Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër :
Matricat dhe përcaktorët Matricat Përcaktorët Sistemet e ekuacioneve Format lineare
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
Gaussit që quhet algoritmi i Gaussit. Të shohim tani këtë algoritëm.
Le të marrim sistemin:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
b
2
⋮
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
⋯
+
a
n
n
x
n
=
b
n
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\dots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}\\\end{matrix}}}
dhe le të supozojmë se
a
11
≠
0
{\displaystyle a_{11}\neq 0}
a
21
a
11
,
a
31
a
11
,
a
41
a
11
,
…
,
a
n
1
a
11
{\displaystyle {\frac {a_{21}}{a_{11}}},\;{\frac {a_{31}}{a_{11}}},\;{\frac {a_{41}}{a_{11}}},\;\dots ,\;{\frac {a_{n1}}{a_{11}}}}
dhe barazimet e përftuara i zbresim me radhë prej ekuacionit të dytë, ekuacionit të tretë, . . . , ekuacionit të fundit. Kështu merret sistemi:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
22
1
x
2
+
a
23
1
x
3
+
⋯
+
a
2
n
1
x
n
=
b
2
1
a
32
1
x
2
+
a
33
1
x
3
+
⋯
+
a
3
n
1
x
n
=
b
3
1
⋮
a
n
1
1
x
2
+
a
n
3
1
x
3
+
⋯
+
a
n
n
1
x
n
=
b
n
1
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\&&a_{22}^{1}x_{2}&+&a_{23}^{1}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{2n}^{1}x_{n}&=&b_{2}^{1}\\&&a_{32}^{1}x_{2}&+&a_{33}^{1}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{3n}^{1}x_{n}&=&b_{3}^{1}\\&&&&&&&&\vdots &\\&&a_{n1}^{1}x_{2}&+&a_{n3}^{1}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{nn}^{1}x_{n}&=&b_{n}^{1}\\\end{matrix}}}
Në këtë sistem e panjohura
x
1
{\displaystyle x_{1}}
a
32
1
a
22
1
,
a
42
1
a
22
1
,
a
52
1
a
22
1
,
…
,
a
n
2
1
a
22
1
,
k
u
a
22
1
≠
0
{\displaystyle {\frac {a_{32}^{1}}{a_{22}^{1}}},\;{\frac {a_{42}^{1}}{a_{22}^{1}}},\;{\frac {a_{52}^{1}}{a_{22}^{1}}},\;\dots ,\;{\frac {a_{n2}^{1}}{a_{22}^{1}}},\;ku\ a_{22}^{1}\neq 0}
dhe pastaj barazimet e përftuara i zbresim me radhë prej ekuacionit të tretë, ekuacionit të katërt, . . . , ekuacionit të fundit. Me këtë rast sistemi do ta merrë këtë trajtë:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
22
1
x
2
+
a
23
1
x
3
+
⋯
+
a
2
n
l
x
n
=
b
2
l
a
33
2
x
3
+
⋯
+
a
3
n
2
x
n
=
b
3
2
⋮
a
n
2
2
x
3
+
⋯
+
a
n
n
2
x
n
=
b
n
2
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\&&a_{22}^{1}x_{2}&+&a_{23}^{1}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{2n}^{l}x_{n}&=&b_{2}^{l}\\&&&&a_{33}^{2}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{3n}^{2}x_{n}&=&b_{3}^{2}\\&&&&&&&&\vdots &\\&&&&a_{n2}^{2}x_{3}&+&\cdots \;+&a_{nn}^{2}x_{n}&=b_{n}^{2}\\\end{matrix}}}
Me përsëritjen e këtij algoritmi
n
−
1
{\displaystyle n-1}
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
+
⋯
+
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
22
1
x
2
+
a
23
1
x
3
+
⋯
+
+
a
2
n
1
x
n
=
b
l
1
a
33
3
x
3
+
⋯
+
+
a
3
n
3
x
n
=
b
3
2
⋮
⋮
a
n
n
n
−
1
x
n
=
b
n
n
−
1
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&\cdots \;+&+a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\&&a_{22}^{1}x_{2}&+&a_{23}^{1}x_{3}&+&\cdots \;+&+a_{2n}^{1}x_{n}&=&b_{l}^{1}\\&&&&a_{33}^{3}x_{3}&+&\cdots \;+&+a_{3n}^{3}x_{n}&=&b_{3}^{2}\\&&&&&&&\vdots &\vdots &\\&&&&&&&a_{nn}^{n-1}x_{n}&=&b_{n}^{n-1}\\\end{matrix}}}
i cili quhet sistemi trekëndor dhe është ekuivalent me sistemin (34). Zgjidhja e sistemit të fundit mund të reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit linear me një të panjohur. Vërtet, kur vlerën e panjohurës
x
n
{\displaystyle x_{n}}
x
n
−
1
{\displaystyle x_{n-1}}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
x
n
−
1
{\displaystyle x_{n-1}}
x
n
−
2
{\displaystyle x_{n-2}}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
Gaussit .
Me algoritmin e Gaussit të zgjidhet sistemi:
x
1
+
2
x
2
−
3
x
3
+
4
x
4
−
x
5
=
−
1
2
x
1
−
x
2
+
3
x
3
−
4
x
4
+
2
x
5
=
8
3
x
1
+
x
2
−
x
3
+
2
x
4
−
x
5
=
3
4
x
1
+
3
x
2
+
4
x
3
+
2
x
4
+
2
x
5
=
−
2
x
1
−
x
2
−
x
3
+
2
x
4
−
3
x
5
=
−
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\ x_{1}&+&2x_{2}&-&3x_{3}&+&4x_{4}&-&\ x_{5}&=\!-1\\2x_{1}&-&\ x_{2}&+&3x_{3}&-&4x_{4}&+&2x_{5}&=\ 8\ \\3x_{1}&+&\ x_{2}&-&\ x_{3}&+&2x_{4}&-&\ x_{5}&=\ 3\ \\4x_{1}&+&3x_{2}&+&4x_{3}&+&2x_{4}&+&2x_{5}&=\!-2\\\ x_{1}&-&\ x_{2}&-&\ x_{3}&+&2x_{4}&-&3x_{5}&=\!-3\\\end{matrix}}}
Z g j i d h j e: Duke aplikuar algoritmin e Gaussit marrim këto sisteme ekuivalente:
x
1
+
2
x
2
−
3
x
3
+
4
x
4
−
x
5
=
−
1
−
5
x
2
+
9
x
3
−
12
x
4
+
4
x
5
=
10
−
5
x
2
+
8
x
3
−
10
x
4
+
2
x
5
=
6
−
5
x
2
+
16
x
3
−
14
x
4
+
6
x
5
=
2
−
3
x
2
+
2
x
3
−
2
x
4
−
2
x
5
=
−
2
x
1
+
2
x
2
−
3
x
3
+
4
x
4
−
x
5
=
−
1
−
5
x
2
+
9
x
3
−
12
x
4
+
4
x
5
=
10
−
x
3
+
2
x
4
−
2
x
5
=
−
4
7
x
3
−
2
x
4
+
2
x
5
=
−
8
−
17
x
3
+
26
x
4
−
22
x
5
=
−
40
x
1
+
2
x
2
−
3
x
3
+
4
x
4
−
x
5
=
−
1
−
5
x
2
+
9
x
3
−
12
x
4
+
4
x
5
=
10
−
x
3
+
2
x
4
−
2
x
5
=
−
4
12
x
4
−
12
x
5
=
−
36
−
8
x
4
+
12
x
5
=
28
x
1
+
2
x
2
−
3
x
3
+
4
x
4
−
x
5
=
−
1
−
5
x
2
+
9
x
3
−
12
x
4
+
4
x
5
=
10
−
x
3
+
2
x
4
−
2
x
5
=
−
4
12
x
4
−
12
x
5
=
−
36
4
x
5
=
4
{\displaystyle {\begin{matrix}\ x_{1}&+&2x_{2}&-&\ 3x_{3}&+&\ 4x_{4}&-&\ x_{5}&=-1\\&-&5x_{2}&+&\ 9x_{3}&-&12x_{4}&+&4x_{5}&=\;10\\&-&5x_{2}&+&\ 8x_{3}&-&10x_{4}&+&2x_{5}&=\ \;6\\&-&5x_{2}&+&16x_{3}&-&14x_{4}&+&6x_{5}&=\ \;2\\&-&3x_{2}&+&\ 2x_{3}&-&\ 2x_{4}&-&2x_{5}&=-2\\\ x_{1}&+&2x_{2}&-&\ 3x_{3}&+&\ 4x_{4}&-&\ \ x_{5}&=\ -1\\&-&5x_{2}&+&\ 9x_{3}&-&12x_{4}&+&\ 4x_{5}&=\ \;10\\&&&-&\ \ x_{3}&+&\ 2x_{4}&-&\ 2x_{5}&=\ -4\\&&&&\ 7x_{3}&-&\ 2x_{4}&+&\ 2x_{5}&=\ -8\\&&&-&17x_{3}&+&26x_{4}&-&22x_{5}&=\!-40\\\ x_{1}&+&2x_{2}&-&\ 3x_{3}&+&\ 4x_{4}&-&\ \ x_{5}&=\ -1\\&-&5x_{2}&+&\ 9x_{3}&-&12x_{4}&+&\ 4x_{5}&=\ \;10\\&&&-&\ \ x_{3}&+&\ 2x_{4}&-&\ 2x_{5}&=\ -4\\&&&&&&12x_{4}&-&12x_{5}&=\!-36\\&&&&&-&\ 8x_{4}&+&12x_{5}&=\ \;28\\\ x_{1}&+&2x_{2}&-&\ 3x_{3}&+&\ 4x_{4}&-&\ \ x_{5}&=\ -1\\&-&5x_{2}&+&\ 9x_{3}&-&12x_{4}&+&\ 4x_{5}&=\ \;10\\&&&-&\ \ x_{3}&+&\ 2x_{4}&-&\ 2x_{5}&=\ -4\\&&&&&&12x_{4}&-&12x_{5}&=\!-36\\&&&&&&&&\ 4x_{5}&=\quad 4\\\end{matrix}}}
