Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :
Përkufizimi
Semigrupi (A, ) që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element a A ekziston elementi invers a-1 A.[1]
Sistemi i aksiomave të grupit
Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët lidhur me veprimin binar është grup, nëse plotësohen këto kushte :
- (a1) Bashkësia është e mbyllur lidhur me veprimin binar , pra:
;
- (a2) Veprimi binar është asociativ, pra :
;
- (a3) Në bashkësinë ekziston elementi neutral për veprimin binar , pra :
; dhe
- (a4) Për secilin element ekziston elementi invers ashtu që :
.
Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.
Llojet e grupit
Nëse veprimi binar është komutativ, quhet grup komutativ ose abelian[2]. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, , respektivisht quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.
P.sh. grupe aditive janë : , ndërkaq grupe multiplikative janë : ku . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.
Grupi aditiv dhe multiplikativ
P.sh.: Të tregohet se bashkësia në lidhje me mbledhjen sipas është grup aditiv , kurse bashkësia në lidhje me shumëzimin, sipas , është grup multiplikativ .
Zgjidhje: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas , respektivisht duket kështu:
Nga këto tabela shihet se:
- (1) është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas :
- (2) është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas :
Veprimet në grup
Në përgjithësi, kur në grupin :
- - veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit përdoret simboli , atëherë quhet grup aditiv ; ndërsa kur
- - veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit përdoret simboli , atëherë quhet grup multiplikativ.
Për grupin aditiv (A, ) elementi neutral shënohet me 0 , kurse elementi invers (i kundërt) me - a .
- S h e m b u l l i 20. - - Të tregohet se bashkësia në lidhje me veprimin të përkufizuar me formulën :
- është grup (A, ) .
- Z g j i d h j e : : Meqë bashkësia A në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :
- (a1)
- (a2)
- (a3) dhe
- (a4)
konkludojmë se është grup aditiv.
Grupi i fundëm dhe i pafundëm
Grupi quhet i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia a është fundme apo e pafundme.
Përkufizimi
Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit a A , i tillë që me përsëritjen e veprimit në a riprodhohen të gjitha elementet e bashkësisë A.[3]
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
- ↑ 14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).