Pavarshmëria e formave lineare

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët

Matricat

Kuptimi dhe barazia e matricave
- Simboli
- Matrica drejtkëndore
- Matrica komplekse
- Matricat e tipit të njëjtë
- Matrica katrore
- Matrica njështyllore
- Matrica njërreshtore
- Zero matrica
- Barazia e matricave
Veprimet lineare me matrica
Llojet e posaçme të matricave katrore
Shumëzimi i matricave
- Fuqia e matricave katrore
- Transponimi i matricës
Matricat regulare, singulare dhe inverse
- Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare
- Matricat katrore të posaçme
  - Matrica e Hermitit
Rangu i matricës
Përcaktimi praktik i rangut të matricës
Matricat ekuivalente
Transformimet elementare të matricës
Forma kanonike e matricës
Matrica e zgjeruar

Përcaktorët

Kuptimi i tyre
Vetit e përcaktorëve
Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve
Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar

Sistemet e ekuacioneve

Format lineare

Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare
Format lineare
- Rangu i matricës
Pavarshmëria e formave lineare
Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës
Matricat ekuivalente
- Transformimet elementare të matricës
Përcaktimi praktik i rangut të matricës
- Forma kanonike e matricës
Teorema e Kronecker-Capellit
- Matrica e zgjeruar

T e o r e m a: Nëse rangu i matricës së bashkësisë së formave lineare $f_1, f_2, \cdots , f_m$ është $r$ , ekzistojnë $r$ forma lineare linearisht të pavarura, ndërsa të gjitha forma tjera janë kombinime lineare homogjene prej atyre $r$ formave lineare të pavarura.

V ë r t e t i m: Meqenëse $r (A) = r$ , ekziston së paku një submatricë regulare e rendit $r$ . E zëmë se një submatricë e atillë ndodhet në këndin e epërm të matricës:

$\left[ \begin{array}{llllll} a_{11} & a_{12} & a_{1r} & a_{1,r+1} & \dots & a_{1r} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2r} & a_{2,r+1} & \dots & a_{2r} \\ \vdots & && \vdots \\ a_{r1} & a_{r2} & a_{rr} & a_{r,r+1} & \dots & a_{rr} \\ a_{r+1,r} & a_{r+1,r} & a_{1r} & a_{1,r+1} & \dots & a_{r+1,n} \\ \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{mr} & a_{m,r+1} & \dots & a_{mn} \\ \end{array}\right]$

Le të supozojmë, të kundërtën e pohimit të teoremës, se format $f_1, f_2, \cdots, f_r$ janë linearisht të varura:

$c_1f_1+c_2f_2+ \cdots +c_rf_r\equiv 0$

ku të gjitha konstantet $c_1, c_2, \cdots, c$ , nuk janë të barabarta me zero. Kur në këtë identitet zëvendësohen shprehjet për $f 1,. f 2 f r$ dhe grupohen kufizat sipas panjohurave $x_1, x_2, \cdots , x_n$ , përftohet:

$(c_1a_{11}\!+\!c_2a_{21}\!+\! \cdots \!+\!c_ra_{r1})x_1\!+\!(c_1a_{12}\!+\!c_2a_{22}\!+\! \cdots \!+\!c_ra_{r2})x_2\!+\! \cdots \!+\!$

$\!+\!(c_1a_{1r}\!+\!c_2a_{2r}\!+\!\dots c_ra_{rr})x_r \cdots \!+\!(c_1a_{1n}+c_2a_{2n}\!+\! \cdots \!+\!c_ra_{rn}) x_n\equiv 0$ .

Nga ky identitet del ky sistem i ekuacioneve homogjene:

$\begin{array}{rcl} c_1a_{11}+c_2a_{21}+ \cdots +c_ra_{r1} &=& 0 \\ c_1a_{12}+c_2a_{22}+ \cdots +c_ra_{r2} &=& 0 \\ & \vdots & \\ c_1a_{1r} +c_2a_{2r} + \cdots +c_ra_{rr} &=& 0 \\ & \vdots & \\ c_1a_{1n} +c_2a_{2n} + \cdots +c_na_{rn} &=& 0 \\ \end{array}$

Në p. 5.6. kemi konstatuar se sistemi i tillë (kur $D \ne 0$ ) ka vetëm zgjidhje triviale: $c_1=0, c_2=0 \cdots, c_r=0$ , sepse përcaktorët karakteristikë të tij janë të barabartë me zero $(D_k=0, \forall k=1, 2, \cdots , r$ ). Meqenëse ky rezultat është në kundërshtim me supozimin se të gjitha konstantet $c_1, c_2, \cdots , c_r$ nuk janë të barabarta me zero, andaj konkludojmë se në bashkësinë e formave lineare $f_1, f_2,\cdots, f_m$ , ekzistojnë $r$ nga to $f_1, f_2,\cdots, f_r$ të cilat janë linearisht të pavarura.

Tani duhet të vërtetojmë se format tjera lineare $f_{r+1}, f_{r+2}, \cdots , f_m$ janë kombinime lineare homogjene prej $r$ formave të pavarura. Le të bëjmë këtë për formën lineare $f_j \ (j > r)$ . Për të provuar këtë duhet të vërtetojmë se përcaktori i rendit $r + 1$ :

$\Delta =\begin{array}{|rrrrr|} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1r} & f_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2r} & f_2 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{r1} & a_{r2} & \cdots & a_{rr} & f_r \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jr} & f_j \\ \end{array}$

është i barabartë me zero. Kur në shtyllën e fundit të këtij përcaktori zëvendësohen $f_1, f_2, \cdots, f_r, f_j$ me shprehjet përkatëse, ai mund të paraqitet si shuma e këtyre $n$ përcaktorëve:

$\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} & \cdots &a_{1r} &a_{1s}\\ a_{21} &a_{22} & \cdots &a_{2r} &a_{2s}\\ \cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ \cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{r1} &a_{r2} & \cdots &a_{rr} &a_{rs}\\ a_{j1} &a_{j2} & \cdots &a_{jr} &a_{js}\\ \end{vmatrix}x_s=x_sD_s \ (s=1,2, \ldots, n)$