Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare

Forma e përgjithshme e sistemit të tri ekuacioneve (barazimeve) lineare me tri të panjohura është:

\begin{matrix} a_{11}x_l+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{matrix} (...32)

ku numrat a_{ik} \ (i, k=1, 2, 3) janë koeficientet, ndërsa numrat b_i \ (i=1, 2, 3) janë kufizat e lira të këtij sistemi. Përcaktori

D=\det [a_{ik}]^3_{1}

quhet përcaktor kryesor, ndërsa

D_1=\begin{vmatrix} b_1 &a_{12} &a_{13} \\ b_2 &a_{22} &a_{23} \\ b_3 &a_{32} &a_{33} \end{vmatrix}, D2=\begin{vmatrix} a_{11} &b_1 &a_{13} \\ a_{21} &b_2 &a_{23} \\ a_{31} &b_3 &a_{33} \end{vmatrix} ,D3=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &b_1 \\ a_{21} &a_{22} &b_2 \\ a_{31} &a_{32} &b_3 \end{vmatrix}

quhen përcaktorë karakteristikë të sistemit (32). Treshi i renditur (t1,t2,t3)quhet zgjidhja (rrënja) e sistemit (32), nëse secili ekuacion i sistemit bëhet formulë e saktë kur të panjohurat x1,x2,x3 zëvendësohen me t1,t2,t3. Dy sisteme ekuacionesh S1,S2 me të panjohura të njëjta quhen sisteme ekuivalente nëse i kanë zgjidhje të barabarta.

[redaktoni] Formula e Cramerit

Formulat për zgjidhjen e sistemit (32) nxirren në këtë mënyrë:

1°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët A11,A21,A31 dhe pastaj i mbledhim dhe i grupojmë:
\begin{matrix} (a_{11}A_{11} +a_{21}A_{21} +a_{31}A_{31}) x_1 +(a_{12}A_{11} +a_{22}A_{21} +a_{32}A_{31}) x_2+ \\ \qquad +(a_{13}A_{11} +a_{23}A_{21} +a_{33}A_{31}) x_3=b_1A_{11} +b_2A_{21} +b_3A_{31}. \end{matrix}
Meqenëse:
\begin{matrix} a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}=D \\ a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+a_{32}A_{31}=0 \\ a_{13}A_{11}+a_{23}A_{21}+a_{33}A_{31}=0 \\ \qquad b_1A_{11}+b_2A_{21}+b_3A_{31}=D_1 \\ \end{matrix}
prandaj merret
Dx_1=D_1 \,;
2°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët A12,A22,A32 dhe pastaj i mbledhim dhe igrupojm:
\begin{matrix} (a_{11}A_{12}+a_{21}A_{22}+a_{31}A_{32}) x_1 +(a_{12}A_{12}+a_{22}A_{22}+a_{32}A_{32}) x_2 \\ \qquad+(a_{13}A_{12}+a_{23}A_{22}+a_{33}A_{32}) x_3=b_1A_{12}+b_2A_{22}+b_3A_{32}. \end{matrix}
Në këtë barazim koeficientet pranë x1 dhe x3 janë zero, koeficienti i x2 është D, kurse kufiza e lirë është D2,prandaj
Dx_2=D_2 \,;
3°. Në fund, ekuacionet e sistemit (32) i shumëzojmë me radhë me kofaktorët A13,A23,A33 dhe pastaj i mbledhim:
\begin{matrix} (a_{11}A_{13}+a_{21}A_{23}+a_{31}A_{33}) x_1+(a_{12}A_{13}+a_{22}A_{23}+a_{32}A_{33}) x_2+ \\ \qquad+(a_13A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A33) x_3=b_1A_{13}+b_2A_{23}+b_3A_{33}. \end{matrix}
Këtu koeficientet e x1 dhe x2 janë zero, koeficienti i x3 është D, kurse kufiza e lirë është e barabartë me D3,prandaj kemi:
Dx_3=D_3 \,.
Kështu: nëse D\ne 0, zgjidhja e sistemit (32) caktohet me formulat:
x_1=\frac{D_1}{D},\quad x_2=\frac {D_2}{D},\quad x_3=\frac{D_3}{D}, (...33)
që quhen formula të Cramerit[1].

[redaktoni] Shembuj

Me formulat e Cramerit të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

\begin{matrix} 2x_1 +3x_2 +5x_3 =2 \\ \ x_1 +2x2 -\ x_3 =5 \\ 3x_1 -\ x_2 +\ x_3 =4 \end{matrix}

Zgjidhje:Përcaktorët e sistemit janë:

\begin{matrix} D=\begin{vmatrix} 2 &3 &5 \\ 1 &2 &-1 \\ 3 &-1 &1 \end{vmatrix}=-4S, & D_1=\begin{vmatrix} 2 &3 &5 \\ 5 &2 &-1 \\ 4 &-1 &1 \end{vmatrix}=-90, \\ D_2=\begin{vmatrix} 2 &2 &5 \\ 1 &5 &-1 \\ 3 &4 &1 \end{vmatrix}= -45, & D_3=\begin{vmatrix} 2 &3 &2 \\ 1 &2 &5 \\ 3 &-1 &4 \end{vmatrix}=45. \end{matrix}
Me zbatimin e formulave (33) marrim:
x_1=2, x_2=1, x_3=-1 \,.

Me formulat e Cramerit të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

\begin{matrix} 5ax_1- 4bx_2+ 2cx_3 =3abc \\ 3ax_1- 6bx_2+ 5cx_3 =2abc \\ 2ax_1- 3bx_2+\ cx_3 =0\quad \end{matrix}

Zgjidhje:Përcaktorët e sistemit janë:

D=23abc; \ D_1=23ab^2c^2; \ D_2=23a^2bc^2; \ D_3=23a^2b^2c.

Supozojmë se a, b, c \ne 0 dhe zbatojmë formulat e Cramerit:

x_1=bc, \ x_2=ac, \ x_3=ab,

pra, treshi i renditur (bc, \ ac, \ ab) paraqet zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve të dhëna.


Cite error: <ref> tags exist, but no <references/> tag was found

Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Sistemi_i_tri_ekuacioneve_lineare_me_tri_t%C3%AB_panjohura"