Përcaktorët

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare
       Secilës matricë katrore A=[a_{ik}]^n_{1} të rendit n i shoqërohet një dhe vetëm një numër i caktuar i cili quhet përcaktor (determinant) i matricës ose vetëm përcaktor (determinant) dhe shënohet detA ose \left| A \right|
       Kështu për shembull:
       Matricës së rendit të dytë A=[a_{ik}]^2_{1} i shoqërohet numri a11a22 − a12a21, rrjedhimisht
\det A=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}= a_{11} a_{22}-a_{12}a_{21}(...24)
i cili quhet përcaktor i rendit të dytë.
       Matricës së rendit të tretë A=[a_{ik}]^3_{1} i shoqërohet numri
\det A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}=a11a22a33 .
+ a12a23a31 + a13a21a32
− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33		 (...25)
i cili quhet përcaktor i rendit të tretë. Ky numër formohet në këtë mënyrë:
       Marrim prodhimin a11a22a33 e elementeve të matricës [a_{ik}]^3_{1} që ndodhennë diagonalen kryesore. Nëse indekset e dyta të faktorëve të këtij prodhimi permutohen:
123 \qquad 132 \qquad 213 \qquad 231 \qquad 312 \qquad 321
dhe secilit prodhim që del në këtë mënyrë i shoqërohet shenja + ose − , varësisht se a i përgjigjet prodhimi permutacionit çift apo tek, atëherë përftohet numri:
a11a22a33 − a11a23a32a − a12a21a33 + a12a23a31 + a113a21a32 − a13a22a31
që përkufizohet si përcaktor i rendit të tretë.
       Në mënyrë të ngjashme matricës së rendit katërt A= [a_{ik}]^4_{1} i shoqërohet numri që përftohet kur në prodhimin a11a22a33a44 indeksat e dytë të faktorëve permutohen (dalin: 4! = 24 permutacione) dhe secilit prodhim i shoqërohet parashenja përkatëse:
\det A = \Sigma \pm a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}a_{4p_4}.
Ky numër quhet përcaktor i rendit të katërt.
Në përgjithësi, matricës së rendit n A = [a_{ik}]^n_{1} i shoqërohet numri që përkufizohet me relacionin
\det A=\Sigma (- 1)^p a_{1p_1}a_{2p_2} \ldots a_{np_n}, (26)
(ku p_1p_2 \ldots p_n paraqet një permutacion prej elementeve 1, 2, \ldots , n, kurse p shënon numrin e inversioneve[1] të atij permutacioni) i cili quhet përcaktor i rendit n. Në formulën (26) mbledhësit (-1)^p a_{1p_1}a_{2p_2} \ldots a_{np_n} quhen kufiza të përcaktorit. Përcaktori i rendit n ka gjithsej n! kufizash. Secila kufizë shprehet në formë të prodhimit prej n faktorëve - elementeve -, ku figuron nga një element prej secilit rresht, respektivisht prej secilës shtyllë.


Cite error: <ref> tags exist, but no <references/> tag was found

Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/P%C3%ABrcaktor%C3%ABt"