Pasqyrimi invers

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme
Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet

Pasqyrimet

Veprimet binare
Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Pasqyrimin f : A→B e bashkësisë A në bashkësinë B zakonisht e shprehim me formulën f : x→y \scriptstyle{=} f(x), \scriptstyle{ \forall } x \scriptstyle \in A . Mirëpo, nëse dëshirojmë që bashkësinë B ta pasqyrojmë në bashkësinë A , në pajtim me përkufizimin 4.1.1., shtrohet çështja e ekzistimit të një pasqyrimi të këtillë dhe shfaqet problemi i mundësisë që nga funksioni i dhënë f të formohet një funksion tjetër g , i tillë që secilit y \scriptstyle \in B t'i shogërojë pikërisht një transformat x \scriptstyle \in A , pra të vlejë  : g  : y→x \scriptstyle{=} g (y), \scriptstyle{ \forall } y \scriptstyle \in B . Ky funksion x \scriptstyle{=} g (y) , nëse ekziston, quhet funksion invers i funksionit y \scriptstyle{=} f(x) . Kuptohet pasqyrimi y  : B→A do të ekzistojë, nëse vlen  :

( \scriptstyle{ \forall } y \scriptstyle \in B) ( \scriptstyle{ \exists ! } x \scriptstyle \in A) g : y→x \scriptstyle{=} g (y) . (...37)

D.m.th. për funksionin y \scriptstyle{=} f(x) ekziston funksioni invërs x \scriptstyle{=} g (y) , atëherë dhe vetëm atëherë, kur f është pasqyrim bijektiv. Në këtë rast pasqyrimet (funksionet) f dhe g quhen reciprokisht inverse. Pasqyrimi invers i pasqyrimit f zakonisht shënohet me f -1 .

        Andaj, për pasqyrimin bijektiv f ndërmjet bashkësive A, B vlen :
f : x→y \scriptstyle{=} f(x) \scriptstyle { \Rightarrow } f -1  : y→x \scriptstyle{=} f -1 (y), (...38)
Pasqyrimi invers.PNG
Fig. 1.15.
  

ku nëse x1 \scriptstyle { \neq } x2 , atëherë y1 \scriptstyle { \neq } Y2 dhe e anasjellta (fig. 1.15.).

[redaktoni] Domeni dhe kodomeni

Meqë kushti i ekzistimit të funksionit invers f -1 për funksionin e dhënë f është që f të jetë një korrespondencë biunivoke ndërmjet bashkësive A , B , andaj konkludojmë:

(1) Domeni i f -1 është kodomen i f , kodomeni i , f -1 është domeni i f ,
(2) f {f-1 (x)} \scriptstyle{=} f-1 {f (x)} \scriptstyle{=} x  ;
(3) (f-1 )-1 \scriptstyle{=} f .

Kur funksioni f jipet në mënyrë analitike y \scriptstyle{=} f(x) , funksioni invers y \scriptstyle{=} f-1 (x) gjendet duke zgjidhur barazinë y \scriptstyle{=} f(x) sipas x-it dhe duke zëvendësuar në formulën e fundit simbolet e ndryshoreve ndërmjet tyre.

[redaktoni] Shembuj

Pasqyrimi f:A→B , ku A \scriptstyle{=} {1,2,3,4,5} dhe B \scriptstyle{=} {a, b, c, d, e} , është dhënë me: f=\bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ b & d & a & c & e \\ \end{smallmatrix}\bigr)

Pasqyrimi invers f-1 :B→A është: f^{-1}=\bigl( \begin{smallmatrix} a & b & c & d & e \\ 3 & 1 & 4 & 2 & 5 \\ \end{smallmatrix}\bigr)

Pasgyrim i A→B , ku A \scriptstyle{=} { 1, 2, 3, 4, 5} dhe B \scriptstyle{=} {2, 5, 8, 11, 14} , është dhënë me formulën f (x) \scriptstyle{=} 3x - 1 .

Pasqyrimi invers f-1 :B→A është :

y \scriptstyle{=} 3x-1 \scriptstyle { \Rightarrow } 3x \scriptstyle{=} y+1 \scriptstyle { \Rightarrow } x \scriptstyle{=} y+1 , pra:
3
f -1 :x→y \scriptstyle{=} y+1 , ose f -1(x)\scriptstyle{=} y+1
3 3


Pasqyrimi f: \scriptstyle \mathbb{R} → \scriptstyle \mathbb{R}+ është dhënë me formulën y \scriptstyle{=} ex .

Pasqyrimi invers është f-1 : \scriptstyle \mathbb{R}+ → \scriptstyle \mathbb{R}  :

y \scriptstyle{=} ex \scriptstyle { \Rightarrow } ln y, pra : f-1 :y→x \scriptstyle{=} ln y ose f-1 (x) \scriptstyle{=} ln x .

Mund të konstatojmë se \scriptstyle \mathbb{R} është domeni e \scriptstyle \mathbb{R}+ kodomeni i funksionit f(x) \scriptstyle{=} ex , ndërsa \scriptstyle \mathbb{R}+ domeni e \scriptstyle \mathbb{R} kodomen i f-1 (x) \scriptstyle{=} ln x .

Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Pasqyrimi_invers"