Transponimi i matricës

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare

Le të jetë M bashkësia e matricave kurse A = [aik]m,n, çfarëdo një matricë e bashkësisë M.

Tabela e përmbajtjeve

[redaktoni] Përkufizimi

Veprimi τ i cili rreshtat e matricës A i trunsforman në shtylla përkatëse e shtyllat në rreshta përkatës quhet transponim i matricës.[1]

[redaktoni] Simboli

Matricë e transponuar e matricës A = [aik]m.n shënohet me Aτ ose A^\prime, pra:

[redaktoni] Formulimi

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \overset {p\ddot{e}rk}{=} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{m1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} (...22)

Me transponimin e matricës njështyllore përftohet matrica njërreshtore dhe e anasjellta, pra:

\begin{bmatrix}a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1}\end{bmatrix}'= \begin{bmatrix}a_{11}, & a_{21}, & \dots, & a_{n1}\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}a_{11}, & a_{12}, & \dots, & a_{1n}\end{bmatrix}'= \begin{bmatrix}a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n}\end{bmatrix} (...23)

ndërkaq me transponimin e matricës simetrike A përftohet përsëri matrica A, d.m.th.: A' = A.

Për veprimin e transponimit të matricave vlejn këto ligje:

(d1) (A')' = A \, ; (d2) (A+B)' = A'+B' \, ;
(d3) (\alpha A)' = \alpha A' \, ; (d4) (AB)' = B'A' \, .

[redaktoni] Shembuj

Të vërtetojmë p.sh. formulën: (AB)' = B'A'.

Le të supozojmë se matricat A, B janë:

A = [aij]m,nB = [bjk]n,p,

atëherë matrica B' do të jetë e tipit p \times n, kurse A' e tipit n \times m, çka do të thotë se ekziston prodhimi B'A'.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit k me shtyllën i të matricës (AB)' është \sum^{n}_{j=1} a_{ij}b_{jk} kurse të matricës B'A' është \sum^{n}_{j=1} b_{jk}a_{ij}. Meqenëse:

\sum^{n}_{j=1} a_{ij}b_{jk}= \sum^{n}_{j=1}, b_{jk}a_{ij},

prandaj konkludojmë se është e saktë formula (AB)' = B'A'.

Përcaktorët


Cite error: <ref> tags exist, but no <references/> tag was found

Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Transponimi_i_matric%C3%ABs"