Grupi dhe nëngrupi

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme
Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare

Grupi

Unaza, Trupi dhe Fusha

Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :

Tabela e përmbajtjeve

[redaktoni] Përkufizimi

Semigrupi (A, \circ ) që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element a \scriptstyle \in A ekziston elementi invers a-1 \scriptstyle \in A.[1]

[redaktoni] Sistemi i aksiomave të grupit

Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët A lidhur me veprimin binar \circ është grup, nëse plotësohen këto kushte :

(a1) Bashkësia A është e mbyllur lidhur me veprimin binar \circ , pra:
(\forall a, b \in A)( \exist ! c \in A) a \circ b = c ;
(a2) Veprimi binar \circ është asociativ, pra :
( \forall a, b, c \in A)(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) ;
(a3) Në bashkësinë A ekziston elementi neutral për veprimin binar \circ , pra :
(\exist ! e \in A)( \forall a \in A)a \circ e = e \circ a = a ; dhe
(a4) Për secilin element a \in A ekziston elementi invers a^{-1} \in A ashtu që :
a \circ a^1 = a^{-1} \circ a = e .

Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.

[redaktoni] Llojet e grupit

Nëse veprimi binar \circ është komutativ, (A, \circ )\! quhet grup komutativ ose abelian[2]. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, (A, +)\! , respektivisht (A,\cdot)\! quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.

P.sh. grupe aditive janë : ( \mathbb{Q} , + ), ( \mathbb{R} , + ), ( \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} , + ) , ndërkaq grupe multiplikative janë : ( \mathbb{Q}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace,\cdot), ( \mathbb{R}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace , \cdot), (A, \cdot) ku A = \left\lbrace -1, 1, - i, i \right\rbrace\! . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.

[redaktoni] Grupi aditiv dhe multiplikativ

P.sh.: Të tregohet se bashkësia A = \left\lbrace 0, 1, 2, 3, 4\right\rbrace në lidhje me mbledhjen sipas \mathrm{modulit}\ 5\! është grup aditiv (A, +_5 )\! , kurse bashkësia B = \left\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6\right\rbrace në lidhje me shumëzimin, sipas \mathrm{modulit}\ 7\! , është grup multiplikativ (B, \cdot_7 )\! .

Zgjidhje: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas \mathrm{modulit}\ 5\! , respektivisht 7\! duket kështu: \begin{array}{c|cccccccc} +_5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \end{array}\qquad \begin{array}{c|cccccccc} +_7 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 6 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \end{array}

Nga këto tabela shihet se:

(1) (A, +_5)\! është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas \mathrm{modulit}\ 5\!:

\begin{array}{l|cccccccc} \mathrm{Elementi} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \mathrm{Elem.\ i\ kund\ddot{e}rt} & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array}

(2) (B, \cdot_7 ) është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas \mathrm{modulit}\ 7\! :

\begin{array}{l|cccccccc} \mathrm{Elementi} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \mathrm{Elem.\ invers} & 1 & 4 & 5 & 2 & 3 & 6 \end{array}

[redaktoni] Veprimet në grup

Në përgjithësi, kur në grupin (A, \circ) :

- veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit \circ përdoret simboli \oplus , atëherë (A, \oplus) quhet grup aditiv ; ndërsa kur
- veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit \circ përdoret simboli \odot , atëherë (A, \odot ) quhet grup multiplikativ.

Për grupin aditiv (A, \oplus ) elementi neutral shënohet me 0 , kurse elementi invers (i kundërt) me - a .

       S h e m b u l l i  20. -  - Të tregohet se bashkësia A = (a, b) | a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{Z} në lidhje me veprimin \oplus të përkufizuar me formulën :
(a, b) \oplus (c, d) = (a+c, b+d)
është grup (A, \oplus ) .
       Z g j i d h j e : : Meqë bashkësia A në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :


(a1) \begin{array}{l} (\forall (a,b),\ (c,d) \in A)(\exist!\ (e, f) \in A) \\ (a,b)\oplus (c,d)=(a+c,\ b+d)=(e,f) \\ \end{array}


(a2) \begin{array}{rl} (\forall (a,b),\ (c,d),\ (e,f)\in A) & \\ (a, b)\oplus [ (c, d)\oplus (e, f)] &= (a, b)\oplus (c + e, d + f ) \\ & = (a+c+e, b+d+ f ) \\ & = (a+c, b+d)\oplus (e, f) \\ & = [(a, b) \oplus (c, d)\oplus (e, f)]\\ \end{array}
(a3) \begin{array}{l} (\forall (a,b)\in A) (\exist !\ (0,0)\in A) \\ (a, b)\oplus (0, 0) = (0, 0)\oplus (a, b) = (a, b) \\ \end{array} dhe
(a4) \begin{array}{l} (\forall (a,b)\in A) (\exist !\ (-a,-b)\in A) \\ (a, b)\oplus (-a, -b) = (-a, -b) \oplus (a, b) = (0, 0) \\ \end{array}

konkludojmë se (A, \oplus ) është grup aditiv.

[redaktoni] Grupi i fundëm dhe i pafundëm

Grupi (A, \oplus ) quhet i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia A a është fundme apo e pafundme.

[redaktoni] Përkufizimi

Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit a \scriptstyle \in A , i tillë që me përsëritjen e veprimit \circ në a riprodhohen të gjitha elementet e bashkësisë A.[3]

[redaktoni] Elementi përlindës

       Elementi i tillë a quhet përlindëse e grupit (A, \circ).
       S h e m b u l l i  21 -  Grupi (A, •), ku A\scriptstyle{=} \Big\{ \scriptstyle {1,} \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}} \Big\} është grup ciklik me dy përlindëse:\textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} dhe \textstyle {\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}}.Vërtet: \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{2}= \textstyle {\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}} , \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{3}= 1, \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{4} = \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}, etj.

[redaktoni] Vetit e grupit

Prej aksiomave (a1) - (a4) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të grupit:

[redaktoni] Vetia e elementit invers

       V e t i a 1.-Nëse në grupin (A, \circ) a-1 është element invers i elementit a, edhe elementi a është invers për elementin a-1 , d.m.th. (a-1)-1 \scriptstyle{=}a.

Kjo veti për grupin aditiv (A, \oplus) ka këtë trajtë: -(-a)\scriptstyle{=}a.

[redaktoni] Vetia e rrënjës

       V e t i a 2.- Në grupin (A, \circ) secili barazim

(1) a\circx\scriptstyle{=}b,2) y\circa\scriptstyle{=}b

ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën . x \scriptstyle{=} a-1 \circ b, kurse për barazimin (2) trajtën y \scriptstyle{=} b \circ a-1 .

       Për grupin aditiv abelian {{mate|(A, \oplus) barazimet
a \oplus x\scriptstyle{=}b dhe y \oplus a\scriptstyle{=}b
kanë një zgjidhje të përbashkët: x\scriptstyle{=}y\scriptstyle{=}(-a) \oplus b\scriptstyle{=}b \oplus (-a)\scriptstyle{=}b-a.

[redaktoni] Vetit e implikuacioneve

       V e t i a 3.- Në grupin (A, \circ) vlejnë këto implikacione:
a \circ b \scriptstyle{=} a\oplusc\scriptstyle { \Rightarrow } b\scriptstyle{=}c,
b\circa\scriptstyle{=}c\circa\scriptstyle { \Rightarrow } b \scriptstyle{=} c.
       Në grupin aditiv abelian (A, \oplus) vlen implikacioni
a \oplus b\scriptstyle{=}a \oplus c\scriptstyle { \Rightarrow } b\scriptstyle{=}c.

[redaktoni] Vetia e vlerfshmëris së barazimit

       V e t i a 4.- Në secilin grup (A, \oplus) vlen barazia:
(a\circb)-1\scriptstyle{=}b-1\circa-1 .

Në grupin aditiv abelian (A, \oplus) kjo veti shprehet me formulën:

-(a \oplus b)\scriptstyle{=}(-a) \oplus (-b).


[redaktoni] Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit

       Le të jenë (A, \circ), (B, * ) dy grupe dhe h:A→B pasqyrimi bashkësisë i A në bashkësinë B. Thuhet se grupet (A, \circ ) dhe (B, * ) janë homomorfe, kurse pasqyrimi h homorfizëm i grupit (A, \circ) në grupin (B, * ) , nëse (fig. 1.17.):
(\scriptstyle{ \forall }a, b \scriptstyle \in A) h (a \circ b) \scriptstyle{=} h (a) * h (b) .(...51)
       Kur h (A)\scriptstyle{=}B, h quhet homomorfizëm i grupit (A, \circ) mbi grupin (B, * ) ose homomorfizëm surjektiv apo epimorfizëm (fig. 1.18.).
Fig. 1.18. Fig. 1.17.
       Nëse e dhe e' janë elementet neutrale të grupeve homomorfe (A, \circ) dhe (B, * ), atëherë kemi:
h (a) \scriptstyle{=} h (a \circ e) \scriptstyle{=} h (a) * h (e) \Big\} h (e) \scriptstyle{=} e',
h (a) \scriptstyle{=} h (e \circ a) \scriptstyle{=} h (e) * h (a)
çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit (A, \circ) është element neutral i grupit (B, * ).
       T e o r e m a  6.1.1. -  Nëse h1 është homomorfizëm i (A, \circ1) në (B, \circ2) dhe h2 homomorfizëm i (B, \circ2) në (C, \circ3), shumëzimi h2\circ h1 është homomorfizëm i (A, \circ1) në (C, \circ3).
       V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës kemi:
       
 (1) (\scriptstyle{ \forall }a, b\scriptstyle \inA) h1 (a\circ1 b)
.		 \scriptstyle{=}h1(a)\circ2 h1(b)
\scriptstyle{=}a'\circ2 b', ku a' \scriptstyle{=} h 1 (a), b'\scriptstyle{=}h1 (b);
       
 (2) (\scriptstyle{ \forall }a', b'\scriptstyle \in B) h2 (a'\circ2 b') \scriptstyle{=}h2(a')\circ3 h2 (b')
\scriptstyle{=}h2 [h1(a)] \circ3 h2 [h1 (b)]
\scriptstyle{=}(h2\circ h1) (a) \circ3 (h2 \circ h1) (b).
       Duke shfrytëzuar këto formula marrim:
       
 (\scriptstyle{ \forall }a, b\scriptstyle \in A) (h2 \circ h1) (a \circ1 b) \scriptstyle{=}h2 [h1 (a \circ1 b)]
\scriptstyle{=}h2 [h1 (a)\circ2 h1 (b)]
\scriptstyle{=}h2 [h1 (a) \circ3 h2 h1 (b)]
\scriptstyle{=} (h2 \circ h 1) (a) \circ3 (h2 \circ h1) (b)
dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.
       Homomorfizmi injektiv i grupit (A, \circ) në grupin (B, * ) quhet izomorfizëm i (A, \circ) në (B, * ) (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi h është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i (A, \circ) mbi (B, * ) quhet izomorfizëm i (A, \circ) mbi (B, * ) dhe thuhet se grupet (A, \circ) , (B, * ) janë izomorfe ndërmjet tyre.
       Të konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.
Fig. 1.20.
       T e o r e m a  6.1.2. -  Nëse i1 është izomorfizëm i grupit (A, \circ1) mbi grupin (B, \circ2) dhe i2 izomorfizëm i (B, \circ2) mbi (C, \circ3) , shumëzimi i2 \circ i1 është izomorfizëm i grupit (A, \circ1) mbi grupin (C, \circ3) .
       Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo !
       S h e m b u l l i  23. -  Të shohim grupet (\scriptstyle \mathbb{R}+, .), (\scriptstyle \mathbb{R}, +) dhe h:\scriptstyle \mathbb{R}+→\scriptstyle \mathbb{R} pasqyrimin e \scriptstyle \mathbb{R}+ në \scriptstyle \mathbb{R} që përcaktohet me formulën:
h:x→y\scriptstyle{=} log x, \scriptstyle{ \forall }x\scriptstyle \in\scriptstyle \mathbb{R}+ .
       Meqë vlen:
(\scriptstyle{ \forall }x1, x2 \scriptstyle \in \scriptstyle \mathbb{R}+) log (x1 • x2)\scriptstyle{=} log x1 +log x2 ,
themi se (R+,.), (R, +) janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi h homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi h është izomorfizëm.

Fig. 1.19.

  1. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  2. ↑ 14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .
  3. ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Grupi_dhe_n%C3%ABngrupi"