Shumëzimi i matricave dhe fuqia e matricës katrore

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare

Tabela e përmbajtjeve

[redaktoni] Prodhimi i dy matricave

[redaktoni] Përkufizimi

Prodhimi i dy matricave A = [ai;]m,nB = [bjk]n,p quhet matrica C = [cik]m,p elementet e së cilës shprehen me relacionet:

c_{ik} = \sum _{j=1}^n a_{ij}b_{jk} \ (i = 1, 2, ... , m; k = 1, 2, ..., p)

[1]

[redaktoni] Formulimi

[a_{ij}]_{m,n} \cdot [b_{jk}]_{n,p}=[ \sum^n_{j=1}a_{ij}b_{jk}]_{m,p} (...18)

[redaktoni] Vetit

Nga ky përkufizim del:

(1) Elementi cik i prodhimit të matricave A,B është i barabartë me shumën algjebrike të prodhimeve të elementeve të rreshtit „i" të matricës A me elementet korresponduese të shtyllës „k" të matricës B. Tabela që vijon paraqet skemën e njehsimit të këtij elementi:
094 Tabela e matricave.PNG
(2) Prodhimi i dy matricave A,B ekziston atëherë dhë vetëm atëherë, nëse numri i shtyllave të faktorit të parë është i barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë. Prandaj del se gjithmonë ekziston prodhimi i matricave katrore të rendit të njëjtë.

[redaktoni] Përjashtimi i ligjit të komutacionit

Kështu fare nuk mund të flitet për ligjin e komutacionit lidhur me shumëzimin e matricave drejtkëndore, ose të matricës drejtkëndore me matricën katrore, sepse me ndërrimin e renditjes së faktorëve, eliminohet kushti i nevojshëm që numri i shtyllave të faktorit të parë të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë. Madje, në përgjithësi, as shumëzimi i dy matricave katrore nuk është veprim komutativ. Vërtet, nëse e marrim se A = [a_{ik}]^n_{1} , B = [b_{ik}]^n_{1} janë çfarëdo dy matrica katrore të rendit n atëherë elementi cik i prodhimit A \cdot B është:

c_{ik}= \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}=a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+\cdots +a_{in}b_{nk}

ndërsa elementi përkatës dik i prodhimit B \cdot A është:

d_{ik}= \sum^n_{j=1} b_{ij}a_{jk}=b_{i1}a_{1k}+b_{i2}a_{2k}+\cdots +b_{in}a_{nk}

nga del se, në rastin e përgjithshëm:

c_{ik} \ne d_{ik} \ (i, k = 1, 2, ... , n)

.

[redaktoni] Matricat komutative

Mirëpo, kur për dy matrica katrore A,B vlen ligji i komutacionit (A \cdot B=B \cdot A), ato quhen matrica komutative.

[redaktoni] Shembuj

Le të jenë dhënë matricat

A=\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 4 \\ 1 & 3 \\ 1 & -5 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 5 & 3 \end{bmatrix}

Të njehsohen prodhimet A \cdot B dhe B \cdot A.

Z g j i d h j e Duke aplikuar formulën (18) përftojmë:

A\cdot B=\begin{bmatrix} 24 & 12 & 10 & 18 \\ -2 & 14 & 20 & 6 \\ 11 & 13 & 15 & 12 \\ -5 & -19 & -25 & -12 \end{bmatrix}, dhe B \cdot A=\begin{bmatrix} 21 & -1 \\ 8 & 20 \end{bmatrix}

Të vërtetohet se matrica e njësishme E e rendit n është element neutral lidhur me shumëzimin e matricave katrore të rendit n. respektivisht se A \cdot E=E \cdot A=A.

V ë r t e t i m: Duke përdorur formulat (14) dhe (18) njehsojmë elementin që ndodhet në prerjen e rreshtit i me shtyllën k për prodhimet E \cdot A dhe A \cdot E:

c_{ik}= \sum^{n}_{j=1} \delta_{ij}a_{jk}=a_{ik}, \ d_{ik}= \sum^{n}_{j=1} a_{ij}\delta_{jk}=a_{ik}.

Pra, meqë cik = dik = aik konkludojmë se është i saktë pohimi.

[redaktoni] Ligjet për shumëzimin e matricave

Për shumëzimin e matricave vlejnë këto ligje:

(b1) α(AB) = (αA)B = A(αB);
(b2) (AB)C = A(BC);
(b3) (A + B)C = AC + BC;
(b4) A(B + C) = AB + AC.

[redaktoni] Vërtetimi i ligjit të asociacionit

Të vërtetojmë, p.sh. ligjin e asociacionit: (AB)C = A(BC).

Le të supozojmë se matricat A, B, C janë:

A = [aij]m,n,B = [bjk]n,p,C = [cki]p,q.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit i me shtyllën k të matricës AB është:

d_{ik}=\sum^{n}_{j=1} a_{ij}b_{jk}.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit i me shtyllën l të matricës (AB)C është:

e_{il}= \sum^{p}_{k=1} d_{ik}c_{ki}= \sum^{p}_{k1} ( \sum^{n}_{j=1} a_{ij}b_{jk})c_{kl}= \sum^{p}_{k=1}, \sum^{n}_{j=1} a_{ij} b_{jk} c_{ki}.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit j me shtyllën l të matricës BC është:

f_{jl}= \sum^{p}_{k=1} b_{jk}c_{kl}.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit i me shtyllën l të matricës A(BC) është:

g_{il}=a_{ij}f_{jl}= \sum^{n}_{j=1} a_{ij}(\sum^{p}_{k=1} b_{jk}c_{kl})= \sum^{n}_{j=1} \sum^{p}_{k=1} a_{ij}b_{jk}c_{kl}.

Meqenëse është i saktë relacioni

\sum^{p}_{k=1} \sum^{n}_{j=1} a_{ij}b_{jk}c_{kl}= \sum^{n}_{j=1} \sum^{p}_{k=1} a_{ij}b_{jk}c_{kl},

konkludojmë se shumëzimi i matricave është veprim asociativ. Fuqia e matricave katrore

[redaktoni] Burime

  1. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Shum%C3%ABzimi_i_matricave_dhe_fuqia_e_matric%C3%ABs_katrore"