Le të jenë f:A→B, g:B→C dy pasqyrime. Me pasqyrimin f secilit element x
A i shoqërohet pikërisht një element f(x) nga bashkësia B ,
|
![](//upload.wikimedia.org/wikibooks/sq/thumb/0/05/Shum%C3%ABzimi_i_pasqyrimeve.PNG/225px-Shum%C3%ABzimi_i_pasqyrimeve.PNG) Fig. 1.14.
|
kurse me pasgyrimin g këtij elementi i shoqërohet pikërisht një element g(f (x)) nga bashkësia C . Nëse, një pas një kryhen pasqyrimet f:A→B dhe g:B→C , atëherë në të vërtetë secilit element x
A i shoqërohet pikërisht një element g ( f (x)) nga bashkësia C (fig. 1.16a, b). Ky pasqyrim i bashkësisë A në C quhet shumëzim (kompozim, superpozicion) i pasqyrimeve f dhe g i cili simbolikisht shënohet me g
f ose g
f ose g (f (x)) (lexo : shumëzimi i pasqyrimeve f dhe g). Pra, shumëzimi i funksioneve f, g përkufizohet me barazinë :
![](//upload.wikimedia.org/wikibooks/sq/thumb/4/4f/Mbledhja_dhe_shum%C3%ABzimi_i_pasqyrimeve.PNG/280px-Mbledhja_dhe_shum%C3%ABzimi_i_pasqyrimeve.PNG) Fig. 1.16.
|
|
(
x
A) (
z
C) (g
f) :x→z
g (f (x)). (...39)
- Siç shihet në shumëzimin g
f renditja e të shkruarit dhe zbatimit të funksioneve f, g ka rëndësi, sepse rëndom prodhimi f
g nuk ekziston, nuk ka kuptim.
Të caktohet shumëzimi i pasqyrimeve f :A→B dhe g :B→C , ku A
{1, 2, 3, 4}, B
{a, b, c, d} , nëse është :
Zgjidhje : Prodhimi
është :
,
,
,
,
pra :
Këtu shumëzimi f
g nuk është i përkufizuar .
Të caktohen shumëzimet (1) g
f, (2) f
g, (3) g-1
g , ku f, g janë dy pasqyrime të dhëna me formulat :
dhe
.
Zgjidhje :
- (1)
;
- (2)
;
- (3) Meqë
![{\displaystyle g^{-1}(x)={\frac {(x-2)}{3}},(g^{-1}\circ g)(x)=g^{-1}(3x+2)=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa45fc03aecc47ee86b89b53d198573c2a64bae0)
Siç shihet pra, edhe kur ekzistojnë dy shumëzime g
f dhe f
g të funksioneve f, g vlera e tyre varet nga renditja e pasqyrimeve . Prandaj, konkludojmë se shumëzimi i pasqyrimeve f, g është veprim jokomutativ :
g
f
f
g ose g (f (x))
f (g (x)) . (...40)
Nga relacioni përkufizues (39) dhe fig. 1.16. del se për shumëzimin e pasqyrimeve f, g vlen:
(g
f)-1
f-1
g-1 . (...41)
sepse : (g
f)-1 : z→x
f -1 (g -1 (z)),
z
C .
Nëse f është pasqyrim bijektiv ndërmjet bashkësive A dhe B , shumëzimi i pasqyrimeve f -1
f paraqet pasqyrimin identik të bashkësisë A . Vërtet, ngase:
f:x→y
f (x),
x
A dhe f-1 :y→x
f-1 (y),
y
B ,
dhe
(f-1
f) :x→x
x,
x
A .(...42)
Le të jenë f:A→B , g:B→C dhe h:C→D tri pasqyrime. Shumëzimi i pasqyrimeve f, g dhe h është veprim asociativ :
(h o g)
f
h
(g
f'). (...43)
Vërtetim : Transformojmë anën e djathtë të formulës (43) :
[h
(g
f )] (x)
h
g (f (x))
h (g (f (x)))
(h
g) f (x)) [(h
g)
f] (x).
Relacioni i fundit vërteton pohimin e teoremës.