Veprimet me gjykime

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Konceptet dhe simbolet e logjikës matematike Gjykimet Gjykimet dhe llojet e gjykimeve Veprimet me gjykime Negacioni i gjykimit Konjuksioni i gjykimeve Disjunksioni i gjykimeve Implikacioni i gjykimeve Ekuivalenca e gjykimeve Ligjet e logjikës se gjykimeve Kuantifikatorët Bashkësitë Relacionet Pasqyrimet Veprimet binare Grupi Unaza, Trupi dhe Fusha

Gjykimet e përbëra rëndom formohen prej gjykimeve të thjeshta me ndihmen e fjalëve: „jo", „dhe", „ose", „nëse . . . , atëhere . . ." , „atëhere e vetëm atëherë" . Këto fjalë-shprehje quhen lidhëza logjike . Duke përdorur lidhëzat logjike në gjykime kryhen operacione apo veprime themelore logjike. Kuptohet se secili gjykim i ri që formohet prej gjykimeve të dhëna me anën e veprimeve themelore logjike e ka vlerën e vet të saktësisë. Saktësia e gjykimit të përftuar varet vetëm prej saktësisë së gjykimeve që atë e formojnë . Pikërisht kjo varësi shgyrtohet në algjebrën e gjykimeve, meqë asaj nuk i interesojnë përmbajtjet e gjykimeve të formuara, por vetëm vlera e saktësisë së tyre.

Duhet theksuar se me negacionin, konjuksionin dhe disjunksionin mund të lidhen në mes tyre dy gjykime çfarëdo, plotësisht të pavarura, kurse në implikacionin e gjykimeve vlera e saktësisë së gjykimit të parë mund të influencojë në vlerën e saktësisë së gjykimit tjetër.

Negacioni i gjykimit

Veprimi më i thjeshtë logjik që përdoret në gjykime është negacioni (mohimi), të cilit, në gjuhën e zakonshme, i përgjigjet fjalëza „jo" (ose shprehja „nuk është" ).

Përkufizimi

Negacioni i gjykimit ${p}$ quhet gjykimi ${\lnot }$ ${p}$ (lexo : jo p ose nuk është p) i cili është i saktë, respektivisht jo i saktë kur gjykimi ${p}$ është jo i saktë, respektivisht i saktë.

Simboli

Simboli $\lnot$ është shenja e negacionit.

Tabela e saktësisë

Sipas përkufizimit del se tabela e saktësisë së negacionit duket kështu:

${\begin{array}{c|c}v(p)&v(\lnot p)\\\hline \top &\bot \\\bot &\top \\\end{array}}$

Shembuj

Le të jenë dhënë gjykimet :

$p\!:\!1\in \mathbb {N} ,\ q\!:\!35\vdots 3,\ r\!:\!5>7,\ s\!:\!{1,2,3,4}\!=\!{2,4,1,3}$ .

---

Negacionet e tyre janë gjykimet :

$\lnot p\!:\!1\in \mathbb {N} ,\ \lnot q\!:\!35\not \vdots 3,\ \lnot r\!:\!5<7,\ \lnot s\!:\!{1,2,3,4}\neq {2,4,1,3}$,

e vlerat e saktësisë së tyre:

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}v(p)&\lnot p&v(q)&v(\lnot q)&v(r)&v(\lnot r)&v(s)&v(\lnot s)\\\hline \top &\bot &\bot &\top &\bot &\bot &\top &\bot \\\end{array}}$

Vetitë

Negacioni ( $\lnot$ ) është një veprim unar në bashkësinë e gjykimeve, meqë me atë çdo gjykimi $p$, me vlerë të caktuar të saktësisë, i shoqërohet gjykimi i përbërë $\lnot p$ me vlerë të kundërt të saktësisë . Në pajtim me këtë del se negacioni i gjykimit $\lnot p$, d.m.th. $\lnot$ ( $\lnot p)$ është $p$, andaj $v(\lnot (\lnot p))=v(p)$.

Ligji i negacionit të dyfishtë

Pra, gjykimet i ( $\lnot p),p$ kanë një vlerë të njëjtë të saktësisë. Gjykime të këtilla quhen ekuivalente dhe shënohen me simbolin e ekuivalencës $\Leftrightarrow$ :

$\lnot (\lnot p)\Leftrightarrow p$

Kjo formulë shpreh të ashtuquajturën ligj i negacionit të dyfishtë .

Konjuksioni i gjykimeve

Kur gjykimi i përbërë formohet prej dy (ose më shumë) gjykimeve çfarëdo me ndihmën e lidhëzëz „dhe", thuhet se ajo lidhëz e përcakton veprimin logjik që quhet konjuksion.

Përkufizimi

Konjuksioni i dy gjykimeve $p,q$ quhet gjykimi $p\land q$ (lexo : p dhe q),i cili është i saktë kur janë të sakta të dy gjykimet $p,q$.

Simboli

Simboli $\land$ është shenja e konjuksionit.

Tabela e saktësisë

Tabela e saktësisë së konjuksionit duket kështu :

${\begin{array}{cc|c}v(p)&v(q)&v(p\land q)\\\hline \top &\top &\top \\\top &\bot &\bot \\\bot &\bot &\bot \\\bot &\top &\bot \\\end{array}}$

Meqë vlerat e saktësisë së gjykimeve $p,q$ mund të jenë $\top$ ose $\bot$, tabela e saktësisë së konjuksionit mund të shkruhet më shkurt kështu :

${\begin{array}{c|cc}\land &\top &\bot \\\hline \top &\top &\bot \\\bot &\bot &\bot \\\end{array}}$

Shembuj

• Le të jenë $p,q$ këto dy gjykime
  $p$ : Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë të barabarta ; dhe
  $q$ : Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë paralele.

  ---

Konjuksioni i tyre do të jetë :
$p\land q$ : Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë të barabarta dhe paralele.

• Le të jenë gjykimet : p : (15,7)$\scriptstyle {=}$1 dhe q :1 > - 2. Të formohet konjuksioni dhe të gjendet vlera e tij e saktesise.

  ---

$p\land q:(15,7)=1\land 1>-2,\ v(p\land q)=\top$, sepse $v((15,7)=1)=\top$ dhe $v(1>-2)=\top$ ...............................?

Vetitë

Konjuksioni është një veprim binar, megë lidh dy gjykime dhe si rezultat jep një gjykim të tretë, konjuksionin e tyre.

Ligji i idempotencës dhe komutacionit

Përkufizimi i konjuksionit të dy gjykimeve lehtë mund të zgjerohet edhe në rastin e $n$ gjykimeve $(n\in \mathbb {N} ,n\leqslant 2)$. Prej përkufizimit të konjuksionit dalin këto dy ligje të rëndësishme të logjikës së gjykimeve:

$p\land q\Leftrightarrow p$ , dhe $p\land q\Leftrightarrow q\land p$

ligji i idempotencës dhe ai i komutacionit . Saktësinë e tyre e provojmë duke formuar tabelën e saktësisë për secilën formulë. P.sh. për të provuar ligjin e komutacionit formojmë këtë tabelë :

${\begin{array}{cc|cc}p&q&p\land q&q\land p\\\hline \top &\top &\oplus &\oplus \\\top &\bot &\ominus &\ominus \\\bot &\top &\ominus &\ominus \\\bot &\bot &\ominus &\ominus \\\end{array}}$

Vlerat e rrethuara në dy shtyllat e fundit të tabelës tregojnë se gjykimet $p\land q,q\land p$ kanë një vlerë të njëjtë të saktësisë, andaj themi se janë ekuivalente.

Disjunksioni i gjykimeve

Kur gjykimi përbërë formohet prej dy gjykimeve çfarëdo me ndihëmen e lidhëzës „ose" thuhet se ajo lidhëz përcakton veprimin logjik që quhet disjunkston. Mirëpo, në gjuhën e zakonshme lidhëzja "ose" i ka dy kuptime - kuptimin inkluziv dhe atë eksluziv - , andaj duhet dalluar dy raste të posaçme të disjunksionit - disjunksionin e thjeshtë (zakonshëm, inkluziv) dhe disjunksionin ekskluziv (rigoroz). Lidhëzja "ose" perdoret në kuptimin inklu:ziv, kur nuk përjashtohet mundësia e saktësisë së njëkohshme e të dy gjykimeve, kurse ajo përdoret në kuptimin ekskluziv pikërisht kur përjashtohet ajo mundësi. Kështu b.f. në gjykimin e përbërë : "Trekëndëshi $ABC$ është kënddrejtë ose dybrinjënjëshëm", lidhëzja „ose" e ka kuptimin inkluziv, sepse trekëndëshi në fjalë $ABC$ në të vërtetë mund të jetë :

• a₁ kënddrejtë e brinjëndryshëm,
• a₂ këndpjerrët e dybrinjënjëshëm, ose
• a₃ kënddrejtë e dybrinjënjëshëm.

Pra, këtu nuk përjashtohet mundësia që trekëndëshi në fjalë të jetë njëherit edhe kënddrejtë edhe i dybrinjënjëshëm . Ndërkaq, në gjykimin „Numri natyral $n$ është çift ose tek", lidhëzja ,,ose" ka kuptimin ekskluziv - këtu përjashtohet mundësia që numri në fjalë n të jetë njëherit edhe çift edhe tek. Pra, kuptimi ekskluziv i lidhëzës "ose" në të vërtetë e ka domethënien "ose . . . . . . ose".

Përkufizimi

       P ë r k u f i z i m i  1.2.3.1. - Disjunksioni (inkluziv) i dy gjykimeve p, q quhet gjykimi p$\scriptstyle \lor$q (lexo : p ose q ). i cili është i saktë kur është i saktë së paku njëri nga gjykimet p, q.

Simboli

Simboli $\vee$ është shenja e disjunksionit.

Tabela e saktësisë

Tabela e saktësisë së disjunksionit duket kështu :

${\begin{array}{c|c||c}v(p)&v(p)&v(p\vee q)\\\hline \top &\top &\top \\\top &\bot &\top \\\bot &\top &\top \\\bot &\bot &\bot \\\end{array}}$

ose shkurt

${\begin{array}{c|cc}\vee &\top &\bot \\\hline \top &\top &\bot \\\bot &\bot &\top \\\end{array}}$

Shembuj

• Të provohet barazia $v(\lnot (p\vee q))=v(\lnot p\vee \lnot q)$.

  ---

Barazinë e dhënë e provojmë duke formuar tabelën:

${\begin{array}{c|c|c||c|c|c||c}p&q&p\vee q&\lnot \lbrace p\vee q\rbrace &\lnot p&\lnot q&\lnot p\land \lnot q\\\hline \top &\top &\top &\oplus &\bot &\bot &\ominus \\\top &\bot &\top &\oplus &\bot &\top &\ominus \\\bot &\top &\top &\oplus &\top &\bot &\ominus \\\bot &\bot &\bot &\oplus &\top &\top &\oplus \\\end{array}}$

       Vlerat e rrethuara , në shtyllën e katërt dhe në atë të fundit të tabelës tregojnë se barazimi i dhënë është i saktë.

Vetitë

Kuptohet, edhe disjunksioni është veprim binar, ku vlen ligji i idempotencës dhe i komutacionit:

$p\vee q\Leftrightarrow p,p\vee q\Leftrightarrow q\vee p$.

Disjunksioni ekskuziv

Simboli

Simboli $\veebar$ është shenja e disjunkstonit ekskluziv.

Tabela e saktësisë

Tabela e saktësisë është

${\begin{array}{c|c||c}v(p)&v(p)&v(p\veebar q)\\\hline \top &\top &\bot \\\top &\bot &\top \\\bot &\top &\top \\\bot &\bot &\bot \\\end{array}}$

ose shkurt

${\begin{array}{c|cc}\veebar &\top &\bot \\\hline \top &\bot &\bot \\\bot &\bot &\top \\\end{array}}$

Implikacioni i gjykimeve

Kur gjykimi i përbërë formohet prej dy gjykimeve tjera me ndihmën e lidhëzës "nëse . . . , atëherë . . .", thuhet se ajo lidhëz e përcakton veprimin logjik që quhet implikacion. Gjykimi që pason pas fjalës "nëse" quhet supozim (hipotezë, premisë), ndërsa gjykimi pas fjalës "atëherë" quhet konkluzion (tezë, pasojë). Kuptohet, hipoteza është fundamenti në të cilën rëndom bazohet konkluzioni. Kështu është rasti, p .sh. në implikacionet :

$p:\mathrm {N{\ddot {e}}se} \ n\in \mathbb {N} ,\ \mathrm {at{\ddot {e}}her{\ddot {e}}} \ n^{2}\in \mathbb {N}$;

$q:\mathrm {N{\ddot {e}}se} \ a<0\ \mathrm {dhe} \ b<0,\ \mathrm {at{\ddot {e}}her{\ddot {e}}} \ a\cdot b>0$;

$r:\mathrm {N{\ddot {e}}se} \ n=5,\ \mathrm {at{\ddot {e}}her{\ddot {e}}} \ (n^{2}+5n-1)\vdots 7$;

$s:\mathrm {N{\ddot {e}}se} \ x=6,\ \mathrm {at{\ddot {e}}her{\ddot {e}}} \ \log(3x^{2}-8)=2$.

Përkufizimi

       P ë r k u f i z i m i  1.2.4.1. - Implikacioni i dy gjykimeve p, q quhet gjykimi p $\scriptstyle {\Rightarrow }$ q (lexo : nëse p, atëherë q ose nga p rrjedh q ose p implikon q), i cili është jo i saktë kur p është i saktë e q jo i saktë.

Simboli

Simboli $\Rightarrow$ është shenja e implikacionit.

Tabela e saktësisë

Tabela e saktësisë së implikacionit është:

${\begin{array}{c|c||c}v(p)&v(p)&v(p\Rightarrow q)\\\hline \top &\top &\top \\\top &\bot &\bot \\\bot &\top &\top \\\bot &\bot &\top \\\end{array}}$

ose shkurt

${\begin{array}{c|cc}\Rightarrow &\top &\bot \\\hline \top &\top &\bot \\\bot &\top &\top \\\end{array}}$

Shembuj

• Le të jenë gjykimet : $p:{\sqrt {2}}=1,5$ dhe $q:\pi \approx 3,14$. Të caktohen saktësisë e implikacioneve : $p\Rightarrow q,p\Rightarrow \lnot q,q\Rightarrow p,q\Rightarrow \lnot p$

  ---

Meqë $v(p)=\bot ,v(q)=\top$ do të kemi: $v(p\Rightarrow q)=\top ,v(p\Rightarrow \lnot q)=\top ,v(q\Rightarrow p)=\bot ,v(q\Rightarrow \lnot p)=\top$

• Le të jenë p, q këto dy gjykime:

$p:\mathrm {Numri\ natyral} \ n\ \mathrm {plotpjes{\ddot {e}}tohet\ me} \ 10;$

$q:\mathrm {Numri\ natyral} \ n\ \mathrm {plotpjes{\ddot {e}}tohet\ me} \ 5.$

---

Implikacioni i tyre do të jetë :

$p\Rightarrow q$: Nëse $n\vdots 10$, atëherë $n\vdots 5$.

Vetitë

Kuptohet, këtu vlera e saktësisë së gjykimit $q$ varet prej saktësisë së gjykimit $p$. Nga ky shembull mund të vërehet edhe fakti se implikacioni është një veprim binar jokumutativ, sepse në rastin e përgjithshëm

$v(p\Rightarrow q)\neq q\Rightarrow p)$

Për implikacionin $p\Rightarrow q$, implikacioni $q\Rightarrow p$ quhet i anasjelltë.

Konsekuenca

Rast i veçantë i implikacionit është konsekuenca - kur prej gjykimit $p$ logjikisht rrjedh gjykimi $q$, i cili është i saktë vetëm kur $p$ është i saktë . Raste të këtilla paraqiten në mes të teoremave matematike dhe konsekuencave të tyre, sikurse edhe në mes të supozimeve të teoremave dhe konkludimeve të tyre. Në këto raste implikacioni $p\Rightarrow q$ lexohet edhe kështu : $p$ është kusht i mjaftueshëm për $q;q$ është kusht i nevojshëm për $p;q$ është rrjedhim i $q$ ; etj. Fakti se prej gjykimit $p$ logjikisht nuk rrjedh gjykimi $q$, shënohet $p\not \Rightarrow q$.

Shembuj

Le të jetë gjykimi $p:a>0\land b>0$ .

---

Si konsekuencë e gjykimit $p$ mund të nxirret gjykimi $q:ab>0$ , d.m.th. :

$a>0\land b>0\Rightarrow ab>0$.

Mirëpo, e anasjellta nuk vlen $(q\not \Rightarrow p)$, sepse $q$ është vetëm kusht i nevojshëm (por jo i mjaftueshëm) për $p$, pra :

$ab>0\not \Rightarrow a>0\land b>0$.

Ekuivalenca e gjykimeve

Kur gjykimi i përbërë formohet nga dy (ose më shumë) gjykime të tjera me ndihmën e fjalëve (shprehjeve) „nëse dhe vetëm nëse", „atëherë dhe vetëm atëherë", „e nevojshme dhe e mjaftueshme", thuhet se përcaktohet me veprimin e ekuivalencës.

Përkufizimi

       P ë r k u f i z i m i  1.2.5.1. - Ekuivalenca e gjykimeve p, q quhet gjykimi p$\scriptstyle \Leftrightarrow$q (lexo : p ekuivalent q), i cili është i saktë kur të dy gjykimet p, q janë të sakta ose janë jo të sakta.

Simboli

Simboli $\Leftrightarrow$ është shenja e ekuivalencës.

Tabela e saktësisë

Tabela e saktësisë se ekuivalencës është :

${\begin{array}{c|c||c}v(p)&v(p)&v(p\Leftrightarrow q)\\\hline \top &\top &\top \\\top &\bot &\bot \\\bot &\top &\bot \\\bot &\bot &\top \\\end{array}}$

ose shkurt

${\begin{array}{c|cc}\Leftrightarrow &\top &\bot \\\hline \top &\top &\bot \\\bot &\bot &\top \\\end{array}}$

Vetitë

Kur krahasohen tabelat e saktësisë së implikacioneve $p\Rightarrow q,q\Rightarrow p$ dhe e ekuivalencës $p\Leftrightarrow q$ , lehtë mund të shihet ligji logjik, i cili shpreh lidhjen në mes këtyre gjykimeve:

$(p\Leftrightarrow q)(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow p)$

respektivisht del:

${\begin{array}{c|c||c|c||c|c}v(p)&v(q)&v(p\Rightarrow q)&v(q\Rightarrow p)&v(p\Rightarrow q)\land v(q\Rightarrow p)&v(q\Leftrightarrow p)\\\hline \top &\top &\top &\top &\oplus &\oplus \\\top &\bot &\bot &\top &\ominus &\ominus \\\bot &\top &\top &\bot &\ominus &\ominus \\\bot &\bot &\top &\top &\oplus &\oplus \\\end{array}}$

Pra, ekuivalenca $p\Leftrightarrow q$ në të vërtetë është implikacion i dyfishtë $(p\Rightarrow q,q\Rightarrow p)$ , andaj ajo është veprim binar komutativ.

Shembuj

Nëse $x_{1},x_{2}$ janë zerot e trinomit $t(x)=ax_{2}+bx+c,a\neq 0$ (d.m.th. $t(x_{1})=0,t(x_{2})=0)$ , atëherë gjykimet $p:x_{1}\neq x_{2}$ dhe $q:b^{2}-4ac\neq 0$ janë ekuivalente:

$x_{1}\neq x_{2}\Leftrightarrow b^{2}-4ac\neq 0$ ,

sepse : $p\Rightarrow q\ {\text{dhe}}\ q\Rightarrow p$ .

---