Bashkësitë dhe veprimet me bashkësi

Nga Wikibooks
Shko tek: lundrim, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet
Bashkësitë

Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare
Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Bashkësia është një koncept themelor i matematikës bashkëkohore. Zakonisht thuhet se bashkësinë e përbëjnë një sërë objektesh me veti të përbashkëta. Objektet që e përbëjnë bashkësinë quhen elemente. Bashkësitë emërtohen me germa të mëdha të alfabetit, p.sh.: A, B, C, . . . , X, Y, . . . , kurse elementet me germa të vogla, p.sh.: a, b, c, . . . , x, y, . . . .

  1. Numbered list item
  • Bulleted list item

Përcaktimi i bashkësive[redakto]

Në matematikë bashkësië caktohen në dy mënyra:

  • (1) me numërimin e të gjitha elementeve
A \scriptstyle{=} {a1 , a2 , a3 , . . . , an } ose
  • (2) me përshkrimin e vetive karakteristike të elementeve:
A \scriptstyle{=} {x \scriptstyle \mid F(x)} .

Në formulën e fundit F(x) paraget një funksion gjykimesh me variablen x, kurse A bashkësinë e elementeve të atilla që kur cilido prej tyre zëvendësohet në F(x) e shndërron atë në gjykim të saktë.

Relacioni i përkatëshmërisë[redakto]

Me formulën a\scriptstyle \inA përcaktohet se a është element i bashkësisë A ( a i përket bashkësisë A) dhe quhet relacion i përkatshmërisë. Negacioni i këtij relacioni shënohet : b\scriptstyle \not \in A ose  \scriptstyle { \lnot }(b\scriptstyle \inA).

Bashkësia e zbrazët[redakto]

Bashkësia që nuk e përmban asnjë element quhet bashkësi e zbrazët (vakante) dhe shënohet me simbolin \scriptstyle { \varnothing }. P.sh. bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit x2 + 1 \scriptstyle{=}0 në fushën e numrave realë është bashkësi e zbrazët.

Bashkësitë numerike[redakto]

Në matematikë rëndom shqyrtohen bashkësitë elementet e të cilave janë objekte matematikore. Bashkësitë që kanë për objekte (elemente) numra të ndryshëm quhen bashkësi numerike. Bashkësitë më të rëndësishme numerike janë:

  • (1) Bashkësia e numrave natyralë : \scriptstyle \mathbb{N}\scriptstyle{=} { 1, 2, 3, . . . , n, n + 1, . . . } ;
  • (2) Bashkësia e numrave të plotë : \scriptstyle \mathbb{Z}\scriptstyle{=} { . . . , - 2, -1, 0,1, 2, . . . } ;
  • (3) Bashkësia e numrave racionalë : \scriptstyle \mathbb{Q}\scriptstyle{=}{ \{ } \scriptstyle {p \over q }\scriptstyle \mid p\scriptstyle \in\scriptstyle \mathbb{Z}, q\scriptstyle \in\scriptstyle \mathbb{N}\displaystyle { \} } :
  • (4) Bashkësia e numrave realë : \scriptstyle \mathbb{R}\scriptstyle{=} {x\scriptstyle \mid-\scriptstyle { \infty } < x < +\scriptstyle { \infty } } ;
  • (5) Bashkësia e numrave kompleksë : \scriptstyle \mathbb{C}\scriptstyle{=} {x+iy\scriptstyle \midx\scriptstyle \in\scriptstyle \mathbb{R}, y\scriptstyle \in\scriptstyle \mathbb{R}, i\scriptstyle{=}\scriptstyle { \sqrt{-1} } } ;
  • (6) Bashkësia e numrave çiftë (parë) : \scriptstyle {\mathbb{N}_{p} }\scriptstyle{=} {n\scriptstyle \mid n\scriptstyle \in\scriptstyle \mathbb{N} \scriptstyle \land n\vdots2} ;
  • (7) Bashkësia e numrave tekë (cupë) : \scriptstyle {\mathbb{N}_{c} }\scriptstyle{=} {n\scriptstyle \midn\scriptstyle \in\scriptstyle \mathbb{N} \scriptstyle \land n\not \vdots2}.

Nënbashkësistë[redakto]

Përkufizimi[redakto]

Bashkësia A quhet nënbashkësi e bashkësisë B, nëse çdo element i bashkësisë A është njëherit element edhe i bashkësisë B[1]

Formulimi i përkufizimit[redakto]

AInkluzion.PNGBEkuivalentpër.PNG(\scriptstyle{ \forall }x\scriptstyle \inA):x\scriptstyle \inA\scriptstyle { \Rightarrow } x\scriptstyle \inB,
ku simboli Ekuivalentpër.PNG lexohet: sipas përkufzimit atëherë dhe vetëm atëherë.

Vetitë[redakto]

Formula AInkluzion.PNGB quhet relacioni i inkluzionit ose i përfshirjes, simboli Inkluzion.PNG është shenja e atij relacioni.

Mbibashkësitë[redakto]

Sinonim i relacionit AInkluzion.PNGB është AInkluzion sinonim.PNGB, ku B është mbibashkësi e bashkësisë A.

Nga përkufizimi 2.1.1. dalin këto dy inkluzione:

AInkluzionpër.PNGA dhe \scriptstyle { \varnothing }Inkluzion.PNGA (...8)
për çdo bashkësi A .

Nënbashkësia e vërtet[redakto]

Kur AInkluzionpër.PNGA dhe \scriptstyle{ \exists }x\scriptstyle \inB ashtu që x\scriptstyle \not \in A, thuhet se A është nënbashkësi (pjesë) e vërtetë e bashkësisë B dhe shënohet ANën.PNGB. Negacioni i këtij relacioni shënohet AJonën.PNGB. P.sh.: \scriptstyle \mathbb{N}Nën.PNG\scriptstyle \mathbb{Z}, \scriptstyle \mathbb{Z}Nën.PNG\scriptstyle \mathbb{Q}, \scriptstyle \mathbb{Q}Nën.PNG\scriptstyle \mathbb{R}, \scriptstyle {\mathbb{N}_{p} }Nën.PNG\scriptstyle \mathbb{N}, \scriptstyle {\mathbb{N}_{p} }Jonën.PNG\scriptstyle {\mathbb{N}_{c} }, {a,b,c}Jonën.PNG {a,b,d,e,f}.

Përkufizimi[redakto]

Bashkësia e pjesëve të bashkësisë A quhet bashkësia e të gjitha nënbashkësive të bashkësisë A[2], pra :

P(A)Barazpër.PNG{X\scriptstyle \midXInkluzion.PNGA} . (...9)

Koncepti i bashkësive[redakto]

Në bazë të këtij përkufizimi mund të konkludohet se bashkësia dhe elementi janë koncepte relative - A mund të konsiderohet si bashkësi të elementeve të caktuara A\scriptstyle{=}{x\scriptstyle \midF(x)} , por edhe si element i bashkësisë së caktuar A\scriptstyle \inP(A) .

Barazia e bashkësive[redakto]

Nëse bashkësia A është e fundme dhe ka n elemente, atëherë bashkësia P(A) ka \sum_{k=0}^n {n \choose k}\scriptstyle{=}2n elemente.

Përkufizimi[redakto]

Dy bashkësi A, B janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë, kur AInkluzion.PNGB dhe BInkluzion.PNGA [3]

Formulimi i përkufizimit[redakto]

A\scriptstyle{=}BEkuivalentpër.PNGAInkluzion.PNGB\scriptstyle \landBInkluzion.PNGA. (...10)

Për shembull: {a, b, c}\scriptstyle{=}{b, a, c}.


  1. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  2. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  3. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).