Grupi dhe nëngrupi: Dallime mes rishikimesh
Rreshti 62: | Rreshti 62: | ||
==Veprimet në grup== |
==Veprimet në grup== |
||
Në përgjithësi, kur në grupin |
Në përgjithësi, kur në grupin <math>(A, \circ)</math> : |
||
: - veprimi binar quhet ''mbledhje'' dhe në vend të simbolit |
: - veprimi binar quhet ''mbledhje'' dhe në vend të simbolit <math>\circ</math> përdoret simboli <math>\oplus</math> , atëherë <math> (A, \oplus)</math> quhet ''grup aditiv'' ; ndërsa kur |
||
: - veprimi binar quhet ''shumëzim'' dhe në vend të simbolit |
: - veprimi binar quhet ''shumëzim'' dhe në vend të simbolit <math>\circ</math> përdoret simboli <math>\odot</math> , atëherë <math>(A, \odot )</math> quhet ''grup multiplikativ''. |
||
Për grupin aditiv {{mate|(A, {{o+}} )}} elementi neutral shënohet me {{mate|0}} , kurse elementi invers (i kundërt) me {{mate|- a}} . |
Për grupin aditiv {{mate|(A, {{o+}} )}} elementi neutral shënohet me {{mate|0}} , kurse elementi invers (i kundërt) me {{mate|- a}} . |
||
{{S h e m b u l l i|20.}} - Të tregohet se bashkësia |
{{S h e m b u l l i|20.}} - Të tregohet se bashkësia <math>A = (a, b) | a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{Z}</math> në lidhje me veprimin <math>\oplus</math> të përkufizuar me formulën : |
||
<CENTER> |
<CENTER> <math>(a, b) \oplus (c, d) = (a+c, b+d)</math> </CENTER> |
||
:është grup {{mate|(A, {{o+}} )}} . |
:është grup {{mate|(A, {{o+}} )}} . |
||
{{Z g j i d h j e}} : Meqë bashkësia {{mate|A}} në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra : |
{{Z g j i d h j e}} : Meqë bashkësia {{mate|A}} në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra : |
||
{| |
|||
|{{dygishta}} |
|||
: (a<sub>1</sub>) <math>\begin{array}{l} |
|||
(\forall (a,b),\ (c,d) \in A)(\exist!\ (e, f) \in A) \\ |
|||
⚫ | |||
|- |
|||
\end{array}</math> |
|||
|{{dygishta}} |
|||
| |
|||
⚫ | |||
: (a<sub>2</sub>) <math> |
|||
|- |
|||
\begin{array}{rl} |
|||
|{{dygishta}} |
|||
(\forall (a,b),\ (c,d),\ (e,f)\in A) & \\ |
|||
| (a{{sub|2}} ) |
|||
(a, b)\oplus [ (c, d)\oplus (e, f)] &= (a, b)\oplus (c + e, d + f ) \\ |
|||
⚫ | |||
|- |
|||
& = (a+c, b+d)\oplus (e, f) \\ |
|||
|{{dygishta}} |
|||
& = [(a, b) \oplus (c, d)\oplus (e, f)]\\ |
|||
| |
|||
\end{array}</math> |
|||
|colspan="2"| |
|||
: (a<sub>3</sub>) <math> |
|||
{| |
|||
\begin{array}{l} |
|||
| |
|||
(\forall (a,b)\in A) (\exist !\ (0,0)\in A) \\ |
|||
(a, b)\oplus (0, 0) = (0, 0)\oplus (a, b) = (a, b) \\ |
|||
\end{array}</math> dhe |
|||
|- |
|||
: (a<sub>4</sub>) <math> |
|||
⚫ | |||
\begin{array}{l} |
|||
|- |
|||
(\forall (a,b)\in A) (\exist !\ (-a,-b)\in A) \\ |
|||
| || ||{{mate| {{=}} (a+c, b+d) {{o+}} (e, f)}} |
|||
⚫ | |||
|- |
|||
\end{array}</math> |
|||
| || ||{{mate| {{=}} [(a, b) {{o+}} (c, d) {{o+}} (e, f)] }} ; |
|||
|} |
|||
⚫ | |||
|- |
|||
==Grupi i fundem dhe i pafundëm== |
|||
| |
|||
⚫ | |||
|(a{{sub|3}} ) |
|||
===Përkufizimi=== |
|||
|{{mate|( {{çdo}} (a, b) {{enë}} A) ( {{ekziston!}} (0, 0) {{enë}} A)}} |
|||
⚫ | |||
|- |
|||
| |
|||
| || {{mate|(a, b) {{o+}} (0, 0) {{=}} (0, 0) {{o+}} (a, b) {{=}} (a, b)}} ; dhe |
|||
|- |
|||
| |
|||
| (a{{sub|4}} ) |
|||
| {{mate|( {{çdo}} (a, b) {{enë}} A) ( {{ekziston!}} (-a, -b) {{enë}} A)}} |
|||
|- |
|||
⚫ | |||
|} |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[Category:Algjebra e përgjithëshme]] |
[[Category:Algjebra e përgjithëshme]] |
Versioni i datës 4 qershor 2008 23:10
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
|
Shkalla UNI |
Gjykimet Bashkësitë |
Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :
Përkufizimi
Semigrupi (A, ) që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element a A ekziston elementi invers a-1 A.[1]
Sistemi i aksiomave të grupit
Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët lidhur me veprimin binar është grup, nëse plotësohen këto kushte :
- (a1) Bashkësia është e mbyllur lidhur me veprimin binar , pra:
- (a2) Veprimi binar është asociativ, pra :
- (a3) Në bashkësinë ekziston elementi neutral për veprimin binar , pra :
- (a4) Për secilin element ekziston elementi invers ashtu që :
Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.
Llojet e grupit
Nëse veprimi binar është komutativ, (A, ) quhet grup komutativ ose abelian[2]. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, (A, +) , respektivisht (A, .) quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.
P.sh. grupe aditive janë : ( , + ), ( , + ), ( \ , + ) , ndërkaq grupe multiplikative janë : ( \{0}, .), ( \{0}, .), (A, .) ku A = { -1, 1, - i, i } . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.
Grupi aditiv dhe multiplikativ
P.sh.: Të tregohet se bashkësia A = {0, 1, 2, 3, 4 } në lidhje me mbledhjen sipas modulit 5 është grup aditiv (A, + ) , kurse bashkësia B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } në lidhje me shumëzimin, sipas modulit 7 , është grup multiplikativ (B, -7 ) .
Zgjidhje: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas modulit 5 , respektivisht 7 duket kështu:
Nga këto tabela shihet se:
- (1) (A, +5 ) është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas modulit 5 :
- (2) (B, •7 ) është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas modulit 7 :
Veprimet në grup
Në përgjithësi, kur në grupin :
- - veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit përdoret simboli , atëherë quhet grup aditiv ; ndërsa kur
- - veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit përdoret simboli , atëherë quhet grup multiplikativ.
Për grupin aditiv (A, ) elementi neutral shënohet me 0 , kurse elementi invers (i kundërt) me - a .
- S h e m b u l l i 20. - - Të tregohet se bashkësia në lidhje me veprimin të përkufizuar me formulën :
- është grup (A, ) .
- Z g j i d h j e : : Meqë bashkësia A në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :
- (a1)
- (a2)
- (a3) dhe
- (a4)
konkludojmë se është grup aditiv.
Grupi i fundem dhe i pafundëm
Grupi quhet i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia a është fundme apo e pafundme.
Përkufizimi
Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit a A , i tillë që me përsëritjen e veprimit në a riprodhohen të gjitha elementet e bashkësisë A.[3]
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
- ↑ 14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).