Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët

Matricat

Kuptimi dhe barazia e matricave
- Simboli
- Matrica drejtkëndore
- Matrica komplekse
- Matricat e tipit të njëjtë
- Matrica katrore
- Matrica njështyllore
- Matrica njërreshtore
- Zero matrica
- Barazia e matricave
Veprimet lineare me matrica
Llojet e posaçme të matricave katrore
Shumëzimi i matricave
- Fuqia e matricave katrore
- Transponimi i matricës
Matricat regulare, singulare dhe inverse
- Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare
- Matricat katrore të posaçme
  - Matrica e Hermitit
Rangu i matricës
Përcaktimi praktik i rangut të matricës
Matricat ekuivalente
Transformimet elementare të matricës
Forma kanonike e matricës
Matrica e zgjeruar

Përcaktorët

Kuptimi i tyre
Vetit e përcaktorëve
Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve
Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar

Sistemet e ekuacioneve

Format lineare

Kur në matricën katrore $A = [a_{ik}]^n_{1}$ secili element i saj $a i k$ zëvendësohet me kofaktorin $A k i$ elementit $a k i$ të $det A$ përftohet një matricë që quhe't matricë e adjunguar (matricë reciproke) e matricës $A$ dhe shënohet $adj \ A$ , pra:

$adj \ A=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}$ (...29)

Përcaktori i matricës së adjunguar (29) quhet përcaktor i adjunguar i matricës $A$ dhe shënohet $\det adj \ A$ , pra:

$\det \ adj \ A=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}$ (...30)

Meqenëse, në bazë të identiteteve:

$a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+ \cdots +a_{in}A_{kn}=\begin{cases} D, & kur \ i=k \\ 0, & kur \ i\ne k \end{cases}$ (...28b) $a_{1i}A_{1k}+a_{2i}A_{2k}+ \cdots +a_{ni}A_{nk}=\begin{cases} D, & kur \ i=k \\ 0, & kur \ i\ne k \end{cases}$ (...28c)

ku $D=\det A, \ i,k=l, 2, \cdots , n$ dhe në bazë të formulës (18) për prodhimin e matricave, del:

$A \cdot adj\,A= \begin{bmatrix} D & & &0 \\ &D & & \\ & &\ddots & \\ 0 & & &D \end{bmatrix}$ (...29a)

prandaj

$(\det A) (\det adj\,A)=(\det A)^n \,$ (...31}

respektivisht

$\det adj\,A=(\det A)^{n-1} \,$ .(...31a)

[redaktoni] Shembuj

Të gjindet $adj\,A$ dhe $\det adj\,A$ , nëse

$A=\begin{bmatrix} 3 &-4 &5 \\ 2 &-3 &1 \\ 3 &-5 &-1 \end{bmatrix}$ .

Z g j i d h j e : Duke zbatuar formulën (30) përftohet:

$adj\,A$

$= \begin{bmatrix} \begin{vmatrix} -3 &1 \\ -5 &-1 \end{vmatrix} &- \begin{vmatrix} -4 &6 \\ -5 &-1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -4 &5 \\ -3 &1 \end{vmatrix} \\- \begin{vmatrix} 2 &1 \\ 9 &-1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 3 &5 \\ 3 &-1 \end{vmatrix} &- \begin{vmatrix} 3 &5 \\ 5 &1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 2 &-3 \\ 3 &-5 \end{vmatrix} &- \begin{vmatrix} 3 &-4 \\ 3 &-5 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 3 &-4 \\ 2 &-3 \end{vmatrix} \end{bmatrix}$