Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Forma e përgjithshme e sistemit të tri ekuacioneve (barazimeve) lineare me tri të panjohura është:

${\begin{matrix}a_{11}x_{l}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\end{matrix}}$ (...32)

ku numrat $a_{ik}\ (i,k=1,2,3)$ janë koeficientet, ndërsa numrat $b_{i}\ (i=1,2,3)$ janë kufizat e lira të këtij sistemi. Përcaktori

$D=\det[a_{ik}]_{1}^{3}$

quhet përcaktor kryesor, ndërsa

$D_{1}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}},D2={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\end{vmatrix}},D3={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\end{vmatrix}}$

quhen përcaktorë karakteristikë të sistemit (32). Treshi i renditur $(t_{1},t_{2},t_{3})$quhet zgjidhja (rrënja) e sistemit (32), nëse secili ekuacion i sistemit bëhet formulë e saktë kur të panjohurat $x_{1},x_{2},x_{3}$ zëvendësohen me $t_{1},t_{2},t_{3}$. Dy sisteme ekuacionesh $S_{1},S_{2}$ me të panjohura të njëjta quhen sisteme ekuivalente nëse i kanë zgjidhje të barabarta.

Formula e Cramerit

Formulat për zgjidhjen e sistemit (32) nxirren në këtë mënyrë:

1°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët $A_{11},A_{21},A_{31}$ dhe pastaj i mbledhim dhe i grupojmë:

${\begin{matrix}(a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31})x_{1}+(a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+a_{32}A_{31})x_{2}+\\\qquad +(a_{13}A_{11}+a_{23}A_{21}+a_{33}A_{31})x_{3}=b_{1}A_{11}+b_{2}A_{21}+b_{3}A_{31}.\end{matrix}}$

Meqenëse:

${\begin{matrix}a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}=D\\a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+a_{32}A_{31}=0\\a_{13}A_{11}+a_{23}A_{21}+a_{33}A_{31}=0\\\qquad b_{1}A_{11}+b_{2}A_{21}+b_{3}A_{31}=D_{1}\\\end{matrix}}$

prandaj merret

$Dx_{1}=D_{1}\,$;

2°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët $A_{12},A_{22},A_{32}$ dhe pastaj i mbledhim dhe igrupojm:

${\begin{matrix}(a_{11}A_{12}+a_{21}A_{22}+a_{31}A_{32})x_{1}+(a_{12}A_{12}+a_{22}A_{22}+a_{32}A_{32})x_{2}\\\qquad +(a_{13}A_{12}+a_{23}A_{22}+a_{33}A_{32})x_{3}=b_{1}A_{12}+b_{2}A_{22}+b_{3}A_{32}.\end{matrix}}$

Në këtë barazim koeficientet pranë $x_{1}$ dhe $x_{3}$ janë zero, koeficienti i $x_{2}$ është $D$, kurse kufiza e lirë është $D_{2}$,prandaj

$Dx_{2}=D_{2}\,$;

3°. Në fund, ekuacionet e sistemit (32) i shumëzojmë me radhë me kofaktorët $A_{13},A_{23},A_{33}$ dhe pastaj i mbledhim:

${\begin{matrix}(a_{11}A_{13}+a_{21}A_{23}+a_{31}A_{33})x_{1}+(a_{12}A_{13}+a_{22}A_{23}+a_{32}A_{33})x_{2}+\\\qquad +(a_{1}3A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A33)x_{3}=b_{1}A_{13}+b_{2}A_{23}+b_{3}A_{33}.\end{matrix}}$

Këtu koeficientet e $x_{1}$ dhe $x_{2}$ janë zero, koeficienti i $x_{3}$ është $D$, kurse kufiza e lirë është e barabartë me $D_{3}$,prandaj kemi:

$Dx_{3}=D_{3}\,$.

Kështu: nëse $D\neq 0$, zgjidhja e sistemit (32) caktohet me formulat:

$x_{1}={\frac {D_{1}}{D}},\quad x_{2}={\frac {D_{2}}{D}},\quad x_{3}={\frac {D_{3}}{D}},$ (...33)

që quhen formula të Cramerit.

Shembuj

Me formulat e Cramerit të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

${\begin{matrix}2x_{1}+3x_{2}+5x_{3}=2\\\ x_{1}+2x2-\ x_{3}=5\\3x_{1}-\ x_{2}+\ x_{3}=4\end{matrix}}$

Zgjidhje:Përcaktorët e sistemit janë:

${\begin{matrix}D={\begin{vmatrix}2&3&5\\1&2&-1\\3&-1&1\end{vmatrix}}=-4S,&D_{1}={\begin{vmatrix}2&3&5\\5&2&-1\\4&-1&1\end{vmatrix}}=-90,\\D_{2}={\begin{vmatrix}2&2&5\\1&5&-1\\3&4&1\end{vmatrix}}=-45,&D_{3}={\begin{vmatrix}2&3&2\\1&2&5\\3&-1&4\end{vmatrix}}=45.\end{matrix}}$

Me zbatimin e formulave (33) marrim:

$x_{1}=2,x_{2}=1,x_{3}=-1\,$.

---

Me formulat e Cramerit të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

${\begin{matrix}5ax_{1}-4bx_{2}+2cx_{3}=3abc\\3ax_{1}-6bx_{2}+5cx_{3}=2abc\\2ax_{1}-3bx_{2}+\ cx_{3}=0\quad \end{matrix}}$

Zgjidhje:Përcaktorët e sistemit janë:

$D=23abc;\ D_{1}=23ab^{2}c^{2};\ D_{2}=23a^{2}bc^{2};\ D_{3}=23a^{2}b^{2}c.$

Supozojmë se $a,b,c\neq 0$ dhe zbatojmë formulat e Cramerit:

$x_{1}=bc,\ x_{2}=ac,\ x_{3}=ab,$

pra, treshi i renditur $(bc,\ ac,\ ab)$ paraqet zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve të dhëna.