Nëngrupi

Nga Wikibooks
Jump to navigation Jump to search
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare

Grupi

Unaza, Trupi dhe Fusha

Le të jetë (A, ) grup.

Përkufizimi[redakto]

Nënbashkësia jo e zbrazët A1 bashkësisë A quhet nëngrup i grupit (A, ) në qoftë se A1 është grup lidhur me veprimin e përkufizuar A dhe shënohet (A 1, ) Mavogëlbarabart.PNG (A, ).[1]

Nëngrupet triviale dhe jotriviale[redakto]

Secili grup (A, ) përmban së paku dy nëngrupe - vetë grupin (A, ) dhe nëngrupin ({e}, ), ku e është element neutral. Këto nëngrupe quhen nëngrupe triviale të grupit (A, ). Nëse grupi (A, ) përmban edhe nëngrupe tjera (Ak, k1, 2, ... , n, ato quhen nëngrupe jotriviale (nëngrupe të vërteta) të grupit (A, ) dhe shënohen (Ak, ) < (A, ).

       Që të jetë (A1 , < (A, ) duhet të plotësohen këto tri kushte:
       (b1) A 1 Nën.PNG A e A 1 , ku e është element neutral;
       (b2) ( a,b A1)a b A1 dhe;
       (b3) ( a A1) a-1 A1 i tilllë që a a-1 a-1 a e .
       Saktësia e këtij pohimi rrjedh drejtpërdrejti nga përkufizimet 6.1. dhe 6.3.
       Për shembull:
       (1) (A1 ,< (A, ) , ku A { - 1, 1, - i, i}, A1 { -1, 1} , meqë plotësohen kushtet (b1) - (b3)  ;
       (2) ( ,, + )<(, +) , sepse
       (b1) Nën.PNG , 0  ;
       (b2) ( a, b ) a + b , dhe
       (b3) ( a ) a-1 (-a)  ; i tillë që a+(-a) 0 ;
       (3) (A,.)<( \{0},.) , ku A {a+b - a , b a+b 0} ,
sepse:
       (b1) A Nën.PNG \.{0}, 1 A;
       (b2) ( a+b , c + d A) (a+b ) (c+d ) p+q A ,
dhe
       (b3) ( a+b A) a-1 r + s A, i tillë
a • a-1 1 .
       S h e m b u l l i  22 -  Të tregohet se bashkësi A {p1 , p2 , ... p6 } ku:
        p1 , p2 , p3 ,
       
        p4 , p5 , p6 ,
në lidhje me shumëzimin e pasqyrimeve është grup (A, ) . Të caktohen të gjitha nëngrupet jotriviale të grupit (A, ) .
       Z g j i d h j e : Formojmë tabelën e shumëzimit të pasqyrimeve:
  p1   p2   p3   p4   p5   p6
   p1     p1   p2   p3   p4   p5   p6
   p2     p2   p3   p4   p5   p6   p1
   p3     p3   p4   p5   p6   p1   p2
   p4     p4   p5   p6   p1   p2   p3
   p5     p5   p6   p1   p2   p3   p4
   p6     p6   p1   p2   p3   p4   p5


       Nga kjo tabelë shihet se plotësohen të katër aksiomat e grupit, ku p1 është element neutral, kurse për secilin element të bashkësisë A ekziston elementi invers në lidhje me veprimin  :
       
Elementi    p1    p2    p3   p4    p5    p6
Elem. i invers    p1    p2    p3   p4    p5    p6
andaj (A, ) është grup.
       Nëngrupet jotriviale të grupit (A, ) janë: (A1, ), (A2, ), (A3, ) dhe (A4, ) ku: A1{p1, p2}, A2{p1, p3}, A3{p1, p6} dhe A4{p1, p4, p6 }

  1. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).