Nëngrupi

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet Bashkësitë Relacionet Pasqyrimet Veprimet binare Grupi Kuptimi i tyre Nëngrupi Homorfizmi dhe izomorfizmi Unaza, Trupi dhe Fusha

Le të jetë (A, $\circ$) grup.

Përkufizimi

Nënbashkësia jo e zbrazët A₁ bashkësisë A quhet nëngrup i grupit (A, $\circ$) në qoftë se A₁ është grup lidhur me veprimin e përkufizuar $\circ$ në A dhe shënohet (A ₁, $\circ$) (A, $\circ$).

Nëngrupet triviale dhe jotriviale

Secili grup (A, $\circ$) përmban së paku dy nëngrupe - vetë grupin (A, $\circ$) dhe nëngrupin ({e}, $\circ$), ku e është element neutral. Këto nëngrupe quhen nëngrupe triviale të grupit (A, $\circ$). Nëse grupi (A, $\circ$) përmban edhe nëngrupe tjera (A_k, k$\scriptstyle {=}$1, 2, ... , n, ato quhen nëngrupe jotriviale (nëngrupe të vërteta) të grupit (A, $\circ$) dhe shënohen (A_k, $\circ$) < (A, $\circ$).

       Që të jetë (A₁ , $\circ$ < (A, $\circ$) duhet të plotësohen këto tri kushte:

       (b₁) A ₁ A $\scriptstyle \land$ e $\scriptstyle \in$ A ¹ , ku e është element neutral;

       (b₂) ($\scriptstyle {\forall }$ a,b $\scriptstyle \in$ A₁)a $\circ$ b $\scriptstyle \in$ A₁ dhe;

       (b₃) ($\scriptstyle {\forall }$ a $\scriptstyle \in$ A₁)$\scriptstyle {\exists !}$ a^-1 $\scriptstyle \in$ A₁ i tilllë që a $\circ$ a^-1 $\scriptstyle {=}$ a^-1 $\circ$ a $\scriptstyle {=}$ e .

       Saktësia e këtij pohimi rrjedh drejtpërdrejti nga përkufizimet 6.1. dhe 6.3.

       Për shembull:

       (1) (A₁ ,< (A, $\circ$) , ku A $\scriptstyle {=}$ { - 1, 1, - i, i}, A₁ $\scriptstyle {=}$ { -1, 1} , meqë plotësohen kushtet (b₁) - (b₃)  ;

       (2) ($\scriptstyle \mathbb {Z}$ ,, + )<($\scriptstyle \mathbb {Q}$, +) , sepse

       (b₁) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ $\scriptstyle \mathbb {Q}$ , 0 $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$  ;

       (b₂) ($\scriptstyle {\forall }$ a, b $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$) a + b $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$ , dhe

       (b₃) ($\scriptstyle {\forall }$ a $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$) a^-1 $\scriptstyle {=}$ (-a)$\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$  ; i tillë që a+(-a)$\scriptstyle {=}$ 0 ;

       (3) (A,.)<($\scriptstyle \mathbb {R}$ \{0},.) , ku A $\scriptstyle {=}$ {a+b $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ - $\scriptstyle \mid$ a $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Q}$ , b $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Q}$ $\scriptstyle \land$ a+b $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ $\scriptstyle {\neq }$ 0} ,

sepse:

       (b₁) A $\scriptstyle \mathbb {R}$ \.{0}, 1 $\scriptstyle \in$ A;

       (b₂) ($\scriptstyle {\forall }$ a+b $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ , c + d $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ $\scriptstyle \in$ A) (a+b $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$) (c+d $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$)$\scriptstyle {=}$ p+q $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ $\scriptstyle \in$ A ,

dhe

       (b₃) ($\scriptstyle {\forall }$ a+b $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ $\scriptstyle \in$ A) a^-1 $\scriptstyle {=}$$\textstyle \mathrm {{\frac {a}{a^{2}-3b^{2}}}+{\frac {-b}{a^{2}-3b^{2}}}}$ $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ $\scriptstyle {=}$ r + s $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ $\scriptstyle \in$ A, i tillë

që a • a^-1 $\scriptstyle {=}$ 1 .

       S h e m b u l l i  22 -  Të tregohet se bashkësi A $\scriptstyle {=}$ {p₁ , p₂ , ... p₆ } ku:

        p₁ $\scriptstyle {=}$ ${\Bigl (}{\begin{matrix}\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} \\\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} \end{matrix}}{\Bigr )}$, p₂ $\scriptstyle {=}$ ${\Bigl (}{\begin{matrix}\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} \\\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {c} &\scriptstyle \mathbf {b} \end{matrix}}{\Bigr )}$, p₃ $\scriptstyle {=}$ ${\Bigl (}{\begin{matrix}\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} \\\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {c} \end{matrix}}{\Bigr )}$,

       

        p₄ $\scriptstyle {=}$ ${\Bigl (}{\begin{matrix}\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} \\\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} &\scriptstyle \mathbf {a} \end{matrix}}{\Bigr )}$, p₅ $\scriptstyle {=}$ ${\Bigl (}{\begin{matrix}\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} \\\scriptstyle \mathbf {c} &\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} \end{matrix}}{\Bigr )}$, p₆ $\scriptstyle {=}$ ${\Bigl (}{\begin{matrix}\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} \\\scriptstyle \mathbf {c} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {b} \end{matrix}}{\Bigr )}$,

në lidhje me shumëzimin e pasqyrimeve $\circ$ është grup (A, $\circ$) . Të caktohen të gjitha nëngrupet jotriviale të grupit (A, $\circ$) .

       Z g j i d h j e : Formojmë tabelën e shumëzimit të pasqyrimeve:

$\circ$		p1   p2   p3   p4   p5   p6
p1	p1   p2   p3   p4   p5   p6
p2	p2   p3   p4   p5   p6   p1
p3	p3   p4   p5   p6   p1   p2
p4	p4   p5   p6   p1   p2   p3
p5	p5   p6   p1   p2   p3   p4
p6	p6   p1   p2   p3   p4   p5

       Nga kjo tabelë shihet se plotësohen të katër aksiomat e grupit, ku p₁ është element neutral, kurse për secilin element të bashkësisë A ekziston elementi invers në lidhje me veprimin $\circ$  :

	Elementi	p1    p2    p3   p4    p5    p6
	Elem. i invers	p1    p2    p3   p4    p5    p6

andaj (A, $\circ$) është grup.

       Nëngrupet jotriviale të grupit (A, $\circ$) janë: (A₁, $\circ$), (A₂, $\circ$), (A₃, $\circ$) dhe (A₄,$\circ$ ) ku: A₁$\scriptstyle {=}${p₁, p₂}, A₂$\scriptstyle {=}${p₁, p₃}, A₃$\scriptstyle {=}${p₁, p₆} dhe A₄$\scriptstyle {=}${p₁, p₄, p₆ }

---