Fuqia e matricave katrore

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare

Kur matrica katrore A = [a_{ik}]^n_1 shumëzohet me vetveten, përftohet katrori i saj që shënohet A2. Ndërkaq fuqia m e matricës katrore A përkufizohet me relacionin:

A^m \ \overset {p\ddot{e}rk} {=} \ \begin{cases} \underbrace {AA...A}_{m-her\ddot{e}} & kur \ 1 \ne m \in N \\ A, & kur \ m=1 \\ E, & kur \ m=0 \end{cases}.

Nga ky përkufizim rriedhin këto rregulla për fuqizimin e matricave:

(c1) AmAn = Am + n ;
(c2) (Am)n = Amn ,
(c3) (AB)m = AmBm , nëse matricat A, B janë komutative.

Tabela e përmbajtjeve

[redaktoni] Polinomi matricial

Shprehja e formës:

p (X)=a_0 X^n+a_1 X^{n-1} + \cdots +a_{n-1} X+a_n E, (...20)

ku X dhe E janë matrica katrore dhe matrica e njësishme të rendit të njëjtë, kurse a_0, a_1, \cdots , a_n numra çfarëdo, quhet polinom matricial[1].

[redaktoni] Ekuacioni marticial

Ekuacioni i formës:

a_0 X^n+a_1X^{n-1} + \cdots +a_{n-1}X+a_n E =0 (...21)

quhet ekuacion matricial.

[redaktoni] Rrënja e polinomit matricial dhe polinomi anulues

Është e qartë se polinomi matricial p(X) është matricë. Madje, në përgjithësi, polinomi matricial mund të përftohet kur në polinomin e zakonshëm

p(x)=a_0 x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-l}x+a_n

zëvendësohet në vend të variablit x matrica A dhe në vend të kufizës së lirë an matrica skalare anE e rendit të njëjtë me matricën A. Nëse me atërast përftohet zero-matricë, d.m.th. nëse p(A) = 0, matrica A quhet rrënja e polinomit p(x), kurse polinomi p(x) quhet polinom anulues për matricën A.

[redaktoni] Shembuj

Të vërtetohet se matrica skalare është komutative me secilën matricë katrore të rendit të njëjtë.

V ë r t e t i mLe të jenë S = [d\delta_{ik}]^n_{1} dhe A = [a_{ik}]^n_{1} çfarëdo një matricë skalare dhe çfarëdo një matricë katrore të rendit n. Meqë është:

(a) S \cdot A=(dE) . A=d (E \cdot A)=dA ; dhe
(b) A \cdot S=A . (dE)=d (A \cdot E)=dA ,

prandaj konkludojmë se vlen relacioni S . A=A \cdot S.

Të vërtetohet barazia

\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}^n =\begin{bmatrix} a^n & na^{n-1} \\ 0 & a^n \end{bmatrix}, ku \ n \in N .

V ë r t e t i m: Përdorim metodën e induksionit të plotë matematikor,

Për n = 2 kemi:

\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^2 & 2a \\ 0 & a^2 \end{bmatrix}.

Tani supozojmë se barazia është e saktë për n = m - 1 (\geqslant-2):

\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}^{m-1}=\begin{bmatrix} a^{m-1} & (m-1)a^{m-2} \\ 0 & a^{m-1} \end{bmatrix} .

Kur këtë barazi e shumëzojmë me matricën \begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix} del:

\begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}^m =\begin{bmatrix} a^{m-1} & (m-1)a^{m-2} \\ 0 & a^{m-1} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^m & ma^{m-1} \\ 0 & a^m \end{bmatrix}.

çka do të thotë se barazia e dhënë është e saktë \forall n \in N.

Të zgjidhet ekuacioni matricial

2X + 5E = 3A,

ku E është matricë e njësishme e rendit të tretë, kurse

\begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 6 & 4 & -1 \end{bmatrix} .

Z g j i d h j e Në ekuacion i zëvendësojmë matricat e dhëna dhe njëherit i kryejmë operacionet e shënuara:

2X=3A-5E=3 \begin{bmatrix}3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 &-2 \\ 6 & 4 & -1 \end{bmatrix} -5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=

= \begin{bmatrix} \;9 & \ 6 & \;0 \\ \;0 & \;3 & -6 \\ 18 & 12 & -3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -5 & \;0 & \;0 \\ \;0 & -5 & \;0 \\ \;0 & \;0 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \;4 & \;6 & \;0 \\ \;0 & -2 & -6 \\ 18 & 12 & -8 \end{bmatrix}

respektivisht
X= \begin{bmatrix} 9 & \;3 & \;0 \\ 0 & -1 & -3 \\ 9 & \;6 & -4 \end{bmatrix}

Transponimi i matricës


Cite error: <ref> tags exist, but no <references/> tag was found

Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Fuqia_e_matricave_katrore"