Përcaktorët

Nga Wikibooks
Shko tek: lundrim, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët


Matricat


Përcaktorët


Sistemet e ekuacioneve


Format lineare


       Secilës matricë katrore A=[a_{ik}]^n_{1} të rendit n i shoqërohet një dhe vetëm një numër i caktuar i cili quhet përcaktor (determinant) i matricës ose vetëm përcaktor (determinant) dhe shënohet \det A ose \left| A \right|
       Kështu për shembull:
       Matricës së rendit të dytë A=[a_{ik}]^2_{1} i shoqërohet numri a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}, rrjedhimisht
\det A=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}= a_{11} a_{22}-a_{12}a_{21}(...24)
i cili quhet përcaktor i rendit të dytë.
       Matricës së rendit të tretë A=[a_{ik}]^3_{1} i shoqërohet numri
\det A=\begin{vmatrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} (...25)
i cili quhet përcaktor i rendit të tretë.

Ky numër formohet në këtë mënyrë:

       Marrim prodhimin a_{11}a_{22}a_{33} e elementeve të matricës [a_{ik}]^3_{1} që ndodhennë diagonalen kryesore. Nëse indekset e dyta të faktorëve të këtij prodhimi permutohen:
123 \qquad 132 \qquad 213 \qquad 231 \qquad 312 \qquad 321
dhe secilit prodhim që del në këtë mënyrë i shoqërohet shenja + ose -, varësisht se a i përgjigjet prodhimi permutacionit çift apo tek, atëherë përftohet numri:
a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}a_-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}
që përkufizohet si përcaktor i rendit të tretë.
       Në mënyrë të ngjashme matricës së rendit katërt A= [a_{ik}]^4_{1} i shoqërohet numri që përftohet kur në prodhimin a_{11}a_{22}a_{33}a_{44} indeksat e dytë të faktorëve permutohen (dalin: 4!=24 permutacione) dhe secilit prodhim i shoqërohet parashenja përkatëse:
\det A = \Sigma \pm a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}a_{4p_4}.
Ky numër quhet përcaktor i rendit të katërt.
Në përgjithësi, matricës së rendit n A = [a_{ik}]^n_{1} i shoqërohet numri që përkufizohet me relacionin
\det A=\Sigma (- 1)^p a_{1p_1}a_{2p_2} \ldots a_{np_n}, (26)
(ku p_1p_2 \ldots p_n paraqet një permutacion prej elementeve 1, 2, \ldots , n, kurse p shënon numrin e inversioneve[1] të atij permutacioni) i cili quhet përcaktor i rendit n. Në formulën (26) mbledhësit (-1)^p a_{1p_1}a_{2p_2} \ldots a_{np_n} quhen kufiza të përcaktorit. Përcaktori i rendit n ka gjithsej n! kufizash. Secila kufizë shprehet në formë të prodhimit prej n faktorëve - elementeve -, ku figuron nga një element prej secilit rresht, respektivisht prej secilës shtyllë.
    • 3) Në një permutacion dy elemente formojnë një inversion nëse ato nuk janë radhitur sipas rritjes së rangut të tyre.