Shumëzimi i pasqyrimeve

Nga Wikibooks

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet

Pasqyrimet

Veprimet binare
Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Le të jenë $f:A\toB, g:B\toC$ dy pasqyrime. Me pasqyrimin $f$ secilit element $\scriptstyle \in$ i shoqërohet pikërisht një element $f(x)$ nga bashkësia $B$ ,

Fig. 1.14.

kurse me pasgyrimin $g$ këtij elementi i shoqërohet pikërisht një element $g(f (x))$ nga bashkësia $C$ . Nëse, një pas një kryhen pasqyrimet $f:A\toB$ dhe $g:B\toC$ , atëherë në të vërtetë secilit element $\scriptstyle \in$ i shoqërohet pikërisht një element $g ( f (x))$ nga bashkësia $C$ (fig. 1.16a, b). Ky pasqyrim i bashkësisë $A$ në $C$ quhet shumëzim (kompozim, superpozicion) i pasqyrimeve $f$ dhe $g$ i cili simbolikisht shënohet me $\circ$ ose $g * f$ ose $g (f (x))$ (lexo : shumëzimi i pasqyrimeve f dhe g). Pra, shumëzimi i funksioneve $f, g$ përkufizohet me barazinë :

Fig. 1.16.

$\scriptstyle{ \forall }$ (...39)

Siç shihet në shumëzimin $\circ$ renditja e të shkruarit dhe zbatimit të funksioneve $f, g$ ka rëndësi, sepse rëndom prodhimi $\circ$ nuk ekziston, nuk ka kuptim.

[redaktoni] Përkufizimi i shumëzimit

Të caktohet shumëzimi i pasqyrimeve $f :A\toB$ dhe $g :B\toC$ , ku $\scriptstyle{=}$ , nëse është : $f=\bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ a & b & c & d \\ \end{smallmatrix}\bigr) ,\ g= \bigl( \begin{smallmatrix} a & b & c & d \\ \alpha & \gamma & \delta & \beta \\ \end{smallmatrix}\bigr)$

Zgjidhje : Prodhimi $g \circ f:A \rightarrow C$ është :

$(g \circ f)(1) = g ( f(1) ) = g(b) = \gamma$ ,

$(g \circ f)(2) = g ( f(2) ) = g(c) = \delta$ ,

$(g \circ f)(3) = g ( f(3) ) = g(a) = \alpha$ ,

$(g \circ f)(4) = g ( f(4) ) = g(d) = \beta$ ,

pra :

$g \circ f = \bigl( \begin{smallmatrix} a & b & c & d \\ \alpha & \gamma & \delta & \beta \\ \end{smallmatrix}\bigr) \circ \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ a & b & c & d \\ \end{smallmatrix}\bigr)= \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \alpha & \gamma & \delta & \beta \\ \end{smallmatrix}\bigr)$

Këtu shumëzimi $\circ$ nuk është i përkufizuar .

[redaktoni] Veprimi jokomutative

Të caktohen shumëzimet $\circ$ , ku $f, g$ janë dy pasqyrime të dhëna me formulat :

$f (x) = x 2 + 2 x - 1$ dhe $g (x) = 3 x + 2$ .

Zgjidhje :

(1) $(g \circ f)(x) = g(f (x)) = g(x^2 + 2x-1) = 3(x2+2x-1)+2= 3x 2 +6x-1$ ;

(2) $(f \circ g)(x) = f(g (x)) = f (3x + 2) = (3x + 2)^2 + 2(3x + 2) -1 = 9x^2 + 18x+7$ ;

(3) Meqë $g^{-1}(x) =\frac {(x-2)}{3}, (g^{-1} \circ g)(x)=g^{-1}(3x+2)=x$

Siç shihet pra, edhe kur ekzistojnë dy shumëzime $\circ$ dhe $\circ$ të funksioneve $f, g$ vlera e tyre varet nga renditja e pasqyrimeve . Prandaj, konkludojmë se shumëzimi i pasqyrimeve $f, g$ është veprim jokomutativ :

$\circ$ ose $\scriptstyle { \neq }$ . (...40)

[redaktoni] Vetit

Nga relacioni përkufizues (39) dhe fig. 1.16. del se për shumëzimin e pasqyrimeve $f, g$ vlen:

$\circ$ . (...41)

sepse : $\circ$ .

[redaktoni] Pasqyrimi identik

Nëse $f$ është pasqyrim bijektiv ndërmjet bashkësive $A$ dhe $B$ , shumëzimi i pasqyrimeve $\circ$ paraqet pasqyrimin identik të bashkësisë $A$ . Vërtet, ngase:

$\scriptstyle{=}$ dhe $\scriptstyle{=}$ ,

dhe

$\circ$ .(...42)

[redaktoni] Teorema për n pasqyrime

Le të jenë $f:A\toB$ , $g:B\toC$ dhe $h:C\toD$ tri pasqyrime. Shumëzimi i pasqyrimeve $f, g$ dhe $h$ është veprim asociativ :

$\circ$ (...43)

Vërtetim : Transformojmë anën e djathtë të formulës (43) :

$\circ$

Relacioni i fundit vërteton pohimin e teoremës.

Shumëzimi i pasqyrimeve

Nga Wikibooks

Tabela e përmbajtjeve

[redaktoni] Përkufizimi i shumëzimit

[redaktoni] Veprimi jokomutative

[redaktoni] Vetit

[redaktoni] Pasqyrimi identik

[redaktoni] Teorema për n pasqyrime

Shikime

Mjete vetjake

Shfleto

Print/export

Kërko

Mjete