Algoritmi i Gaussit

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët

Matricat

Kuptimi dhe barazia e matricave
- Simboli
- Matrica drejtkëndore
- Matrica komplekse
- Matricat e tipit të njëjtë
- Matrica katrore
- Matrica njështyllore
- Matrica njërreshtore
- Zero matrica
- Barazia e matricave
Veprimet lineare me matrica
Llojet e posaçme të matricave katrore
Shumëzimi i matricave
- Fuqia e matricave katrore
- Transponimi i matricës
Matricat regulare, singulare dhe inverse
- Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare
- Matricat katrore të posaçme
  - Matrica e Hermitit
Rangu i matricës
Përcaktimi praktik i rangut të matricës
Matricat ekuivalente
Transformimet elementare të matricës
Forma kanonike e matricës
Matrica e zgjeruar

Përcaktorët

Kuptimi i tyre
Vetit e përcaktorëve
Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve
Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar

Sistemet e ekuacioneve

Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura
- Formula e Cramerit
- Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare
Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura
- Algoritmi i Gaussit

Format lineare

Një metodë praktike për zgjidhjen e sistemit të $n$ ekuacioneve Iineare me $n$ të panjohura është ajo e Gaussit që quhet algoritmi i Gaussit. Të shohim tani këtë algoritëm.

Le të marrim sistemin:

$\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+ \dots +a_{1n}x_n &=&b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \dots +a_{2n}x_n &=&b_2 \\ &\vdots&\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+ \dots +a_{nn}x_n &=&b_n \\ \end{matrix}$

dhe le të supozojmë se $a_{11}\ne 0$ . Ekuacionin e parë të këtij sistemi e shumëzojmë me radhë me numrat:

$\frac {a_{21}}{a_{11}},\; \frac {a_{31}}{a_{11}},\; \frac {a_{41}}{a_{11}},\; \dots ,\; \frac {a_{n1}}{a_{11}}$

dhe barazimet e përftuara i zbresim me radhë prej ekuacionit të dytë, ekuacionit të tretë, . . . , ekuacionit të fundit. Kështu merret sistemi:

$\begin{matrix} a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& a_{13}x_3 &+& \cdots \; +& a_{1n}x_n &=& b_1 \\ & & a^1_{22}x_2 &+& a^1_{23}x_3 &+& \cdots \; +& a^1_{2n}x_n &=& b^1_{2} \\ & & a^1_{32}x_2 &+& a^1_{33}x_3 &+& \cdots \; +& a^1_{3n}x_n &=& b^1_{3} \\ & & & & & & & &\vdots& \\ & & a^1_{n1}x_2 &+& a^1_{n3}x_3 &+& \cdots \; +& a^1_{nn}x_n &=& b^1_{n} \\ \end{matrix}$

Në këtë sistem e panjohura $x 1$ është eliminuar nga të gjitha ekuacionet, përveç ekuacionit të parë. Përsërisim këtë veprim në sistemin (a) ku ekuacionin e dytë të tij e shumëzojmë me radhë me numrat:

$\frac {a^1_{32}}{a^1_{22}},\; \frac {a^1_{42}}{a^1_{22}},\; \frac {a^1_{52}}{a^1_{22}},\; \dots ,\; \frac {a^1_{n2}}{a^1_{22}},\; ku \ a^1_{22} \ne 0$

dhe pastaj barazimet e përftuara i zbresim me radhë prej ekuacionit të tretë, ekuacionit të katërt, . . . , ekuacionit të fundit. Me këtë rast sistemi do ta merrë këtë trajtë:

$\begin{matrix} a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& a_{13}x_3 &+& \cdots \;+ & a_{1n}x_n &= &b_1 \\ & & a^1_{22}x_2 &+& a^1_{23}x_3 &+& \cdots \;+ & a^l_{2n}x_n &= &b^l_2 \\ & & & & a^2_{33}x_3 &+& \cdots \;+ & a^2_{3n}x_n &= &b^2_3 \\ & & & & & & & & \vdots &\\ & & & & a^2_{n2}x_3 &+& \cdots \;+ & a^2_{nn}x_n &= b^2_n \\ \end{matrix}$

Me përsëritjen e këtij algoritmi $n - 1$ herë do të përftohet sistemi:

$\begin{matrix} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2 &+&a_{13}x_3 &+& \cdots \; +&+a_{1n}x_n &=& b_1 \\ & &a^1_{22}x_2 &+&a^{1}_{23}x_3&+& \cdots \; +&+a^1_{2n}x_n &=& b^1_l \\ & & & &a^3_{33}x_3 &+& \cdots \; +&+a^3_{3n}x_n &=& b^2_3 \\ & & & & & & & \vdots &\vdots & \\ & & & & & & &a^{n-1}_{nn}x_n &=& b^{n-1}_n\\ \end{matrix}$ (...34a)

i cili quhet sistemi trekëndor dhe është ekuivalent me sistemin (34). Zgjidhja e sistemit të fundit mund të reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit linear me një të panjohur. Vërtet, kur vlerën e panjohurës $x n$ , të njehsuar nga ekuacioni i fundit, e zëvendësojmë në atë të parafundit, marrim ekuacionin linear me të panjohurën $x n - 1$ . Kur vlerat e njehsuara të $x n$ dhe $x n - 1$ i zëvendësojmë në ekuacionin e tretë nga fundi, përsëri marrim ekuacionin linear me një të panjohur - me të panjohurën $x n - 2$ . Ky proces vazhdohet derisa edhe ekuacioni i parë i sistemit (34a) nuk reduktohet në një ekuacion me një të panjohur, nga njehsohet vlera e të panjohurës $x 1$ . Pra, kjo metodë e zgjidhjes së sistemit të ekuacioneve lineare quhet algoritmi i Gaussit.

[redaktoni] Shembuj

Me algoritmin e Gaussit të zgjidhet sistemi:

$\begin{matrix} \ x_1 &+& 2 x_2 &-& 3 x_3 &+& 4 x_4 &-& \ x_5 & =\! -1 \\ 2 x_1 &-& \ x_2 &+& 3 x_3 &-& 4 x_4 &+& 2 x_5 & =\ 8 \ \\ 3 x_1 &+& \ x_2 &-& \ x_3 &+& 2 x_4 &-& \ x_5 & =\ 3 \ \\ 4 x_1 &+& 3 x_2 &+& 4 x_3 &+& 2 x_4 &+& 2 x_5 & =\! -2 \\ \ x_1 &-& \ x_2 &-& \ x_3 &+& 2 x_4 &-& 3 x_5 & =\! -3 \\ \end{matrix}$

Z g j i d h j e: Duke aplikuar algoritmin e Gaussit marrim këto sisteme ekuivalente:

$\begin{matrix} \ x_1 &+& 2 x_2 &-& \ 3 x_3 &+& \ 4 x_4 &-& \ x_5 & = -1 \\ &-& 5 x_2 &+& \ 9 x_3 &-& 12 x_4 &+& 4 x_5 & =\; 10 \\ &-& 5 x_2 &+& \ 8 x_3 &-& 10 x_4 &+& 2 x_5 & =\ \; 6 \\ &-& 5 x_2 &+& 16 x_3 &-& 14 x_4 &+& 6 x_5 & =\ \; 2 \\ &-& 3 x_2 &+& \ 2 x_3 &-& \ 2 x_4 &-& 2 x_5 & = -2 \\ \ x_1 &+& 2 x_2 &-& \ 3 x_3 &+& \ 4 x_4 &-& \ \ x_5 & =\ -1 \\ &-& 5 x_2 &+& \ 9 x_3 &-& 12 x_4 &+& \ 4 x_5 & =\ \; 10 \\ & & &-& \ \ x_3 &+& \ 2 x_4 &-& \ 2 x_5 & =\ -4 \\ & & & & \ 7 x_3 &-& \ 2 x_4 &+& \ 2 x_5 & =\ -8 \\ & & &-& 17 x_3 &+& 26 x_4 &-& 22 x_5 & =\! -40 \\ \ x_1 &+& 2 x_2 &-& \ 3 x_3 &+& \ 4 x_4 &-& \ \ x_5 & =\ -1 \\ &-& 5 x_2 &+& \ 9 x_3 &-& 12 x_4 &+& \ 4 x_5 & =\ \; 10 \\ & & &-& \ \ x_3 &+& \ 2 x_4 &-& \ 2 x_5 & =\ -4 \\ & & & & & & 12 x_4 &-& 12 x_5 & =\! -36 \\ & & & & &-& \ 8 x_4 &+& 12 x_5 & =\ \; 28 \\ \ x_1 &+& 2 x_2 &-& \ 3 x_3 &+& \ 4 x_4 &-& \ \ x_5 & =\ -1 \\ &-& 5 x_2 &+& \ 9 x_3 &-& 12 x_4 &+& \ 4 x_5 & =\ \; 10 \\ & & &-& \ \ x_3 &+& \ 2 x_4 &-& \ 2 x_5 & =\ -4 \\ & & & & & & 12 x_4 &-& 12 x_5 & =\! -36 \\ & & & & & & & & \ 4 x_5 & =\quad 4 \\ \end{matrix}$

Algoritmi i Gaussit

Nga Wikibooks

[redaktoni] Shembuj

Shikime

Mjete vetjake

Shfleto

Print/export

Kërko

Mjete