Unaza, Trupi dhe Fusha

Nga Wikibooks

Shko te: navigacion, kërko
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme
Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare
Grupi

Unaza, Trupi dhe Fusha
  • Kuptimi i tyre
       Krahas me grupin, tri struktura tjera të rëndësishme të matematikës bashkëkohore janë: unaza, trupi dhe fusha.
       P ë r k u f i z i m i  7.1. - Unazë quhet bashkësia jo e zbrazët A në të. cilën janë të përkufizuara dy veprime binare \oplus, \odot, të quajtura mbledhje dhe shumëzim, ku:
       (1) (A, \oplus) është grup abelian,
       (2) (A, \odot) është grupoid; dhe
       (3) shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes.
       Unaza shënohet me simbolin (A, \oplus, \odot) .
       Kur ky përkufizim zbërthehet, del se bashkësia jo e zbrazët A lidhur me veprimet binare \oplus, \odot quhet unazë, nëse plotësohen këto shtatë kushte:
       {c1) (\scriptstyle{ \forall }a, b\scriptstyle \inA)(\scriptstyle{ \exists ! }c\scriptstyle \inA) a\oplusb\scriptstyle{=}c ;
       (c2) (\scriptstyle{ \forall }a, b\scriptstyle \in A) a \oplusb\scriptstyle{=}b \oplusa ;
       {c3) (\scriptstyle{ \forall }a, b, c \scriptstyle \in A) (a \oplus b) \oplus c \scriptstyle{=} a \oplus(b \oplus c) ;
       (c4) (\scriptstyle{ \exists ! }0\scriptstyle \inA) a\oplus0\scriptstyle{=}0\oplusa\scriptstyle{=}a\scriptstyle{ \forall }a\scriptstyle \inA ;
       (c5) (\scriptstyle{ \forall }a\scriptstyle \in A) (\scriptstyle{ \exists ! } (-a)\scriptstyle \in A) a \oplus (-a)\scriptstyle{=}(-a) \oplus a\scriptstyle{=}0 ;
       (c6) (\scriptstyle{ \forall }a, b\scriptstyle \inA)(\scriptstyle{ \exists ! }c\scriptstyle \inA) a\odotb\scriptstyle{=}c ; dhe
       (c7) (\scriptstyle{ \forall }a,b,c\scriptstyle \inA) a\odot(b\oplusc)\scriptstyle{=}a\odotb\oplusa\odotc ,
        (b\oplusc)\odota\scriptstyle{=}b\odota\oplusc\odota .
       Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të unazës. Siç shihet unaza (A, \oplus, \odot) lidhur me mbledhjen është grup aditiv abelian, ndërkaq lidhur me shumëzimin grupoid multiplikativ, ku njëherazi shumëzimi është distributiv (nga e majta dhe nga e djathta) ndaj mbledhjes.
       Unaza (A, \oplus, \odot) quhet asociative, nëse shumëzimi është asociativ: a \odot (b \odot c)\scriptstyle{=}(a \odot b) \odot c , ndërsa quhet komutative, nëse shumëzimi është komutativ: a \odot b\scriptstyle{=}b \odot a . Kur shumëzimi \odot është asociativ dhe komutativ, (A, \oplus, \odot) quhet unazë asociative-komutative.
       P.sh.: (\scriptstyle \mathbb{Z}, +, .), (\scriptstyle \mathbb{Q}, +, .) dhe (\scriptstyle \mathbb{R}, +, .) janë unaza asociative-komutative, ndërsa (\scriptstyle \mathbb{N}, +, .) nuk është unazë.
       S h e m b u l l i  24. -  Të tregohet se bashkësia A\scriptstyle{=}{0, 1, 2, 3, 4, 5} në lidhje me mbledhjen dhe shumëzimin sipas modulit 6 është unazë asociative-komutative.
       Z g j i d h j e : Meqenëse plotësohen kushtet:
       (1) (A, +6) është grup aditiv,
       (2) (A, .6) është semigrup,
       (3) Shumëzimi sipas modulit 6 është veprim distributiv ndaj mbledhjes sipas modulit 6, dhe
       (4) Shumëzimi sipas modulit 6 është komutativ,
andaj konkludojmë se (A, +6,.6) është unazë asociative-komutative.
       Nga aksiomat e unazës (c1) - (c7) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të unazës:
       V e t i a 1. - Në çdo unazë (A, \oplus, \odot) vlen kjo rregull e lirimit prej kllapave:
(a\oplus b)\odot(c\oplus d)\scriptstyle{=}a\odotc\oplusb\odotc\oplusa\odotd\oplusb\odotd.
       V e t i a 2. - Në secilën unazë (A, \oplus, \odot) ekziston veprimi i zbritjes, si veprim i kundërt i mbledhjes, meqë unaza është grup abelian lidhur me mbledhjen.
       V e t i a 3. - Në secilën unazë (A, \oplus, \odot) shumëzimi është veprim distributiv ndaj zbritjes, pra:
       
 (\scriptstyle{ \forall }a, b, c\scriptstyle \inA) a \odot (b-c)\scriptstyle{=}a \odot b-a \odot c,

(b-c) \odot a\scriptstyle{=}b \odot a-c \odot a.
       V e t i a 4. - Kur njëri prej faktorëve të shumëzimit të unazës (A, \oplus, \odot) është i barabartë me zero, atëherë edhe prodhimi është zero, d.m.th.:
(\scriptstyle{ \forall }a \scriptstyle \in A) a \odot 0\scriptstyle{=}0 \odot a\scriptstyle{=}0 .
       V e t i a 5. - Në çdo unazë (A, \oplus, \odot) për shumëzimin vlejnë këto rregulla për parashenja:
       (1) (-a) \odot b\scriptstyle{=} -a \odotb, (2) a \odot (-b)\scriptstyle{=} -a \odotb, (3) (-a) \odot (-b)\scriptstyle{=}a \odot b.
       V e t i a 6. - Asnjë unazë (A, \oplus, \odot) nuk e përmban elementin invers për zeron (0\scriptstyle \inA) lidhur me shumëzimin.
       Sipas kësaj vetie del se unaza (A, \oplus, \odot) asnjëherë nuk mund të jetë grup lidhur me shumëzimin, meqenëse për elementin 0 nuk ekziston elementi invers. Mirëpo, nëse bashkësia e të gjitha elementeve jo të barabarta me zero të unazës është grup lidhur me shumëzimin, unaza e tillë quhet trup. Pra:
       P ë r k u f i z i m i  7.2. - Unaza asociative (A, \oplus, \odot) quhet trup, nëse (A1, \odot) është grup, ku A1\scriptstyle{=}A\{0} .
       P ë r k u f i z i m i  7.3. - Trupi (A, \oplus, \odot) quhet fushë, nëse shumëzimi është veprim komutativ.
       Pra, në fushën (A, \oplus, \odot) të dy veprimet \oplus, \odot janë komutative.
       Kur këto dy përkufizime zbërthehen del se bashkësia jo e zbrazët A lidhur me dy veprime binare \oplus, \odot quhet trup, respektivisht fushë, kur sistemit të kushteve (c1) - (c7) i shtohen edhe tri, respektivisht katër kushte:
       (c8) (\scriptstyle{ \forall }a, c \scriptstyle \in A) a \odot (b \odot c)\scriptstyle{=}(a \odot b) \odot c ;
       (c9) (\scriptstyle{ \exists ! }e\scriptstyle \inA) a\odote\scriptstyle{=}e\odota\scriptstyle{=}a, \scriptstyle{ \forall }a\scriptstyle \inA :
       (c10) (\scriptstyle{ \forall }a\scriptstyle \inA, a \scriptstyle { \neq }0)(\scriptstyle{ \exists ! }a-1\scriptstyle \inA) a\odota-1\scriptstyle{=}a-1\odota\scriptstyle{=}e ;
       (c11) (\scriptstyle{ \forall }a, b\scriptstyle \in A) a \odot b\scriptstyle{=}b \odot a .
       Kushtet (c1) - (c1o), (c1) - (c11) formojnë sistemin e aksiomave të trupit, përkatësisht të fushës.
       P.sh.: (\scriptstyle \mathbb{Q},+,•) dhe (\scriptstyle \mathbb{R}, +,•) janë fusha, ndërsa (\scriptstyle \mathbb{Z}, +,•) nuk është fushë, sepse (\scriptstyle \mathbb{Z},•) nuk është grup.
Marrë nga "http://sq.wikibooks.org/wiki/Unaza,_Trupi_dhe_Fusha"