Vetit e përcaktorëve

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare

Në bazë të relacioneve përkufizuese (24), (25) të përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë, me njehsime të drejtpërdrejta mund të provohen këto veti të përcaktorëve:

(a1) \det A'=\det A \,\!
(a2) \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} =- \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{11} & a_{12} \end{vmatrix} =- \begin{vmatrix} a_{12} & a_{11} \\ a_{22} & a_{21} \end{vmatrix}
(a3) \alpha \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \alpha a_{11} & \alpha a_{12} \\ \; a_{21} & \; a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \; a_{11} & \; a_{12} \\ \alpha a_{21} & \alpha a_{22} \end{vmatrix}

= \begin{vmatrix} \alpha a_{11} & a_{12} \\ \alpha a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \alpha a_{12} \\ a_{21} & \alpha a_{22} \end{vmatrix}

(a4) \begin{vmatrix} \; a_{11} & \; a_{12} \\ \alpha a_{21} & \alpha a_{22} \end{vmatrix} =0 \; , \begin{vmatrix} a_{11} & \alpha a_{12} \\ a_{21} & \alpha a_{22} \end{vmatrix}=0 ;
(a5) \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}+a \\ a_{21} & a_{22}+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a \\ a_{21} & b \end{vmatrix}

= \begin{vmatrix} \qquad a_{11}& \qquad a_{12} \\ a_{21}+a & a_{22}+b \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ \; a & \; b \end{vmatrix}

(a6) \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \qquad a_{11} & \qquad a_{12} \\ a_{21}+\alpha a_{11} & a_{22}+\alpha a_{12} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}+\alpha a_{21} & a_{12}+\alpha a_{22} \\ \qquad a_{21} & \qquad a_{22} \end{vmatrix}

= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}+\alpha a_{11} \\ a_{21} & a_{22}+\alpha a_{21} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}+\alpha a_{12} & a_{12} \\ a_{21}+\alpha a_{22} & a_{22} \end{vmatrix}

(a7) Nëse A=[a_{ik}]^n_{1}, B=[b_{ik}]^n_{1} (n=2 \vee 3) atëherë \det (AB)=(\det A) (\det B) \,.


Në bazë të relacionit përkufizues (26) mund të vërtetohet se po këto veti i kanë edhe përcaktorët e rendit n, rrjedhimisht nëse A dhe B janë dy matrica katrore të rendit n, atëherë:

(a1) detA' = detA.
(a2) Përcaktori e ndërron parashenjën kur dy rreshtat (shtyllat) e detA permutohen.
(a3) Përcaktori shumëzohet (pjesëtohet) me skalarin α, kur të gjitha elementet e një rreshti (shtylle) shumëzohen (pjesëtohen) me α.
(a4) Përcaktori është i barabartë me zero, kur elementet e një rreshti (shtylle) janë proporcionale me elementet përkatëse të ndonjë rreshti (shtylle) tjetër.
(a5) Nëse të gjitha elementet e rreshtit (shtyllës) të i-të të detA janë paraqitur në formë të shumës së dy mbledhësve, përcaktori i tillë është i barabartë me shumën e dy përcaktorëve në të cilët të gjithë rreshtat (shtyllat), përveç rreshtit (shtyllës) të i-të janë sikurse në detA, kurse rreshti (shtylla) i i-të përbëhet prej mbledhësve të parë në përcaktorin e parë, e prej mbledhësve të dytë në përcaktorin e dytë.
(a6) Përcaktori nuk ndryshohet nëse një rresht (shtyllë) i tij çfarëdo shumëzohet (pjesëtohet) me skalarin α dhe i shtohet ndonjë rreshti (shtyllë) tjetër.
(a7) det(AB) = (detA)(detB).

Nga vetia (a3) drejtpërsëdrejti mund të nxirren këto dy rregulla praktike:

1°. Kur të gjitha elementet e një rreshti (shtyllë) të përcaktorit përmbajnë një faktor të përbashkët, faktoti i tillë mund të nxirret para përcaktorit;
2°. Kur të gjitha elementet e një rreshti (shtyllë) të përcaktorit janë të barabarta me zero, edhe vetë përcaktori është i barabartë me zero.

Përndryshe, vetitë e përmendura të përcaktorëve shfrytëzohen për t'i thjeshtësuar ato dhe për ta njehsuar më lehtë vlerën e tyre.

Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Vetit_e_p%C3%ABrcaktor%C3%ABve"