Përcaktimi praktik i rangut të matricës

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët

Matricat

Kuptimi dhe barazia e matricave
- Simboli
- Matrica drejtkëndore
- Matrica komplekse
- Matricat e tipit të njëjtë
- Matrica katrore
- Matrica njështyllore
- Matrica njërreshtore
- Zero matrica
- Barazia e matricave
Veprimet lineare me matrica
Llojet e posaçme të matricave katrore
Shumëzimi i matricave
- Fuqia e matricave katrore
- Transponimi i matricës
Matricat regulare, singulare dhe inverse
- Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare
- Matricat katrore të posaçme
  - Matrica e Hermitit
Rangu i matricës
Përcaktimi praktik i rangut të matricës
Matricat ekuivalente
Transformimet elementare të matricës
Forma kanonike e matricës
Matrica e zgjeruar

Përcaktorët

Kuptimi i tyre
Vetit e përcaktorëve
Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve
Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar

Sistemet e ekuacioneve

Format lineare

Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare
Format lineare
- Rangu i matricës
Pavarshmëria e formave lineare
Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës
Matricat ekuivalente
- Transformimet elementare të matricës
Përcaktimi praktik i rangut të matricës
- Forma kanonike e matricës
Teorema e Kronecker-Capellit
- Matrica e zgjeruar

Në p. 7.1. kemi pa se, në rastin e përgjithshëm, çfarëdo një matrice $A$ i përkasin një numër i konsiderueshëm submatricash katrore, prandaj përcaktimi i rangut të matricës nëpërmjet të submatricave katrore korresponduese është mjaft i gjatë dhe jopraktik. Të shohim tani këtu një mënyrë praktike të përcaktimit të rangut të matricës.

[redaktoni] Forma kanonike e matricës

Matrica e tipit $m \times n$ të formës

$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 & \cdots &0 & \\ 0 &1 &0 & \cdots &0 & \\ 0 &0 &1 & \cdots &0 &0 \\ \vdots & & & \ddots & & \\ 0 &0 &0 & \cdots &1 & \\ &0 & & & &0 \\ \end{bmatrix}$

quhet forma kanonike e matricës. Do të shohim se me anën e transformimeve elementare çdo matricë $A$ mund të transformohet në formën kanonike (43).

[redaktoni] Transformimi i matricës në formë kanonike

Me këtë qëllim le të shohim matricën $A =[a_{ik}]_{m.n} (\ne 0)$ . Supozojmë se $a_{11} \ne 0$ (në rast se ky kusht nuk plotësohet, $a 11 = 0$ , atëherë permutohet rreshti (shtylla) i parë me ndonjë rresht (shtyllë) tjetër, ku elementi i parë nuk është i barabartë me zero). Kur rreshtin e parë të matricës $A$ e shumëzojmë me numrin $\frac {1}{a_{11}}$ përftohet matrica ekuivalente:

$\begin{bmatrix} 1 & \frac {a_{12}} {a_{11}} & \cdots &\frac {a_{1n}} {a_{11}} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & & & \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots &a_{mn} \\ \end{bmatrix}$

Shtyllën e parë të kësaj matrice me radhë e shumëzojmë me numrat:

$- \frac {a_{12}} {a_{11}} ,\ - \frac {a_{13}} {a_{11}} ,\ \cdots ,\ - \frac {a_{1n}} {a_{11}}$

dhe pastaj me radhë ia shtojmë shtyllës së dytë, të tretë, $\cdots$ , shtyllës $n$ . Kështu përftohet matrica ekuivalente e formës:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & b_{22} & b_{23} & \cdots & b_{2b} \\ \vdots & & & & \\ a_{m1} & b_{m2} & b_{m3} & & b_{mn} \end{bmatrix}$

Rreshtin e parë të kësaj matrice me radhë e shumëzojmë me numrat $-a_{21}, -a_{31}, \ldots -a_{m1}$ dhe me radhë ia shtojmë rreshtit të dytë, të tretë, $\cdots$ , rreshtit $m$ . Me këtë rast përftohet matrica ekuivalente e formës:

$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 & \cdots &0 \\ 0 &b_{22} &b_{23} & \cdots &b_{2n} \\ \vdots & & & & \\ 0 &b_{m2} &b_{m3} &\cdots &b_{mn} \\ \end{bmatrix}$

Supozojmë se $b_{22} \ne 0$ dhe këtë algoritëm e përsërisim në matricën

$\begin{bmatrix} b_{22} & b_{23} & \cdots & b_{2n} \\ b_{32} & b_{33} & \cdots & b_{3n} \\ \vdots & & & \\ b_{m2} & b_{m3} & \cdots & b_{mn} \\ \end{bmatrix}$

me ç,rast do të përftohet matrica ekuivalente e formës:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & c_{33} & \cdots & c_{3n} \\ \vdots & & & & \\ 0 & 0 & c_{m3} & \cdots & c_{mn} \\ \end{bmatrix}$

Këtë veprim e vazhdojmë (përsërisim) derisa matrica e dhënë $A = [a i k] m, n$ nuk transformohet në formën kanonike (43).

Rangu i matricës kanonike (43) është i barabartë me numrin e njësheve në diagonalën kryesore të saj.

[redaktoni] Shembuj

Për shembull:

$A= \begin{bmatrix} 1 & \ 4 & \ 4 & 1 &2 \\ 2 & \ 5 & \ 8 & 2 &3 \\ 1 & -\!2 & \ 4 & 1 &0 \\ 3 & \ 1 & 12 & 3 &2 \end{bmatrix}$	(Shumëzojmë shtyllën e parë me radhë me $- 4, - 4, - 1, - 2$ dhe ia shtojmë shtyllës së dytë, së tretë, së katërt, së pestë)
$\thicksim \begin{bmatrix} 1 & \ 0 & 0 & 0 & \ 0 \\ 2 & -\!3 & 0 & 0 & -\!1 \\ 1 & -\!6 & 0 & 0 & -\!2 \\ 3 & -\!11 & 0 & 0 & -\!4 \end{bmatrix}$	(Shumëzojmë rreshtin e parë me radhë me $- 2, - 1, - 3$ dhe ia shtojmë rreshtit të dytë, të tretë, të katërt)
$\thicksim \begin{bmatrix} 1 & \ 0 & 0 & 0 & \ 0 \\ 0 & -3 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & -6 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & -11 & 0 & 0 & -4 \\ \end{bmatrix}$	(Permutojmë shtyllën e pestë me të tretën dhe pastaj me të dytën)
$\thicksim \begin{bmatrix} 1 & \ 0 & \ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -6 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & -\!11 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$	(Shumëzojmë shtyllën e dytë dhe të tretë me $- 1$ )
$\thicksim \begin{bmatrix} 1 & 0 & \ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & \ 6 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 11 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$	(Shumëzojmë shtyllën e dytë me $- 3$ dhe ia shtojmë shtyllës së tretë)
$\thicksim \begin{bmatrix} 1 & 0 & \ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & \ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$	(Shumëzojmë rreshtin e dytë me $- 2$ dhe $- 4$ dhe ia shtojmë rreshtit të tretë, përkatësisht të katërt)
$\thicksim \begin{bmatrix} 1 & 0 & \ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$	(Shumëzojmë rreshtin e katërt me -1 dhe permutojmë me rreshtin e tretë)
$\thicksim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$