Gjeometria/Hyrje

Cfare eshte shkolla ???

Nievelet e rezonimit

Modeli Van Hiele konsiston në eksistencën e 5 nivele të rezonimit, që mund të haset në ndonjë botim në ekzistencën e 4 (katër) nieveleve duke injoruar nivelin e pestë. Ndërkaq, niveli i pestë i rezonimit përcakton nivelin më të lartë të të rëzonuarit matematik i cili nivel është për studimet e larta shkencore në gjeometri. Është me rëndësi të theksohet se ende nuk ekziston një unanimitet lidhur me emërtimin e këtyre niveleve. Derisa konsiderohen nivelet nga 0 deri në 4 e disa të tjerë nga 1 deri në 5, nga niveli 1 konsiderohet si niveli fillestar.

• Niveli 1 (Të verejturit)

Karakteristikë e të rezonuarit të nivelit të parë është: - Përceptim global i figurave: në përshkrimin e posicioneve të figurave (sidomos në rrafsh) përfshihen atribute jo të rëndësishme. - Perceptim individual i figurave: Çdo figurë konsiderohet si një objekt pavarsisht nga figurat tjera të të njejtës klasë. Nuk përgjithsohen karakteristikat e një figure me të te figurave tjera të të njejtës klasë. - Përshkrim i figurave i bazuar kryesisht në aspektet fizike dhe pozitën në hapësirë. Njohja, dallimi dhe klasifikimi bazohen në ngjashmëritë fizike të përgjithshme. - Përshkrime të shpeshta në bazë të ngjashmërisë me objekte tjera, jo domosdo matematike, si p.sh. “sikur ...” ose “e ka formën e...” - Përdorim i vetive jo të sakta për identifikim, krahasim, renditje, apo karakterizim të figurave zakonisht duke iu referuar prototipeve vizuale. - Fjalor themelor dhe i thjeshtë për të folur për figura dhe për të shkruar për to. - Nuk praktikohet të vërejturit eksplicit i pjesëve të figurës të cilat e përbëjnë atë dhe as vetitë e tyre. Nëse vërehen ato, atëherë elementet dhe vetitë nuk kan rol qëndror dhe shpeshherë reflektojnë kontradiksione. Si shembull ilustrativ mund të marrim aktivitetin në të cilën kërkohet nga nxënësit nëse identifikojnë dallimin ndërmjet katrorit dhe drejtëkëndëshit.

Figura 1. Katrori dhe drejtëkëndëshi Në raste të tilla, zakonisht nxënësit këto dy figura i klasifikojnë si të ndryshme. Pra është fjala për aftësinë njohëse në lidhje me formën e katrorit dhe drejtëkëndëshit, edhe pse ende nuk janë të aftë të bëjnë një analizë të arsyeshme për të spjeguar dallimin ndërmjet katrorit si drejtëkëndësh më katër brinjë të barabarta. 5

Niveli 2 (Analiza) Nxënësit të cilët arrijnë nivelin e dytë të rezonimit karakteriziohen me aftësinë si në vijim: - Të vërejturit se figura gjeometrike përbëhet nga pjesët apo elementet dhe kan veti matematike. Bëhet përshkrimi i pjesëve që përbëjnë figurën dhe ceken disa nga vetitë e tyre. Posedon aftësinë e analizimit të vetive matematike të figurave. - Deduksion i vetive me anë të eksperimentimit. Aftësia e përgjithësimit të atyre vetive për të gjitha figurat nga e njëjta familje. - Përkufizimi i një koncepti qëndron në theksimin e një vargu të vetive. Në këtë mënyrë përjashtohen përkufizimet (definicionet) e dhëna nga mësimdhënësi apo nga teksti dhe pranohet i veti në rast se ka kundërshti. - Nuk ndërlidhen vetitë e ndryshme të të njejtës figurë apo ndërmjet figurave të ndryshme. Nuk vendosen klasifikime në bazë të relacioneve të vetive dhe nuk realizohen klasifikime përfshirëse. - Të vërtetuarit e një vetie realizohet me anë të të provuarit në disa pak raste.

Ata që janë të aftë të identifikojnë (njohin) koncpetin gjeometrik, ata mund të bëjnë edhe përshkrimin e një vargu të karakteristikave të atij koncepti. Nëse marrim shembullin e katrorit, ata mund të rendisin vetitë karakteristike të katrorit siç janë: Katrori

• Ka katër brinjë
• Brinjët e barabarta
• Ka katër kënde
• Këndet e barabarta
• Diagonalet e barabarta
• Ka katër boshte të simetrisë

Logjike—matematike: Numrimi i planeteve dhe i staliteve, krijimi i bazës së të dhënave,… Deduksioni, Induksioni, Analiza dhe sinteza Matematike Estetika dhe frymëzimi në matematikën e pastër dhe matematikën e aplikuar (EMR) Matematika del natyrshëm në trajtimin e llojeve të ndryshme të problemeve. Së pari këto u gjetën në tregti, matjen e tokës, në arkitekturë dhe më vonë në astronomi ; në ditët e sotme, të gjitha shkencat merren me problemet të studiuara nga matematikanët, dhe shumë probleme lindin vetë në matematikë. Për shembull, fizikanti Richard Feynman shpiku metodën e integralit të shtegjeve në mekanikën kuantike duke përdorur një kombinim të arsyetimit matematikor dhe depërtimit fizik të problemit, në ditët e sotme teoria e fijeve, një teori ende në zhvillim e cila përpiqet për bashkimin e katër forcave themelore të natyrës, vazhdon të frymëzojë degë të reja në matematikë.[1] Disa metoda matematike janë të vlefshme vetëm në zonat përkatëse që i dhanë shkas asaj metode, dhe mund të aplikohen për të zgjidhur problemet më tej në atë fushë. Por shpesh matematika e frymëzuar nga një fushë e caktuar del të jetë e dobishme në shumë fusha të tjera, bashkuar me koncepte të tjera matematikore. Një dallim bëhet shpesh mes matematikës së pastër (e quajtur thjesh matematikë) dhe matematikës së aplikuar. Megjithatë tema nga matematika shpesh gjejnë aplikime direkte, p.sh. teoria e numrave në kriptografi. Fakti që edhe matematika më e "pastër" shpesh rezulton të ketë aplikime praktike është ajo që Eugene Wigner e ka quajtur "Efektshmëria e paarsyeshme e Matematikës në shkencat natyrore".[2] Si në shumicën e fushave të studimit, shpërthimi i njohurive në epokën shkencore ka çuar në specializime: tani ka qindra fusha të specializuara në matematikë.[3] Disa fusha të matematikës së aplikuar janë bashkuar me disiplina të lidhura jashtë matematikës, gjë që i ka çuar këto që të bëhen disiplinat më vete, duke përfshirë degë si Statistika, operacionet kërkimore, dhe shkenca kompjuterike. Për ata që janë të prirur matematikisht, shpesh ka një aspekt të caktuar estetik mbi shumë tipare të matematikës. Shumë matematikanë flasin për hijeshinë e matematikës, estetikën e shfaqur dhe bukurinë e brendshme të saj. Thjeshtësia dhe përgjithësimi janë parime tepër të vlerësuara. Bukuria duket në një provë të thjeshtë dhe elegante, të tilla si prova e Euklidit që provon se ka një numër pafundësisht të madh numrash të thjeshtë, dhe në një metodë numerike elegante që përshpejton llogaritje, të tilla si transformimi i shpejtë i Furierit. G. H. Hardy në Apologjia e matematikanit shprehu besimin se këto konsiderata estetike janë, në vetvete, të mjaftueshme për të justifikuar matematikën e pastër. Ai identifikoi kritere të tilla si rëndësia, papritshmëria, pashmangshmëria, dhe ekonomia e ideve si faktorët që kontribuojnë në një estetikë matematikore.[4] Wikipedia shqip.Sq Figura 3

Gjeometria elementare

Gjeometria është një ndër shkencat më të vjetra. Në kohët e vjetra ajo merrej vetëm me shqyrtimin e formave dhe të madhësive hapësinore të objekteve të botës reale. Megjithate, krahas zhvillimive te civilizimit njerezor, zhvillohen edhe njohuritë gjeometrike. Gjeometria, është zhvilluar nga nevojat praktike të jetës së përditshme. Dihet nga historia për tokat e plleshme buzë lumit Nil. Pastaj për rritjen dhe vërshimet periodike të tij në çdo pranverë, që kanë shkaktuar zhdukjen e kufijve ndërmjet pronave të ndryshme. Nevoja që pas vërshimeve të caktoheshin përsëri kufijtë e vjetër, ka bërë që të matej toka. Provë për këtë na shërbejnë dy papiruse të ruajtura në të cilat gjejmë formulat e sakta dhe të përafërta për llogaritjen e syprinave dhe të vëllimeve. Më vonë, grekët i trashëguan dituritë gjeometrike nga egjiptianët. Vetë fjala gjeometri rrjedh prej fjalëve greke: geo – tokë dhe metria – matje, pra në kuptimin formal gjeometri do të thotë matje toke. Njohuritë gjeometrike në Egjiptin e vjetër janë fituar në mënyrë empirike. Por, në Greqinë e vjetër, shkencëtarët grekë zbuluan metodën deduktive apo aksiomatike të trajtimit të gjeometrisë (Talesi, Pitagora, etj). Ndërmjet shekujve VI dhe III p.e.s., në shoqërine greke bëhet hap i madh dhe vendimtar duke i dhënë emprizimit karakterin shkencor. Kështu, në këtë kohë, Talesit i bashkohen emrat e dijetartëve të njohur grek si Pitagora, Herakliti i Efesit,Hipokrati i Kios, Eudoxi, Euklidi, Arkimedi, Apoloni, etj. Rezultatet ishin të shumta, metodat e reja të çasjes problemeve ishin brilante ndërsa shkalla e abstraksionit e shkëlqyeshme. Shqyrtimi i njohurive gjeometrike kaloi nga maestrot te shkencëtarët e mirëfilltë. Çasja në njohuritë gjeometrike tani ishte një pçështje e vokacionit dhe e studimit dhe jo çështje e rastit dhe nevojave parciale. Në këtë kohë, librat më të njohur dhe më të rëndësishëm ishin libra e veprës “ELEMENTET” e Euklidit të cilët përdoreshin nga nxënësit e Euklidit, në Aleksandri. Euklidi përfshin pjesë të madhe të njohurive gjeometrike të asaj kohe duke mos u kufizuar vetëm në mbledhjen dhe redaktimin e tyre por duke i strukturuar të gjitha ato njohuri në formën logjike-deduktive: koncepte themelore, postulate, aksioma, teorema etj. Në këtë mënyrë Gjeometria arrin rangun universal. Vepra “Elementet” konsolidohen në libra “definitiv”, prestigji dhe përdorimi i të cilave nuk vie në pyetje gjat dy mileniumeve të ardhshme të zhvillimit të civilizimit njerezor. Vepra „Elementet“ paraqet një ndër veprat më të rëndësishme të njerëzisë.

Disa karakteristika të gjeometrisë euklidiane

Së pari, vepra e Euklidit “ Elementet” bëri krijimin e gjeometrisë në një disciplinë shkecore e cila në fakt bënë përshkrimin shkencor të realitetit. Së dyti, priviligjohen transformacionet izometrike (në formë të çvendosjes së figurave). Së treti, përdoret një gjuhë sintetike pavarsisht nga llogaritjet efektive aritmetike. Këto aspekte (edhe pse brillante) të gjeometrisë euklidiane, paraqesin njëkohësisht edhe limtacionet e saj: egzistojnë fenomene dhe paraqitje të pazgjidhura në gjeometrinë euklidiane, dhe për këtë arsye lajmërohet një “ndarje” nga nga Aritmetika dhe në një mënyrë edhe nga matjet praktike. Gjeometria formon modelin e madh të Rigorizitetit, duke ia imponuar ate (rigorizitetin) edhe fushave të njohurive tjera. Të mësuarit e gjeometrisë përqëndrohet më tepër në të rezonuarit deduktiv korrekt se sa në zbatueshmëri apo në reprezentim. Në këtë kohë, Gjeometria dhe Aritmetika përbënin fushat e padiskutueshme të çdo formimi akademik të shoqërisë. Të gjitha këto rezulatet të dijes, i trashëgoi Perandoria Romake e cila i trashëgoi këto dituri dhe i shpërndau ato fillimisht nëpër manastiret dhe oborret mretërore të mesjetës. Përkthimi i veprës “Elementet” nga greqishtja në latinisht, luajti një rol esencial në shpërndarjen e njohurive gjeometrike në Evropë, e të cilat do të përsosen në epokën e Rilindjes (Renesanca). Në botën árabe kemi një kahje tjetër të zhvillimit të njohurive. Atje u zhvillua disiplina tjetër – Aritmetika, e cila përparoi në drejtim të algjebrizimit, ndërsa kemi një zhvillim të shquar të njohurive empirike gjeometrike për përfitimin e figurave artistike. Edhe sot vërejmë vepra artzanale të mozaikeve (sidomos në objektet fetare) të cilat paraqesin një bazë të mirë për krijimtari shkencore në të ardhmen.

Gjeometria dhe aritmetika

Gjeometria dhe aritmetika Vepra “Elementet” shquhet edhe për faktin se bëri një “ndarje” të kjartë të njohurive në njohuri gjeometrike dhe aritmetike. Gjat zhvillimeve të mëvonshme, dallojmë zhvillimet e shekullit XVI kur nëpërmjet artit, i cili shërbeu si motor i zhvillimeve në gjeometri me anë të reprezentimeve artistike dhe perspektives (Dezargue), zënë fill gjeometria projektive dhe gjeometria deskriptive. Gjeometria Deskriptive përqëndrohet në aspektet grafike, ndërsa ajo projektive në modelet grafike. Pak kohë më vonë, metodat artistike shëndrrohen në themele të një gjeometrie të re e cila do të shërbejë për konstruktime dhe fortifikime – gjeometria Analitike e Descartit. Gjeometrisë Analitike i nevojiten llogaritje efektive së bashku me përshkrime sintetike të formave dhe transformimeve. Në këtë kohë, kemi aritmetizimin e gjeometrisë: numrat dhe elementet gjeometrike integrohen në një diskurs perfekt e cila i hapi rrugë një progresi të algjebrizimit të gjeometrisë. Tani u fitua bindja se nuk ka dallim ndërmjet Aritmetikës dhe Gjeometrisë. Por, me kohë u konstatua se egziston një debat ndërmjet të mësuarit klasik të bazuar në veprën “Elementet” dhe tendencës më të hapur në koncepcionet e reja të kohës. Perspektiva e ardhme e zhvillimeve gjeometrike shfqet me anë të zgjidhjeve apo tendencave për zgjidhjen e problemeve të identifikuara gjat kohës, ku paraqiten: gjeometria diferenciale, gjeometria joeuklidiane, etj. Në fund te shekullit XIX dhe fillimin e shekullit XX, është matematikani Felix Klein i cili promovoi iden e tij të famshme (Programi Erlangen) mbi përkufizimin unifikues të gjeometrisë: gjeometria është një hapësirë (drejtëza, rrafshi, hapësira tridimenzionale, sipërfaqet, etj.) dhe transformacionet të cilat mundësojnë të klasifikojmë figurat (figurat ekuivalente do të jenë ato të cilat mund të kalojnë nga njëra te tjetra, me anë të ndonjë transformacioni të caktuar). Zhvillimet e mëpastajme në gjeometri gjat gjith shkeullit XX ishin bartëse e zhvillimeve të rëndësishme të matematikës. Me gjithë këto zhvillime, vlen të theksojmë edhe idetë e kreatorëve të “Matematikës moderne” (Jean Dieudonne,). Në vitin 1959, Dieudonne apeloi “posht Euklidi!” duke dasht të promovoi idenë e zëvëndësimit të të mësuarit klasik të matematikës me çështje të cilat i adaptohen nevojave te kohës (pjesa e dyte e shkeullit XX). Gjeometria moderne bazohet në teorinë e bashkësive, prandaj edhe figurat gjeometrike konsiderohen si bashkësi të pikave. Megjithate, çka ndodhi? Matematika Moderne, lartësoi pikërisht kultivimin e rigorizitetit dhe konstruktimet formale të koncepteve matematike. Në fakt, Matematika moderne ishte një propozim i lindur nga matematikantët te e cila absolutisht mungonte senzibilizmi arsimor. Por mësuam diqka interesante: se si nuk duhet bërë një reformë dhe kush nuk duhet t’i udhëheqë ato. Konsekuencat e matematikës Moderne mund të hasen edhe në ditet e sotme ne disa vende të botes. Në vitin 1995 ICMI (International Commission on Mathematical Instruction), promovoi studimin “Perspektivat e mësimdhënies së gjeometrisë në shekullin XXI”, lidhur me rëndësinë e gjeometrisë në mësimdhënien e matematikës. Jan zhvilluar shume materiale përfhsirë edhe Sftware dhe Hardware të cilat janë përgatitur për të lehtësuar çfardo reprezentimi apo llogaritje numerike apo simbolike. Prandaj, kthesa më e madhe është: gjeometria duhet të kthehet në të gjitha orët mësimore.

Gjeometria shkollore

Aktualisht, mësimdhënia e gjeometrisë duhet të përfshijë shumë aspekte, e në mes tjerash duhet të përfshijë: Gjeometria si shkencë e hapësirës Gjeometria si metodë e vizualizimit të koncepteve dhe proceseve matematikore Gjeometria si pikëbashkimi në mes Matematikës si teori dhe matematikës si model. Trajtimi i secilit prej këtyre aspekteve, kërkon, nga pikëpamja arsimore, një formë specifike të mësimdhënies dhe një model të përshtatshëm të mësimnxënies së njohurive të gjeometrisë.

1. Gjeometria

Lidhje të jashtme

1. Matematika