Kur me relacionin ρ shfaqen raporte ndërmjet dy nga dy elementeve të të njëjtës bashkësi, relacioni i tillë quhet relacion binar.
Përkufizimi i relacionit binar[ redakto ]
Në bashkësinë jo të zbrazët A është përkufizuar relacioni binar ρ në qoftë se për çdo dy elemente a, b
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
A është përcaktuar njëra nga vetitë : (1) aρb ose (2) a
ρ
¯
{\displaystyle \scriptstyle {\bar {\rho }}}
b (lexo : a nuk është në relacion ρ me b) .[ 1]
Meqë relacioni binar ρ në bashkësinë A e lidh dy nga dy elemente të A -së, andaj ai përkufizohet edhe si nënbashkësi e katrorit kartezian A2 , pra :
Relacion binar ρ quhet çdo nënbashkësi e A2 (ρ A2 ) .
Vetitë më të rëndësishme të relacioneve binare janë : refleksiviteti, simetria dhe transitiviteti .
Përkufizimi i refleksivitetit[ redakto ] Relacioni binar ρ në A është relacion refleksiv, nëse secili element i A -së është në relacionin ρ me vetvetën[ 2] , pra :
(
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
a
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
A) aρa . (...21) Relacioni binar ρ në A është relacion jo refleksiv, nëse
(
∃
{\displaystyle \scriptstyle {\exists }}
a
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
A) a
ρ
¯
{\displaystyle \scriptstyle {\bar {\rho }}}
a. (...22)Për shembull :
Relacioni i plotpjesëtueshmërisë (
⋮
{\displaystyle \vdots }
) në bashkësinë
N
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }
është relacion refleksiv, sepse (
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
n
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
N
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }
) n
⋮
{\displaystyle \vdots }
n ;
Relacioni i barazisë (
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
) në bashkësinë
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
është relacion refleksiv, sepse (
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
x
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
R) x
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
x ;
Relacioni binar është normal (
⊥
{\displaystyle \scriptstyle {\bot }}
) në bashkësinë e drejtëzave D është relacion jo refleksiv, sepse (
∃
{\displaystyle \scriptstyle {\exists }}
p
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
D) p
⊥̸
{\displaystyle \textstyle {\not \perp }}
p . Relacioni binar ρ në A është relacion simetrik, nëse nga raporti a ρ b rrjedh b ρ a [ 3] , pra:
(
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
a , b
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
A) a ρ b
⇒
{\displaystyle \scriptstyle {\Rightarrow }}
b ρ a (..23)Relacioni binar ρ në A është asimetrik , nëse
(
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
a , b
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
A) aρb
∧
{\displaystyle \scriptstyle \land }
b ρa
⇒
{\displaystyle \scriptstyle {\Rightarrow }}
a
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
b. (...24)Për shembull:
Relacioni i paralelshmërisë (
‖
{\displaystyle \scriptstyle {\|}}
) në bashkësinë e planeve S është relacion simetrik, sepse (
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
α, β
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
S) α
‖
{\displaystyle \scriptstyle {\|}}
β
⇒
{\displaystyle \scriptstyle {\Rightarrow }}
β
‖
{\displaystyle \scriptstyle {\|}}
α Relacioni i thjeshtësisë relative të dy numrave në
N
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }
është relacion simetrik, sepse (
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
m ,n
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
N
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }
) (m,n)
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
1
⇒
{\displaystyle \scriptstyle {\Rightarrow }}
(n,m)
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
1 ;Relacioni binar nuk është më i madh ( ) në
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
është antisimetrik, sepse (x, y
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
) x y
∧
{\displaystyle \scriptstyle \land }
y x
⇒
{\displaystyle \scriptstyle {\Rightarrow }}
x
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
y . Përkufizimi i transitivitetit[ redakto ] Relacioni binar ρ në A është relacion transitiv, nëse nga raportet aρb, bρc rrjedh aρc [ 4] , pra:
(
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
a , b, c
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
A) aρb
∧
{\displaystyle \scriptstyle \land }
bρc
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
aρc . (...5)Relacioni binai ρ në A është relacion intransitiv , nëse
(
∃
{\displaystyle \scriptstyle {\exists }}
a , b, c
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
A) a ρ b
∧
{\displaystyle \scriptstyle \land }
b ρ c
⇏
{\displaystyle \scriptstyle {\not \Rightarrow }}
a ρ c. (...6)Për shembull :
Relacioni i ngjashmërisë (~) në bashkësinë e figurave gjeometrike F është relacion transitiv, sepse
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
(F1 , F2 , F3
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
F) F1 ~F2
∧
{\displaystyle \scriptstyle \land }
F2 ~ F3
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
F1 ~ F3 ; Relacioni binar është më i madh (>) në R, është relacion transitiv, sepse (
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
x ,y,z
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
R) x>y
∧
{\displaystyle \scriptstyle \land }
y >Z
⇒
{\displaystyle \scriptstyle {\Rightarrow }}
x >z ;Relacioni binar është normal (
⊥
{\displaystyle \scriptstyle {\bot }}
) në bashkësinë e drejtëzave D është relacion intransitiv, sepse (
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
p , q, r
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
D) p
⊥
{\displaystyle \scriptstyle {\bot }}
q
∧
{\displaystyle \scriptstyle \land }
q
⊥
{\displaystyle \scriptstyle {\bot }}
r
⇏
{\displaystyle \scriptstyle {\not \Rightarrow }}
p
⊥
{\displaystyle \scriptstyle {\bot }}
r.
↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).