Matricat regulare, singulare dhe inverse

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Matrica regulare

Përkufizimi

Matrica katrore $A=[a_{ik}]_{1}^{n}$ quhet matricë regulare nëse $\det A\neq 0$, kurse është matricë singulare nëse $\det A=0\,$.

Vetit

Matrica regulare quhet edhe matricë e padegjeneruar ose matricë josingulare, ndërkaq matrica singulare quhet edhe matricë joregulare ose matricë e degjeneruar.

Matrica inverse

Përkufizimi

Matrica inverse e matricës regulare $A=[a_{ik}]_{1}^{n}$ quhet matrica $A^{-1}$ për të cilën vlen relacioni

$AA^{-1}=A^{-1}A=E$, (...36)

ku $E$ është matricë e njësishme e rendit $n$.

Vetit

Për matricën inverse $A^{-1}$ të matricës regulare $A=[a_{ik}]^{n}{j}$ vlen relacioni:

$A^{-1}={\frac {adjA}{\det A}}$ (...37)

Vërtet, nga formula (29a) kemi:

$Aadj\,A=DE$, respektivisht ${\frac {Aadj\,A}{\det A}}=E$.

Shfrytëzojmë tani edhe formulën përkufizuese (36) dhe marrim:

$AA^{-1}={\frac {A\ adj\,A}{\det A}}$

prej nga del:

$A^{-1}={\frac {adj\,A}{\det A}}$.

Në bazë të relacionit (36) vërtetohet formula:

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$. (...38)

Shembuj

Të gjendet matrica inverse e matricës

$A={\begin{bmatrix}2&-3&\ 1\\3&-\ 4&\ 5\\3&-5&-1\\\end{bmatrix}}$

       Z g j i d h j e : Njehsojmë: $\det A=-1$,

$adjA={\begin{bmatrix}\ -29&8&11\\\ -18&5&\ 7\\3&\ \ -1&-1\\\end{bmatrix}}$

dhe aplikojmë formulën (37):

$A^{-1}={\begin{bmatrix}29&-8&-11\\18&-5&\ -7\\\ -3&1&\quad 1\\\end{bmatrix}}$

Tani mund të verifikohet edhe formula (36): $AA^{-1}=A^{-1}A=E$.

Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare