Grupi dhe nëngrupi

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

ska

Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :

Përkufizimi

Semigrupi (A, $\circ$ ) që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element a $\scriptstyle \in$ A ekziston elementi invers a^-1 $\scriptstyle \in$ A.

Sistemi i aksiomave të grupit

Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët $A$ lidhur me veprimin binar $\circ$ është grup, nëse plotësohen këto kushte :

(a₁) Bashkësia $A$ është e mbyllur lidhur me veprimin binar $\circ$ , pra:

$(\forall a,b\in A)(\exists !c\in A)a\circ b=c$ ;

(a₂) Veprimi binar $\circ$ është asociativ, pra :

$(\forall a,b,c\in A)(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ ;

(a₃) Në bashkësinë $A$ ekziston elementi neutral për veprimin binar $\circ$ , pra :

$(\exists !e\in A)(\forall a\in A)a\circ e=e\circ a=a$ ; dhe

(a₄) Për secilin element $a\in A$ ekziston elementi invers $a^{-1}\in A$ ashtu që :

$a\circ a^{1}=a^{-1}\circ a=e$ .

Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.

Llojet e grupit

Nëse veprimi binar $\circ$ është komutativ, $(A,\circ )\!$ quhet grup komutativ ose abelian. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, $(A,+)\!$ , respektivisht $(A,\cdot )\!$ quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.

P.sh. grupe aditive janë : $(\mathbb {Q} ,+),(\mathbb {R} ,+),(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,+)$ , ndërkaq grupe multiplikative janë : $(\mathbb {Q} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace ,\cdot ),(\mathbb {R} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace ,\cdot ),(A,\cdot )$ ku $A=\left\lbrace -1,1,-i,i\right\rbrace \!$ . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.

Grupi aditiv dhe multiplikativ

P.sh.: Të tregohet se bashkësia $A=\left\lbrace 0,1,2,3,4\right\rbrace$ në lidhje me mbledhjen sipas $\mathrm {modulit} \ 5\!$ është grup aditiv $(A,+_{5})\!$ , kurse bashkësia $B=\left\lbrace 1,2,3,4,5,6\right\rbrace$ në lidhje me shumëzimin, sipas $\mathrm {modulit} \ 7\!$ , është grup multiplikativ $(B,\cdot _{7})\!$ .

Zgjidhje: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas $\mathrm {modulit} \ 5\!$ , respektivisht $7\!$ duket kështu: ${\begin{array}{c|cccccccc}+_{5}&0&1&2&3&4\\\hline 0&0&1&2&3&4\\1&1&2&3&4&0\\2&2&3&4&0&1\\3&3&4&0&1&2\\4&4&0&1&2&3\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cccccccc}+_{7}&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&1&2&3&4&5&6\\2&2&3&4&5&6&1\\3&3&4&5&6&1&2\\4&4&5&6&1&2&3\\5&5&6&1&2&3&4\\6&6&1&2&3&4&5\\\end{array}}$

Nga këto tabela shihet se:

(1) $(A,+_{5})\!$ është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas $\mathrm {modulit} \ 5\!$:

${\begin{array}{l|cccccccc}\mathrm {Elementi} &0&1&2&3&4\\\hline \mathrm {Elem.\ i\ kund{\ddot {e}}rt} &4&3&2&1&0\end{array}}$

(2) $(B,\cdot _{7})$ është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas $\mathrm {modulit} \ 7\!$ :

${\begin{array}{l|cccccccc}\mathrm {Elementi} &1&2&3&4&5&6\\\hline \mathrm {Elem.\ invers} &1&4&5&2&3&6\end{array}}$

Veprimet në grup

Në përgjithësi, kur në grupin $(A,\circ )$ :

- veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit $\circ$ përdoret simboli $\oplus$ , atëherë $(A,\oplus )$ quhet grup aditiv ; ndërsa kur

- veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit $\circ$ përdoret simboli $\odot$ , atëherë $(A,\odot )$ quhet grup multiplikativ.

Për grupin aditiv (A, $\oplus$ ) elementi neutral shënohet me 0 , kurse elementi invers (i kundërt) me - a .

       S h e m b u l l i  20. -  - Të tregohet se bashkësia $A=(a,b)|a\in \mathbb {Z} ,\ b\in \mathbb {Z}$ në lidhje me veprimin $\oplus$ të përkufizuar me formulën :

$(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)$

është grup (A, $\oplus$ ) .

       Z g j i d h j e : : Meqë bashkësia A në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :

(a₁) ${\begin{array}{l}(\forall (a,b),\ (c,d)\in A)(\exists !\ (e,f)\in A)\\(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,\ b+d)=(e,f)\\\end{array}}$

(a₂) ${\begin{array}{rl}(\forall (a,b),\ (c,d),\ (e,f)\in A)&\\(a,b)\oplus [(c,d)\oplus (e,f)]&=(a,b)\oplus (c+e,d+f)\\&=(a+c+e,b+d+f)\\&=(a+c,b+d)\oplus (e,f)\\&=[(a,b)\oplus (c,d)\oplus (e,f)]\\\end{array}}$

(a₃) ${\begin{array}{l}(\forall (a,b)\in A)(\exists !\ (0,0)\in A)\\(a,b)\oplus (0,0)=(0,0)\oplus (a,b)=(a,b)\\\end{array}}$ dhe

(a₄) ${\begin{array}{l}(\forall (a,b)\in A)(\exists !\ (-a,-b)\in A)\\(a,b)\oplus (-a,-b)=(-a,-b)\oplus (a,b)=(0,0)\\\end{array}}$

konkludojmë se $(A,\oplus )$ është grup aditiv.

Grupi i fundëm dhe i pafundëm

Grupi $(A,\oplus )$ quhet i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia $A$ a është fundme apo e pafundme.

Përkufizimi

Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit a $\scriptstyle \in$ A , i tillë që me përsëritjen e veprimit $\circ$ në a riprodhohen të gjitha elementet e bashkësisë A.