Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet Bashkësitë Relacionet Pasqyrimet Veprimet binare Grupi Kuptimi i tyre Nëngrupi Homorfizmi dhe izomorfizmi Unaza, Trupi dhe Fusha

       Le të jenë (A, $\circ$), (B, $*$ ) dy grupe dhe h:A→B pasqyrimi bashkësisë i A në bashkësinë B. Thuhet se grupet (A, $\circ$ ) dhe (B, $*$ ) janë homomorfe, kurse pasqyrimi h homorfizëm i grupit (A, $\circ$) në grupin (B, $*$ ) , nëse (fig. 1.17.):

($\scriptstyle {\forall }$a, b $\scriptstyle \in$ A) h (a $\circ$ b) $\scriptstyle {=}$ h (a) $*$ h (b) .(...51)

       Kur h (A)$\scriptstyle {=}$B, h quhet homomorfizëm i grupit (A, $\circ$) mbi grupin (B, $*$) ose homomorfizëm surjektiv apo epimorfizëm (fig. 1.18.).

Fig. 1.18. Fig. 1.17.

       Nëse e dhe e' janë elementet neutrale të grupeve homomorfe (A, $\circ$) dhe (B, $*$), atëherë kemi:

h (a) $\scriptstyle {=}$ h (a $\circ$ e) $\scriptstyle {=}$ h (a) $*$ h (e)	${\Big \}}$ h (e) $\scriptstyle {=}$ e',
h (a) $\scriptstyle {=}$ h (e $\circ$ a) $\scriptstyle {=}$ h (e) $*$ h (a)

çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit (A, $\circ$) është element neutral i grupit (B, $*$).

       T e o r e m a  6.1.1. -  Nëse h₁ është homomorfizëm i (A, $\circ$₁) në (B, $\circ$₂) dhe h₂ homomorfizëm i (B, $\circ$₂) në (C, $\circ$₃), shumëzimi h₂$\circ$ h₁ është homomorfizëm i (A, $\circ$₁) në (C, $\circ$₃).

       V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës kemi:

	(1) ($\scriptstyle {\forall }$a, b$\scriptstyle \in$A) h1 (a$\circ$1 b) .	$\scriptstyle {=}$h1(a)$\circ$2 h1(b) $\scriptstyle {=}$a'$\circ$2 b', ku a' $\scriptstyle {=}$ h 1 (a), b'$\scriptstyle {=}$h1 (b);
	(2) ($\scriptstyle {\forall }$a', b'$\scriptstyle \in$ B) h2 (a'$\circ$2 b')	$\scriptstyle {=}$h2(a')$\circ$3 h2 (b') $\scriptstyle {=}$h2 [h1(a)] $\circ$3 h2 [h1 (b)] $\scriptstyle {=}$(h2$\circ$ h1) (a) $\circ$3 (h2 $\circ$ h1) (b).

       Duke shfrytëzuar këto formula marrim:

($\scriptstyle {\forall }$a, b$\scriptstyle \in$ A) (h2 $\circ$ h1) (a $\circ$1 b)

$\scriptstyle {=}$h2 [h1 (a $\circ$1 b)] $\scriptstyle {=}$h2 [h1 (a)$\circ$2 h1 (b)] $\scriptstyle {=}$h2 [h1 (a) $\circ$3 h2 h1 (b)] $\scriptstyle {=}$ (h2 $\circ$ h 1) (a) $\circ$3 (h2 $\circ$ h1) (b)

dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.

       Homomorfizmi injektiv i grupit (A, $\circ$) në grupin (B, $*$) quhet izomorfizëm i (A, $\circ$) në (B, $*$) (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi h është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i (A, $\circ$) mbi (B, $*$) quhet izomorfizëm i (A, $\circ$) mbi (B, $*$) dhe thuhet se grupet (A, $\circ$) , (B, $*$) janë izomorfe ndërmjet tyre.

       Të konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.

Fig. 1.20.

       T e o r e m a  6.1.2. -  Nëse i₁ është izomorfizëm i grupit (A, $\circ$₁) mbi grupin (B, $\circ$₂) dhe i₂ izomorfizëm i (B, $\circ$₂) mbi (C, $\circ$₃) , shumëzimi i₂ $\circ$ i₁ është izomorfizëm i grupit (A, $\circ$₁) mbi grupin (C, $\circ$₃) .

       Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo !

       S h e m b u l l i  23. -  Të shohim grupet ($\scriptstyle \mathbb {R}$+, .), ($\scriptstyle \mathbb {R}$, +) dhe h:$\scriptstyle \mathbb {R}$+→$\scriptstyle \mathbb {R}$ pasqyrimin e $\scriptstyle \mathbb {R}$+ në $\scriptstyle \mathbb {R}$ që përcaktohet me formulën:

h:x→y$\scriptstyle {=}$ log x, $\scriptstyle {\forall }$x$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {R}$⁺ .

       Meqë vlen:

($\scriptstyle {\forall }$x₁, x₂ $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {R}$⁺) log (x₁ • x₂)$\scriptstyle {=}$ log x₁ +log x₂ ,

themi se (R⁺,.), (R, +) janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi h homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi h është izomorfizëm.

Fig. 1.19.

---