Relacione më të rëndësishme të ekuivalencës janë : barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria.
Përkufizimi i ekuivalencës[redakto]
Relacion binar ρ në A quhet relacion i ekuivalencës, nëse është refleksiv, simetrik dhe transitiv.[1]
Simboli i përgjithëshem[redakto]
Relacionet e ekuivalencës luajnë një rol të rëndësishëm në matematikë dhe shënohen me një simbol të përbashkët ~.
Klaset e ekuivalencës[redakto]
Relacioni i ekuivalencës ~ i përkufizuar në bashkësinë A e zbërthen atë në nënbashkësi që quhen klaset e ekuivalencës. Kështu, nëse a
A, atëhetë elementet e bashkësisë A që janë ekuivalent me elementin a (d.m.th.
x
A x~a) formojnë nënbashkësinë
Ca
{x
x
A
x~a}, (...27)
e cila quhet klasa e ekuivalencës ~ me përfaqësuesin a.
Kur bashkësia A, lidhur me ekuivalencën ~, zbërthehet në klasa, atëherë:
- Çdo element i bashkësisë A i përket një klase ;
- Asnjë element nuk u përket dy klasave të ndryshme ; dhe
- Unioni i të gjitha klasave është i barabartë me bashkësinë A.
Pra konkludojmë se klasat e ekuivalencës janë disjunkte ndërmjet tyre.
Teorema e klasave[redakto]
Çdo ekuivalencë ~ në bashkësinë A e përkufzon një zbërthim të A-së në klasa të ekuivalencës dhe e anasjellta, çdo zbërthim të bashkësisë A në klasa të ekuivalencës e përkufzon një relacion të ekuivalencës në bashkësinë A.
V ë r t e t i m : a) Le të supozojmë të kundërtën - se dy klasa të ndryshme Ca, Cb nuk janë disjunkte : Ca
Cb
. Atëherë del se :
(
c
A) c
Ca
c
Cb ,
nga marrim
a~c
c~b
a~b,
meqë relacioni ~ është transitiv.
Tani, në bazë të formulës së përftuar a~b, mund të provojmë se Ca
Cb dhe Cb
Ca . Vërtet:
- 1 (
x
Ca) x~a , andaj kemi:
x~a
a~b
x~b
x
Cb , çka, sipas përkufizimit 2.1.1., del se Ca
Cb ;
- 2 (
y
Cb) y~b , andaj:
y~b
b~a
y~a
y
Ca , d.m.th. Cb
Ca .
Në fund, në bazë të përkufizimit 2.1.3., marrim :
Ca
Cb
Cb
Ca
Ca
Cb .
Pra, nga supozimi Ca
Cb del se klasat e ekuivalencës Ca, Cb nuk janë të ndryshme (Ca
Cb) , andaj konkludojmë se pohimi i parë i teoremës është i saktë.
b) Për të vërtetuar pohimin e anasjelltë supozojmë se Ca, Cb, Cc... paraqet një zbërthim çfarëdo të bashkësisë A në klasa të ekuivalencës ... Në bashkësinë A e përkufizojmë relacionin binar ρ në këtë mënyrë : Për elementet
(x, y
A) x ρ y
(
!Ct, x, y
Ct) .
Relacioni binar ρ , i përkufizuar në këtë mënyrë, është relacion i ekuivalencës, sepse është
- (i) Refleksiv : (
x
A) x ρ x, sepse çdo x (
A) i përket njërës klasë të ekuivalencës Ca, Cb, Cc,... ;
- (ii) Simetrik : Ngase kur x ρ y, atëherë edhe y ρ x, meqë kur elementet e dyshes (x, y) i përkasin njërës klasë Ca, Cb, Cc,... , asaj klase i përkasin edhe elementet e dyshes (y, x) ; dhe
- (iii) Transitiv : Nga se kur x ρ y dhe y ρ z, atëherë edhe x ρ z, meqë kur elementet e dysheve (x, y) dhe (y, z) i përkasin njërës klasë të ekuivalencës, asaj klase u përkasin edhe elementet e dyshes (x, z).
Bashkësia e klasave të ekuivalencës[redakto]
Bashkësia e klasave të ekuivalencës ~ shënohet me
A/~
{Ca
a
A} (...28)
dhe quhet faktor-bashkësi e bashkësisë A në lidhje me ekuivalencën
Relacion i kongruencës[redakto]
Në bashkësinë e zgjeruar të numrave, natyralë
0 (

{0}) është përkufizuar relacioni binar ρ me :
a ρ b
a
mq1+r
b
mq2 +r, ku 0
r<m
i cili mund të shprehet edhe kështu :
a ρ b
(a - b)
m.
Meqë:
- (1) (
a
0) a ρ a ose (a-a)
m ;
- (2) (
a, b
0) a ρ b
b ρ a ose (a - b)
m
(b - a)
m ;
- (3) (
a, b, c
0) (a ρ b
b ρ c)
a ρ c ose (a - b)
m
(b - c)
m
(a - c)
m,
konkludojmë se ρ është relacion i ekuivalencës. Ky relacion quhet relacion i kongruencës sipas modulit m dhe shënohet me a
b (mod m).
Me relacionin e kongruencës sipas modulit m bashkësia
0 zbërthehet në këto m klasa të ekuivalencës :
Cr
{n
n
0
n
mq+r
q
0 }, r
0,1,2,...,m-1
ku secila klasë karakterizohet me vlerën e mbetjes r. Pra, klasën Cr e përbëjnë të gjithë numrat natyralë të cilët kur pjesëtohen me m japin mbetjen r, andaj Cr quhet edhe klasa e mbetjes r.
Të konkludojmë : bashkësia
0 në lidhje me relacionin e kongruencës sipas modulit m zbërthehet në m klasa : në klasën e mbetjes 0, në klasën e mbetjes 1,... , në klasën e mbetjes m-1. Klasat C0 , C1, C2 ,..., Cm-1 ngandonjëherë shënohen me : (0), (1), (2),... , (m -1) .
Për m
3 kemi këto tri klasa:
- (bl) C0
{n
n
0
n
3q
q
0 } ose C0
{0,3,6,9,...},
- (b2) C1
{n
n
0
n
3q+1
q
0} ose C1
{1,4,7,10,...},
- (b3) C2
{n
n
0
n
3q+2
q
0} ose C2
{2,5,8,11,...},
- (a1) (
n
0) n
C0
n
C1
n
C2 ;
- (a2) Ci
Cj
,
i
j, i, j
0, 1, 2 ;
- (a3)
Ck
0
Pra: 4
7 (mod 3), 2 - 8 (mod 3), ndërsa 5
7 (mod 3).
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).