Ligjet e veprimeve binare

Nga Wikibooks
Jump to navigation Jump to search
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet

Veprimet binare

Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Ligjet themelore të veprimeve binare janë ligji komutativ, ligji asociativ dhe ligji distributiv .

Veprimi komutativ[redakto]

Në veprimet binare komutative rezultati i veprimit nuk varet prej rendit të elementeve, meqë „ a në veprim me b " dhe „ b në veprim me a " japin elementin e njëjtë c A . Kështu, për shembull, veprime binare komutative janë : mbledhja dhe shumëzimi i numrave, unioni dhe prerja e bashkësive, mbledhja e vektorëve etj., ndërkaq veprime jokumutative janë: prodhimi kartezian i bashkësive, shumëzimi i pasqyrimeve, prodhimi i matricave, prodhimi vektorial i vektorëve etj.

Përkufizimi[redakto]

Veprimi binar në bashkësinë A quhet komutativ, nëse vlen :

( a, b A) a b b a .(...46)

[1]

Veprimi asociativ[redakto]

Te veprimet binare asociative rezultati i veprimit nuk varet prej mënyrës së vendosjes së kllapave (të cilat përcaktojnë rendin e kryerjes së veprimevet), nëse ruhet rendi i elementeve. Për shembull, veprime asociative janë : mbledhja dhe zbritja e numrave, unioni dhe prerja e bashkësive, shumëzimi i pasqyrimeve (funksioneve) etj . Veprime joasociative janë : prodhimi kartezian i bashkësive, prodhimi vektorial i vektorëve etj .

Përkufizimi[redakto]

Veprimi binar në bashkësinë A është asociativ, nëse vlen:

( a, h, c A) (a b) c a (h c) . (...47)

[2]

Veprimi distributiv[redakto]

Në bashkësinë , për shembull, shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes: a (b + c) ab + ac , ndërkaq mbledhja nuk është distributiv ndaj shumëzimit : a + (bc) (a + b) (a + c) . Unioni dhe prerja e bashkësive janë dy veprime reciprokisht distributive ndaj njëri-tjetrit.

Përkufizimi[redakto]

Në bashkësinë A janë të përkufizuara dy veprime binare dhe . Veprimi është distributiv ndaj veprimit , nëse vlen :

( a, b, c A) a (b c) (a b) (a c) . (...48)

[3]

Grupoidi[redakto]

Për shembull : ( , + ), ( , + ), ( , .), ( , + ), ( , .), (A, .) ku A { -1, l } janë grupoide, ndërkaq: ( , + ), ( , - ), (A, +) ku A { -1, 1 } nuk janë grupoide.

Përkufizimi[redakto]

Bashkësia jo e zbrazët A në të cilën është i përkufizuar veprimi binar o quhet grupoid lidhur me atë veprim dhe shënohet me (A, o) .[4]

Semigrupi[redakto]

P.sh. : ( , + ), ( , .), ( , + ), (A, .) ku A { - 1, 1 - i, i}, i janë semigrupe.

Përkufizimi[redakto]

Grupoidi (A, o) quhet semigrup (monogrup) nëse veprimi binar është asociativ.[5]

Elementi neutral[redakto]

Elementi neutral e quhet edhe element njësi. Në bashkësinë elementi neutral për mbledhjen është 0 (zero), ndërkaq për shumëzimin është 1 . Elementi neutral për unionin e bashkësive është bashkësia e zbrazët . Elementi neutral për shumëzimin e pasqyrimeve është pasqyrimi identik f :x→x x, x A . Grupoidi ( , +) nuk ka elementin neutral.

Përkufizimi[redakto]

Elementi e A quhet element neutral për veprimin në bashkësinë A, nëse vlen :

a A a e e a a (...49)

[6]

Teorema[redakto]

Nëse grupoidi (A, ) përmban elementin neutral, ai është i vetmi.

VërtetimLe të supozojmë të kundërtën - se në (A, ) ekzistojnë dy elemente neutrale e1 , e2 (el e2 ) për veprimin binar . Kur në formulën (49) e zëvendësojmë së pari e me e1 , a me e2 dhe së dyti e me e2 , a me el përftojmë :

e2 el el e2 el dhe el e2 e2 el el ,

prej kah rezulton se el e2 . Pra, konkludojmë se grupoidi (A, ) nuk mund të përmbajë dy elemente neutrale për veprimin o .

Elementi invers[redakto]

P.sh., në semigrupin ( , +) me elementin neutral 0 , për cilindo element a elementi invers është numri i kundërt (-a) , ndërkaq në semigrupin ( , .) , përveç elementeve -1 dhe 1 , elementet tjera nuk kanë elementin e tyre invers. Në semigrupin ( , .) me elementin neutral 1 , për cilindo element a Q , elementi invers është numri reciprok .

Përkufizimi[redakto]

Kur semigrupi (A, ) përmban elementin neutral e , elementi b A quhet element invers i elementit a A në lidhje me veprimin , nëse vlen :

a b b a e . (...50)

[7]

Simboli[redakto]

P.sh.,

        Elementi invers i elementit a rëndom shënohet me a-1 .

Teorema[redakto]

Nëse semigrupi (A, ) për elementin a A përmban elementin invers a-1 A , ai është i vetmi.

Vërtetim: Le të supozojmë të kundërtën - se b1 , b2 janë dy elemente inverse të elementit a A . Kur në formulën (50) e zëvendësojmë së pari b me b1 , së dyti b me b2 përftojmë :

a b1 b1 a e dhe a b2 b2 a e .

Meqë a b1 e dhe veprimi është asociativ, kemi:

b2 (a b1 ) b2 dhe b2 (a b1 ) (b2 a) b1 e b1 b1

d.m.th. se b1 b2 , çka duhej vërtetuar.


  1. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  2. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  3. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  4. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  5. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  6. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  7. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).