Nëngrupi
Jump to navigation
Jump to search
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
|
Shkalla UNI |
Gjykimet Bashkësitë |
Le të jetë (A, ) grup.
Përkufizimi[redakto]
Nënbashkësia jo e zbrazët A1 bashkësisë A quhet nëngrup i grupit (A, ) në qoftë se A1 është grup lidhur me veprimin e përkufizuar në A dhe shënohet (A 1, ) (A, ).[1]
Nëngrupet triviale dhe jotriviale[redakto]
Secili grup (A, ) përmban së paku dy nëngrupe - vetë grupin (A, ) dhe nëngrupin ({e}, ), ku e është element neutral. Këto nëngrupe quhen nëngrupe triviale të grupit (A, ). Nëse grupi (A, ) përmban edhe nëngrupe tjera (Ak, k1, 2, ... , n, ato quhen nëngrupe jotriviale (nëngrupe të vërteta) të grupit (A, ) dhe shënohen (Ak, ) < (A, ).
- Që të jetë (A1 , < (A, ) duhet të plotësohen këto tri kushte:
- (b1) A 1
A e A 1 , ku e është element neutral;
- (b2) ( a,b A1)a b A1 dhe;
- (b3) ( a A1) a-1 A1 i tilllë që a a-1 a-1 a e .
- Saktësia e këtij pohimi rrjedh drejtpërdrejti nga përkufizimet 6.1. dhe 6.3.
- Për shembull:
- (1) (A1 ,< (A, ) , ku A { - 1, 1, - i, i}, A1 { -1, 1} , meqë plotësohen kushtet (b1) - (b3) ;
- (2) ( ,, + )<(, +) , sepse
- (b1)
, 0 ;
- (b2) ( a, b ) a + b , dhe
- (b3) ( a ) a-1 (-a) ; i tillë që a+(-a) 0 ;
- (3) (A,.)<( \{0},.) , ku A {a+b - a , b a+b 0} ,
- sepse:
- (b1) A
\.{0}, 1 A;
- (b2) ( a+b , c + d A) (a+b ) (c+d ) p+q A ,
- dhe
- (b3) ( a+b A) a-1 r + s A, i tillë
- që a • a-1 1 .
- S h e m b u l l i 22 - Të tregohet se bashkësi A {p1 , p2 , ... p6 } ku:
- p1 , p2 , p3 ,
- p4 , p5 , p6 ,
- në lidhje me shumëzimin e pasqyrimeve është grup (A, ) . Të caktohen të gjitha nëngrupet jotriviale të grupit (A, ) .
- Z g j i d h j e : Formojmë tabelën e shumëzimit të pasqyrimeve:
p1 p2 p3 p4 p5 p6 | ||
p1 | p1 p2 p3 p4 p5 p6 | |
p2 | p2 p3 p4 p5 p6 p1 | |
p3 | p3 p4 p5 p6 p1 p2 | |
p4 | p4 p5 p6 p1 p2 p3 | |
p5 | p5 p6 p1 p2 p3 p4 | |
p6 | p6 p1 p2 p3 p4 p5 |
- Nga kjo tabelë shihet se plotësohen të katër aksiomat e grupit, ku p1 është element neutral, kurse për secilin element të bashkësisë A ekziston elementi invers në lidhje me veprimin :
|
Elementi | p1 p2 p3 p4 p5 p6 |
Elem. i invers | p1 p2 p3 p4 p5 p6 |
- andaj (A, ) është grup.
- Nëngrupet jotriviale të grupit (A, ) janë: (A1, ), (A2, ), (A3, ) dhe (A4, ) ku: A1{p1, p2}, A2{p1, p3}, A3{p1, p6} dhe A4{p1, p4, p6 }
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).