Kuantifikatorët

Nga Wikibooks

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Konceptet dhe simbolet e logjikës matematike
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare
Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Kemi përmendur se me metodën e zëvendësimit funksionet e gjykimeve $F_1(x), F_2(x, y), F_3(x, y, z),\ldots$ shndërrohen në gjykime . Mirëpo, tani do të shohim se ato shndërrohen në gjykime edhe duke përdorur kuantifikatorët $\forall$ dhe $\exist$ , të cilëve u përgjigjen fjalët "çdo" ("secili") dhe "ekziston" ("ndonjë" , "së paku një"). Simboli $\forall$ quhet kuantifikator universal (i përgjithshëm), ndërkaq $\exist$ kuantifikator i ekzistimit.

Të marrim, për shembull, këto funksione gjykimesh :

(a₁) Çdo dy numra natyralë të njëpasnjëshëm janë relativisht të thjeshtë ;
(a₁) Shuma e çdo dy numrave natyralë është numër natyral ;
(a₁) Ndonjë numër natyral është zgjidhja e inekuacionit $2 x + 5 < 12$ ;
(a₁) Për secilin numër të plotë mund të gjendet së paku një numër tjetër i plotë, ashtu që shuma a tyre të jetë $5$ .

Kur në këto funksione gjykimesh përdorim kunatifikatorët $\forall$ dhe $\exist$ ato marrin trajtën e formulave :

(a₁) $( \forall x \in \mathbb{N} )\ (x,x+1) = 1$ ;
(a₁) $( \forall x \in \mathbb{N} )\ ( \forall y \in \mathbb{N} ) x+y \in \mathbb{N}\ \text{ose}\ ( \forall x,y \in \mathbb{N})\ x+y \in \mathbb{N}$ ;
(a₁) $( \exist x \in \mathbb{N} )\ 2x+5<12$ ;
(a₁) $( \forall x \in \mathbb{Z} )\ ( \exist y \in \mathbb{Z} ) x+y = 5$ ;

të cilat në të vërtetë janë gjykime të sakta.

Prej këtyre shembujve mund të konkludojmë se në përgjithësi për të shndërruar funksionet e gjykimeve $F 1 (x), F 2 (x, y), F 3 (x, y, z)$ në gjykime duhet të përdoren aq kuantifikatorë, sa variabla përmbajnë ato funksione. Kështu funksioni $F (x, y)$ shndërrohet në gjykim në këto raste :

{1) $( \forall x,y)\ F(x,y)$ ;
(2) $( \exist x )\ (\forall y) F(x,y)$ ;
(3) $( \exist y )\ (\forall x) F(x,y)$ ;
(4) $( \exist x,y )\ F(x,y)$ .

Të përmendim se shpesh përdoret edhe një kuantifikator i posaçëm i ekzistimit - kuantifikatori i ekzistimit ekskluziv i cili shënohet me $\exist !$ dhe lexohet : ekziston vetëm një. Kështu p.sh . në gjykimet :

(1) $(\exist !x \in \mathbb{N})\ 2x + 7 < 10$ ,
(2) $( \forall x,y \in \mathbb{Z} )(\exist !z \in \mathbb{Z})\ x + y + z = 1$

posaçërisht theksohet se ekziston vetëm një numër natyral, respektivisht vetëm një numër i plotë i cili e plotëson relacionin përkatës, d.m.th. për të cilin formula përkatëse bëhet gjykim i saktë. E dimë se vlera e panjohurës $x$ për të cilën ekuacioni (barazimi) $f (x) = 0$ , respektivisht inekuacioni (jobarazimi) $f (x) < 0$ bëhet gjykim i saktë quhet zgjidhja (ose rrënja) e ekuacionit, respektivisht inekuacionit.

[redaktoni] Çdo

[redaktoni] Ekziston

[redaktoni] Eziston vetëm një

Kuantifikatorët

Nga Wikibooks

[redaktoni] Çdo

[redaktoni] Ekziston

[redaktoni] Eziston vetëm një

Shikime

Mjete vetjake

Shfleto

Print/export

Kërko

Mjete