Kuantifikatorët

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Konceptet dhe simbolet e logjikës matematike Gjykimet Gjykimet dhe llojet e gjykimeve Veprimet me gjykime Negacioni i gjykimit Konjuksioni i gjykimeve Disjunksioni i gjykimeve Implikacioni i gjykimeve Ekuivalenca e gjykimeve Ligjet e logjikës se gjykimeve Kuantifikatorët Bashkësitë Relacionet Pasqyrimet Veprimet binare Grupi Unaza, Trupi dhe Fusha

Kemi përmendur se me metodën e zëvendësimit funksionet e gjykimeve $F_1(x),F_2(x,y),F_3(x,y,z),\dots$ shndërrohen në gjykime . Mirëpo, tani do të shohim se ato shndërrohen në gjykime edhe duke përdorur kuantifikatorët $\mathrm{\forall }$ dhe $\mathrm{\exists }$ , të cilëve u përgjigjen fjalët "çdo" ("secili") dhe "ekziston" ("ndonjë" , "së paku një"). Simboli $\mathrm{\forall }$ quhet kuantifikator universal (i përgjithshëm), ndërkaq $\mathrm{\exists }$ kuantifikator i ekzistimit.

Të marrim, për shembull, këto funksione gjykimesh :

• (a₁) Çdo dy numra natyralë të njëpasnjëshëm janë relativisht të thjeshtë ;
• (a₁) Shuma e çdo dy numrave natyralë është numër natyral ;
• (a₁) Ndonjë numër natyral është zgjidhja e inekuacionit $2x+5<12$ ;
• (a₁) Për secilin numër të plotë mund të gjendet së paku një numër tjetër i plotë, ashtu që shuma a tyre të jetë $5$ .

Kur në këto funksione gjykimesh përdorim kunatifikatorët $\mathrm{\forall }$ dhe $\mathrm{\exists }$ ato marrin trajtën e formulave :

• (a₁) $(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N})(x,x+1)=1$ ;
• (a₁) $(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }y\in \mathbb{N})x+y\in \mathbb{N}\text{ose}(\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{N})x+y\in \mathbb{N}$ ;
• (a₁) $(\mathrm{\exists }x\in \mathbb{N})2x+5<12$ ;
• (a₁) $(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{Z})(\mathrm{\exists }y\in \mathbb{Z})x+y=5$ ;

të cilat në të vërtetë janë gjykime të sakta.

Prej këtyre shembujve mund të konkludojmë se në përgjithësi për të shndërruar funksionet e gjykimeve $F_1(x),F_2(x,y),F_3(x,y,z)$ në gjykime duhet të përdoren aq kuantifikatorë, sa variabla përmbajnë ato funksione. Kështu funksioni $F(x,y)$ shndërrohet në gjykim në këto raste :

• {1) $(\mathrm{\forall }x,y)F(x,y)$ ;
• (2) $(\mathrm{\exists }x)(\mathrm{\forall }y)F(x,y)$ ;
• (3) $(\mathrm{\exists }y)(\mathrm{\forall }x)F(x,y)$ ;
• (4) $(\mathrm{\exists }x,y)F(x,y)$.

Të përmendim se shpesh përdoret edhe një kuantifikator i posaçëm i ekzistimit - kuantifikatori i ekzistimit ekskluziv i cili shënohet me $\mathrm{\exists }!$ dhe lexohet : ekziston vetëm një. Kështu p.sh . në gjykimet :

• (1) $(\mathrm{\exists }!x\in \mathbb{N})2x+7<10$,
• (2) $(\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{Z})(\mathrm{\exists }!z\in \mathbb{Z})x+y+z=1$

posaçërisht theksohet se ekziston vetëm një numër natyral, respektivisht vetëm një numër i plotë i cili e plotëson relacionin përkatës, d.m.th. për të cilin formula përkatëse bëhet gjykim i saktë. E dimë se vlera e panjohurës $x$ për të cilën ekuacioni (barazimi) $f(x)=0$ , respektivisht inekuacioni (jobarazimi) $f(x)<0$ bëhet gjykim i saktë quhet zgjidhja (ose rrënja) e ekuacionit, respektivisht inekuacionit.

---