Ligjet e logjikës se gjykimeve

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Konceptet dhe simbolet e logjikës matematike
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare
Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Rëndom në algjebër $p, q, r, \dots$ quhen gjykime fillestare ose themelore . Kur në këto gjykime $p, q, r, \dots$ veprojmë me veprime themelore logjike : $\neg, \land, \lor, ⊻, \Rightarrow, \Leftrightarrow$ marrim gjykime të përbëra të trajtave: $\neg p$ , $p \land q$ , $p \lor q$ , $p ⊻ q$ , $p \Rightarrow q$ , $p \Leftrightarrow q$ , $p \land \neg q$ , $p \lor \neg p$ , $(p \Rightarrow q) \land \neg q \Rightarrow \neg p$ , $(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg q \Rightarrow \neg p)$ , etj. të cilat quhen formula gjykimesh . Vlera e saktësisë së një formule gjykimesh provohet duke formuar tabelen e saktësisë së veprimeve themelore logjike.

Tautologjia

Formulat e gjykimeve të cilat janë të sakta për çdo vlerë të gjykimeve fillestare quhen tautologji ose ligje logjike. Kur ndonjë formulë gjykimesh është tautologji, para saj shënohet simboli .

Ligji i kontrapozicionit

Të provohet saktësia e formulës $(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg p \Rightarrow \neg q),$ e cila shpreh ligjin e kontrapozicionit.

$\begin{matrix} (p) & (q) & p \Rightarrow q & \neg q & \neg p & (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg q \Rightarrow \neg p) \\ ⊤ & ⊤ & \oplus & ⊥ & ⊥ & \oplus & \oplus \\ ⊤ & ⊥ & ⊖ & ⊤ & ⊥ & ⊖ & \oplus \\ ⊥ & ⊤ & \oplus & ⊥ & ⊤ & \oplus & \oplus \\ ⊥ & ⊥ & \oplus & ⊤ & ⊤ & \oplus & \oplus \end{matrix}$

shihet se formula e dhënë është tautologji , d.m.th është e saktë për çdo vlerë të gykimeve fillestare.

Rregulla e silogjizmit

Të provohet tautologjia $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow r) (p \Rightarrow r)$ , e cila shpreh ligjin logjik të quajtur rregulla e silogjizmit

Nga tabela e formuar:

$\begin{matrix} p & q & r & p \Rightarrow r & q \Rightarrow r & (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow r) & p \Rightarrow r & (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow r) \Rightarrow (p \Rightarrow r) \\ ⊤ & ⊤ & ⊤ & ⊤ & ⊤ & ⊤ & ⊤ & ⊤ \\ ⊤ & ⊤ & ⊥ & ⊤ & ⊥ & ⊥ & ⊥ & ⊤ \\ ⊤ & ⊥ & ⊤ & ⊥ & ⊤ & ⊥ & ⊤ & ⊤ \\ ⊤ & ⊥ & ⊥ & ⊥ & ⊤ & ⊥ & ⊥ & ⊤ \\ ⊥ & ⊤ & ⊤ & ⊤ & ⊤ & ⊤ & ⊤ & ⊤ \\ ⊥ & ⊤ & ⊥ & ⊤ & ⊥ & ⊥ & ⊤ & ⊤ \\ ⊥ & ⊥ & ⊤ & ⊤ & ⊤ & ⊤ & ⊤ & ⊤ \\ ⊥ & ⊥ & ⊥ & ⊤ & ⊤ & ⊤ & ⊤ & ⊤ \end{matrix}$

konkludohet se rregulla e silogjizmit është e saktë për çdo vlerë të gjykimeve fillestare, andaj ajo është tautologji .

Tautologji janë edhe formulat :

(a₁) $(p \land q) \land r \Leftrightarrow p \land (q \land r)$ ;
(a₂) $(p \lor q) \lor r \Leftrightarrow p \lor (q \lor r)$ ;
(a₃) $p \land (q \lor r) \Leftrightarrow (p \land q) \lor (p \land r)$ ;
(a₄) $p \lor (q \land r) \Leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r)$ ;

që shprehin ligjet se veprimet $\land$ , $\lor$ janë asocijative dhe ato janë distributive njëri ndaj tjetrit.