Relacionet binare dhe vetitë e tyre

Nga Wikibooks
Jump to navigation Jump to search
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë

Relacionet

Pasqyrimet
Veprimet binare
Grupi dhe nëngrupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Kur me relacionin ρ shfaqen raporte ndërmjet dy nga dy elementeve të të njëjtës bashkësi, relacioni i tillë quhet relacion binar.

Përkufizimi i relacionit binar[redakto]

Në bashkësinë jo të zbrazët A është përkufizuar relacioni binar ρ në qoftë se për çdo dy elemente a, b A është përcaktuar njëra nga vetitë : (1) aρb ose (2) ab (lexo : a nuk është në relacion ρ me b) .[1]

Meqë relacioni binar ρ në bashkësinë A e lidh dy nga dy elemente të A-së, andaj ai përkufizohet edhe si nënbashkësi e katrorit kartezian A2 , pra :

Relacion binar ρ quhet çdo nënbashkësi e A2Inkluzion.PNG A2).

Vetitё[redakto]

Vetitë më të rëndësishme të relacioneve binare janë : refleksiviteti, simetria dhe transitiviteti .

Përkufizimi i refleksivitetit[redakto]

Relacioni binar ρ A është relacion refleksiv, nëse secili element i A-së është në relacionin ρ me vetvetën[2], pra :

(aA) aρa. (...21)

Relacioni binar ρ në A është relacion jo refleksiv, nëse

(aA) aa. (...22)

Për shembull :

  • Relacioni i plotpjesëtueshmërisë ( ) në bashkësinë është relacion refleksiv, sepse (n ) n n ;
  • Relacioni i barazisë () në bashkësinë është relacion refleksiv, sepse (x R) x x ;
  • Relacioni binar është normal () në bashkësinë e drejtëzave D është relacion jo refleksiv, sepse (p D) p p.

Përkufizimi i simetrisë[redakto]

Relacioni binar ρ A është relacion simetrik, nëse nga raporti a ρ b rrjedh b ρ a[3], pra:

(a, bA) a ρ bb ρ a (..23)

Relacioni binar ρ në A është asimetrik, nëse

(a, bA) aρbbρaab. (...24)

Për shembull:

  • Relacioni i paralelshmërisë ( ) në bashkësinë e planeve S është relacion simetrik, sepse
(α, βS) αβ βα
  • Relacioni i thjeshtësisë relative të dy numrave në është relacion simetrik, sepse
(m,n) (m,n)1(n,m)1 ;
  • Relacioni binar nuk është më i madh (Mavogëlbarabart.PNG) në është antisimetrik, sepse
(x, y) xMavogëlbarabart.PNGyyMavogëlbarabart.PNGxxy .

Përkufizimi i transitivitetit[redakto]

Relacioni binar ρ A është relacion transitiv, nëse nga raportet aρb, bρc rrjedh aρc[4] , pra:

(a, b, c A) aρb bρc aρc. (...5)

Relacioni binai ρ në A është relacion intransitiv, nëse

(a, b, cA) a ρ bb ρ ca ρ c. (...6)

Për shembull :

  • Relacioni i ngjashmërisë (~) në bashkësinë e figurave gjeometrike F është relacion transitiv, sepse
(F1 , F2 , F3 F) F1~F2F2~ F3 F1 ~ F3 ;
  • Relacioni binar është më i madh (>) në R, është relacion transitiv, sepse
(x,y,zR) x>yy>Zx>z ;
  • Relacioni binar është normal () në bashkësinë e drejtëzave D është relacion intransitiv, sepse
(p, q, r D) pqqr pr.

  1. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  2. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  3. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  4. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).