_n \end{matrix}

ku njëlloj, sikurse për sistemin (32), përkufizohet përcaktori kryesor D, përcaktorët karakteristikë D_k (k=1, 2, \cdots, n) dhe zgjidhja (t_1, t_2, \cdots, tn) e këtij sistemi. Gjithashtu, në mënyrë analoge, nxirren formulat e Cramerit respektivisht i shumëzojmë me radhë ekuacionet e këtij sistemi me kofaktorët Aik të elementeve aik, ku i=1, 2, \cdots, nhe pastaj ato ekuacione i mbledhim njëherit duke grupuar kufizat sipas të panjohurave xi;

( \sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ik})x_1 +( \sum_{i=1}^{n} a_{i2}A_{ik}) x_2 + \cdots +(\sum_{i=1}^{n}a_{ik}A_{ik})x_k+ \cdots
+(\sum_{i=1}^{n} a_{in}A_{ik}) x_n=( \sum^{n}_{i=1}b_iA_{ik}) .

Tani duke pasur parasysh formulat:

(a) \sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ik}=0, \forall j\ne k;

(b) \sum^{n}_{i=1} a_{ij}A_{ik}=D, \forall j=k;

(c) \sum^{n}_{i=1}b_iA _{ik} = D_k, k =1, 2, \cdots , n

barazimi i fundit merr këtë formë:

(\sum^{n}_{i=1}, a_{ik}A_{ik})x_k= \sum^{n}_{i=1} b_iA_{ik}

respektivisht

Dx_3k=D_k, \ k=1, 2,\cdots, n

Kur supozojmë se D\ne 0, përftohen formulat e Cramerit:

x_3k=\frac {D_k}{D}, \ k=1,2,\cdots,n (...35)

Nëse në sistemin (34) kufizat e lira janë të barabarta me zero (b_i=0, \forall i=1, 2, \cdots , n), sistemi i tillë quhet sistem i ekuacioneve homogiene. Kur D \ne 0, ky sistem ka vetëm zgjidhjen triviale:

x_{31}=0, \; x_2=0,\cdots, x_n=0.

[redaktoni] Shembuj

Të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

\begin{matrix} \ x_1 +2x_2 +3 x_3 +4x_4=\ 5 \\ 2x_1 +\ x_2 +2 x_3 +3x_4=\ 1 \\ 3x_1 +2x_2 +\ x_3 +2x_4=\ 1 \\ 4x_1 +3 x_2 +2 x_3 + x_4\ = -5 \\ \end{matrix}

Zgjidhje Përcaktorët e këtij sistemi janë:

D = − 20,D1 = 40,D2 = − 40,D3 = 60,D4 = − 60.

Me aplikimin e formulave të Cramerit përftohet : x1 = − 2,x2 = 2,x3 = − 3 dhe x4 = 3, prandaj katërshi i renditur ( − 2,2; − 3;3) është zgjidhja e sistemit të dhënë.

Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Sistemi_i_n_ekuacioneve_lineare_me_n_t%C3%AB_panjohura"