Grupi dhe nëngrupi

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

ska

Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :

Përkufizimi

Semigrupi (A, $\circ$ ) që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element a $\scriptstyle \in$ A ekziston elementi invers a^-1 $\scriptstyle \in$ A.

Sistemi i aksiomave të grupit

Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët $A$ lidhur me veprimin binar $\circ$ është grup, nëse plotësohen këto kushte :

(a₁) Bashkësia $A$ është e mbyllur lidhur me veprimin binar $\circ$ , pra:

$(\forall a,b\in A)(\exists !c\in A)a\circ b=c$ ;

(a₂) Veprimi binar $\circ$ është asociativ, pra :

$(\forall a,b,c\in A)(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ ;

(a₃) Në bashkësinë $A$ ekziston elementi neutral për veprimin binar $\circ$ , pra :

$(\exists !e\in A)(\forall a\in A)a\circ e=e\circ a=a$ ; dhe

(a₄) Për secilin element $a\in A$ ekziston elementi invers $a^{-1}\in A$ ashtu që :

$a\circ a^{1}=a^{-1}\circ a=e$ .

Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.

Llojet e grupit

Nëse veprimi binar $\circ$ është komutativ, $(A,\circ )\!$ quhet grup komutativ ose abelian. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, $(A,+)\!$ , respektivisht $(A,\cdot )\!$ quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.

P.sh. grupe aditive janë : $(\mathbb {Q} ,+),(\mathbb {R} ,+),(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,+)$ , ndërkaq grupe multiplikative janë : $(\mathbb {Q} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace ,\cdot ),(\mathbb {R} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace ,\cdot ),(A,\cdot )$ ku $A=\left\lbrace -1,1,-i,i\right\rbrace \!$ . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.

Grupi aditiv dhe multiplikativ

P.sh.: Të tregohet se bashkësia $A=\left\lbrace 0,1,2,3,4\right\rbrace$ në lidhje me mbledhjen sipas $\mathrm {modulit} \ 5\!$ është grup aditiv $(A,+_{5})\!$ , kurse bashkësia $B=\left\lbrace 1,2,3,4,5,6\right\rbrace$ në lidhje me shumëzimin, sipas $\mathrm {modulit} \ 7\!$ , është grup multiplikativ $(B,\cdot _{7})\!$ .

Zgjidhje: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas $\mathrm {modulit} \ 5\!$ , respektivisht $7\!$ duket kështu: ${\begin{array}{c|cccccccc}+_{5}&0&1&2&3&4\\\hline 0&0&1&2&3&4\\1&1&2&3&4&0\\2&2&3&4&0&1\\3&3&4&0&1&2\\4&4&0&1&2&3\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cccccccc}+_{7}&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&1&2&3&4&5&6\\2&2&3&4&5&6&1\\3&3&4&5&6&1&2\\4&4&5&6&1&2&3\\5&5&6&1&2&3&4\\6&6&1&2&3&4&5\\\end{array}}$

Nga këto tabela shihet se:

(1) $(A,+_{5})\!$ është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas $\mathrm {modulit} \ 5\!$:

${\begin{array}{l|cccccccc}\mathrm {Elementi} &0&1&2&3&4\\\hline \mathrm {Elem.\ i\ kund{\ddot {e}}rt} &4&3&2&1&0\end{array}}$

(2) $(B,\cdot _{7})$ është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas $\mathrm {modulit} \ 7\!$ :

${\begin{array}{l|cccccccc}\mathrm {Elementi} &1&2&3&4&5&6\\\hline \mathrm {Elem.\ invers} &1&4&5&2&3&6\end{array}}$

Veprimet në grup

Në përgjithësi, kur në grupin $(A,\circ )$ :

- veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit $\circ$ përdoret simboli $\oplus$ , atëherë $(A,\oplus )$ quhet grup aditiv ; ndërsa kur

- veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit $\circ$ përdoret simboli $\odot$ , atëherë $(A,\odot )$ quhet grup multiplikativ.

Për grupin aditiv (A, $\oplus$ ) elementi neutral shënohet me 0 , kurse elementi invers (i kundërt) me - a .

       S h e m b u l l i  20. -  - Të tregohet se bashkësia $A=(a,b)|a\in \mathbb {Z} ,\ b\in \mathbb {Z}$ në lidhje me veprimin $\oplus$ të përkufizuar me formulën :

$(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)$

është grup (A, $\oplus$ ) .

       Z g j i d h j e : : Meqë bashkësia A në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :

(a₁) ${\begin{array}{l}(\forall (a,b),\ (c,d)\in A)(\exists !\ (e,f)\in A)\\(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,\ b+d)=(e,f)\\\end{array}}$

(a₂) ${\begin{array}{rl}(\forall (a,b),\ (c,d),\ (e,f)\in A)&\\(a,b)\oplus [(c,d)\oplus (e,f)]&=(a,b)\oplus (c+e,d+f)\\&=(a+c+e,b+d+f)\\&=(a+c,b+d)\oplus (e,f)\\&=[(a,b)\oplus (c,d)\oplus (e,f)]\\\end{array}}$

(a₃) ${\begin{array}{l}(\forall (a,b)\in A)(\exists !\ (0,0)\in A)\\(a,b)\oplus (0,0)=(0,0)\oplus (a,b)=(a,b)\\\end{array}}$ dhe

(a₄) ${\begin{array}{l}(\forall (a,b)\in A)(\exists !\ (-a,-b)\in A)\\(a,b)\oplus (-a,-b)=(-a,-b)\oplus (a,b)=(0,0)\\\end{array}}$

konkludojmë se $(A,\oplus )$ është grup aditiv.

Grupi i fundëm dhe i pafundëm

Grupi $(A,\oplus )$ quhet i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia $A$ a është fundme apo e pafundme.

Përkufizimi

Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit a $\scriptstyle \in$ A , i tillë që me përsëritjen e veprimit $\circ$ në a riprodhohen të gjitha elementet e bashkësisë A.

Elementi përlindës

       Elementi i tillë a quhet përlindëse e grupit (A, $\circ$).

       S h e m b u l l i  21 -  Grupi (A, •), ku A=${\Big \{}\scriptstyle {1,}\textstyle {{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}}$ ${\Big \}}$ është grup ciklik me dy përlindëse:$\textstyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$ dhe $\textstyle {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}$.Vërtet: ${\Big (}\textstyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}{\Big )}^{2}=\textstyle {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}},{\Big (}\textstyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}{\Big )}^{3}=1,{\Big (}\textstyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}{\Big )}^{4}=\textstyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},$ etj.

Vetit e grupit

Prej aksiomave (a₁) - (a₄) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të grupit:

Vetia e elementit invers

       V e t i a 1.-Nëse në grupin (A, $\circ$) a^-1 është element invers i elementit a, edhe elementi a është invers për elementin a^-1 , d.m.th. (a^-1)^-1 =a.

Kjo veti për grupin aditiv (A, $\oplus$) ka këtë trajtë: -(-a)=a.

Vetia e rrënjës

       V e t i a 2.- Në grupin (A, $\circ$) secili barazim

(1) a$\circ$x=b,2) y$\circ$a=b

ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën . x = a^-1 $\circ$ b, kurse për barazimin (2) trajtën y = b $\circ$ a^-1 .

       Për grupin aditiv abelian {{mate|(A, $\oplus$) barazimet

a $\oplus$ x=b dhe y $\oplus$ a=b

kanë një zgjidhje të përbashkët: x=y=(-a) $\oplus$ b=b $\oplus$ (-a)=b-a.

Vetit e implikuacioneve

       V e t i a 3.- Në grupin (A, $\circ$) vlejnë këto implikacione:

a $\circ$ b = a$\oplus$c$\scriptstyle {\Rightarrow }$ b=c, b$\circ$a=c$\circ$a$\scriptstyle {\Rightarrow }$ b = c.

       Në grupin aditiv abelian (A, $\oplus$) vlen implikacioni

a $\oplus$ b=a $\oplus$ c$\scriptstyle {\Rightarrow }$ b=c.

Vetia e vlerfshmëris së barazimit

       V e t i a 4.- Në secilin grup (A, $\oplus$) vlen barazia:

(a$\circ$b)^-1=b^-1$\circ$a^-1 .

Në grupin aditiv abelian (A, $\oplus$) kjo veti shprehet me formulën:

-(a $\oplus$ b)=(-a) $\oplus$ (-b).

Nëngrupi

Le të jetë (A, $\circ$) grup.

Përkufizimi

Nënbashkësia jo e zbrazët A₁ bashkësisë A quhet nëngrup i grupit (A, $\circ$) në qoftë se A₁ është grup lidhur me veprimin e përkufizuar $\circ$ në A dhe shënohet (A ₁, $\circ$) (A, $\circ$).

Nëngrupet triviale dhe jotriviale

Secili grup (A, $\circ$) përmban së paku dy nëngrupe - vetë grupin (A, $\circ$) dhe nëngrupin ({e}, $\circ$), ku e është element neutral. Këto nëngrupe quhen nëngrupe triviale të grupit (A, $\circ$). Nëse grupi (A, $\circ$) përmban edhe nëngrupe tjera (A_k, k=1, 2, ... , n, ato quhen nëngrupe jotriviale (nëngrupe të vërteta) të grupit (A, $\circ$) dhe shënohen (A_k, $\circ$) < (A, $\circ$).

       Që të jetë (A₁ , $\circ$ < (A, $\circ$) duhet të plotësohen këto tri kushte:

       (b₁) A ₁ A $\scriptstyle \land$ e $\scriptstyle \in$ A ¹ , ku e është element neutral;

       (b₂) ($\scriptstyle {\forall }$ a,b $\scriptstyle \in$ A₁)a $\circ$ b $\scriptstyle \in$ A₁ dhe;

       (b₃) ($\scriptstyle {\forall }$ a $\scriptstyle \in$ A₁)$\scriptstyle {\exists !}$ a^-1 $\scriptstyle \in$ A₁ i tilllë që a $\circ$ a^-1 = a^-1 $\circ$ a = e .

       Saktësia e këtij pohimi rrjedh drejtpërdrejti nga përkufizimet 6.1. dhe 6.3.

       Për shembull:

       (1) (A₁ ,< (A, $\circ$) , ku A = { - 1, 1, - i, i}, A₁ = { -1, 1} , meqë plotësohen kushtet (b₁) - (b₃)  ;

       (2) ($\scriptstyle \mathbb {Z}$ ,, + )<($\scriptstyle \mathbb {Q}$, +) , sepse

       (b₁) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ $\scriptstyle \mathbb {Q}$ , 0 $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$  ;

       (b₂) ($\scriptstyle {\forall }$ a, b $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$) a + b $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$ , dhe

       (b₃) ($\scriptstyle {\forall }$ a $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$) a^-1 = (-a)$\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$  ; i tillë që a+(-a)= 0 ;

       (3) (A,.)<($\scriptstyle \mathbb {R}$ \{0},.) , ku A = {a+b $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ - $\scriptstyle \mid$ a $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Q}$ , b $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Q}$ $\scriptstyle \land$ a+b $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ $\scriptstyle {\neq }$ 0} ,

sepse:

       (b₁) A $\scriptstyle \mathbb {R}$ \.{0}, 1 $\scriptstyle \in$ A;

       (b₂) ($\scriptstyle {\forall }$ a+b $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ , c + d $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ $\scriptstyle \in$ A) (a+b $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$) (c+d $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$)= p+q $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ $\scriptstyle \in$ A ,

dhe

       (b₃) ($\scriptstyle {\forall }$ a+b $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ $\scriptstyle \in$ A) a^-1 =$\textstyle \mathrm {{\frac {a}{a^{2}-3b^{2}}}+{\frac {-b}{a^{2}-3b^{2}}}}$ $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ = r + s $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {3}}}$ $\scriptstyle \in$ A, i tillë

që a • a^-1 = 1 .

       S h e m b u l l i  22 -  Të tregohet se bashkësi A = {p₁ , p₂ , ... p₆ } ku:

        p₁ = ${\Bigl (}{\begin{matrix}\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} \\\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} \end{matrix}}{\Bigr )}$, p₂ = ${\Bigl (}{\begin{matrix}\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} \\\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {c} &\scriptstyle \mathbf {b} \end{matrix}}{\Bigr )}$, p₃ = ${\Bigl (}{\begin{matrix}\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} \\\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {c} \end{matrix}}{\Bigr )}$,

       

        p₄ = ${\Bigl (}{\begin{matrix}\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} \\\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} &\scriptstyle \mathbf {a} \end{matrix}}{\Bigr )}$, p₅ = ${\Bigl (}{\begin{matrix}\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} \\\scriptstyle \mathbf {c} &\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} \end{matrix}}{\Bigr )}$, p₆ = ${\Bigl (}{\begin{matrix}\scriptstyle \mathbf {a} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {c} \\\scriptstyle \mathbf {c} &\scriptstyle \mathbf {b} &\scriptstyle \mathbf {b} \end{matrix}}{\Bigr )}$,

në lidhje me shumëzimin e pasqyrimeve $\circ$ është grup (A, $\circ$) . Të caktohen të gjitha nëngrupet jotriviale të grupit (A, $\circ$) .

       Z g j i d h j e : Formojmë tabelën e shumëzimit të pasqyrimeve:

$\circ$		p1   p2   p3   p4   p5   p6
p1	p1   p2   p3   p4   p5   p6
p2	p2   p3   p4   p5   p6   p1
p3	p3   p4   p5   p6   p1   p2
p4	p4   p5   p6   p1   p2   p3
p5	p5   p6   p1   p2   p3   p4
p6	p6   p1   p2   p3   p4   p5

       Nga kjo tabelë shihet se plotësohen të katër aksiomat e grupit, ku p₁ është element neutral, kurse për secilin element të bashkësisë A ekziston elementi invers në lidhje me veprimin $\circ$  :

	Elementi	p1    p2    p3   p4    p5    p6
	Elem. i invers	p1    p2    p3   p4    p5    p6

andaj (A, $\circ$) është grup.

       Nëngrupet jotriviale të grupit (A, $\circ$) janë: (A₁, $\circ$), (A₂, $\circ$), (A₃, $\circ$) dhe (A₄,$\circ$ ) ku: A₁={p₁, p₂}, A₂={p₁, p₃}, A₃={p₁, p₆} dhe A₄={p₁, p₄, p₆ }

Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit

       Le të jenë (A, $\circ$), (B, $*$ ) dy grupe dhe h:A→B pasqyrimi bashkësisë i A në bashkësinë B. Thuhet se grupet (A, $\circ$ ) dhe (B, $*$ ) janë homomorfe, kurse pasqyrimi h homorfizëm i grupit (A, $\circ$) në grupin (B, $*$ ) , nëse (fig. 1.17.):

($\scriptstyle {\forall }$a, b $\scriptstyle \in$ A) h (a $\circ$ b) = h (a) $*$ h (b) .(...51)

       Kur h (A)=B, h quhet homomorfizëm i grupit (A, $\circ$) mbi grupin (B, $*$) ose homomorfizëm surjektiv apo epimorfizëm (fig. 1.18.).

Fig. 1.18. Fig. 1.17.

       Nëse e dhe e' janë elementet neutrale të grupeve homomorfe (A, $\circ$) dhe (B, $*$), atëherë kemi:

h (a) = h (a $\circ$ e) = h (a) $*$ h (e)	${\Big \}}$ h (e) = e',
h (a) = h (e $\circ$ a) = h (e) $*$ h (a)

çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit (A, $\circ$) është element neutral i grupit (B, $*$).

       T e o r e m a  6.1.1. -  Nëse h₁ është homomorfizëm i (A, $\circ$₁) në (B, $\circ$₂) dhe h₂ homomorfizëm i (B, $\circ$₂) në (C, $\circ$₃), shumëzimi h₂$\circ$ h₁ është homomorfizëm i (A, $\circ$₁) në (C, $\circ$₃).

       V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës kemi:

	(1) ($\scriptstyle {\forall }$a, b$\scriptstyle \in$A) h1 (a$\circ$1 b) .	=h1(a)$\circ$2 h1(b) =a'$\circ$2 b', ku a' = h 1 (a), b'=h1 (b);
	(2) ($\scriptstyle {\forall }$a', b'$\scriptstyle \in$ B) h2 (a'$\circ$2 b')	=h2(a')$\circ$3 h2 (b') =h2 [h1(a)] $\circ$3 h2 [h1 (b)] =(h2$\circ$ h1) (a) $\circ$3 (h2 $\circ$ h1) (b).

       Duke shfrytëzuar këto formula marrim:

($\scriptstyle {\forall }$a, b$\scriptstyle \in$ A) (h2 $\circ$ h1) (a $\circ$1 b)

=h2 [h1 (a $\circ$1 b)] =h2 [h1 (a)$\circ$2 h1 (b)] =h2 [h1 (a) $\circ$3 h2 h1 (b)] = (h2 $\circ$ h 1) (a) $\circ$3 (h2 $\circ$ h1) (b)

dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.

       Homomorfizmi injektiv i grupit (A, $\circ$) në grupin (B, $*$) quhet izomorfizëm i (A, $\circ$) në (B, $*$) (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi h është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i (A, $\circ$) mbi (B, $*$) quhet izomorfizëm i (A, $\circ$) mbi (B, $*$) dhe thuhet se grupet (A, $\circ$) , (B, $*$) janë izomorfe ndërmjet tyre.

       Të konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.

Fig. 1.20.

       T e o r e m a  6.1.2. -  Nëse i₁ është izomorfizëm i grupit (A, $\circ$₁) mbi grupin (B, $\circ$₂) dhe i₂ izomorfizëm i (B, $\circ$₂) mbi (C, $\circ$₃) , shumëzimi i₂ $\circ$ i₁ është izomorfizëm i grupit (A, $\circ$₁) mbi grupin (C, $\circ$₃) .

       Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo !

       S h e m b u l l i  23. -  Të shohim grupet ($\scriptstyle \mathbb {R}$+, .), ($\scriptstyle \mathbb {R}$, +) dhe h:$\scriptstyle \mathbb {R}$+→$\scriptstyle \mathbb {R}$ pasqyrimin e $\scriptstyle \mathbb {R}$+ në $\scriptstyle \mathbb {R}$ që përcaktohet me formulën:

h:x→y= log x, $\scriptstyle {\forall }$x$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {R}$⁺ .

       Meqë vlen:

($\scriptstyle {\forall }$x₁, x₂ $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {R}$⁺) log (x₁ • x₂)= log x₁ +log x₂ ,

themi se (R⁺,.), (R, +) janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi h homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi h është izomorfizëm.

Ëig. 1.19.