Aksiomat e renditjes dhe incidencës

4.1. Aksiomat e incidencës

Kuptimi i relacionit është incident, përcaktohet me anë të grupit të parë të aksiomave – aksiomat e incidencës:

I1 Çdo drejtëz është incidente me së paku dy pika të ndryshme.
I2 Ekziston së paku një drejtëz incidente me dy pika të ndryshme.
I3 Ekziston më së shumti një drejtëz incidente me dy pika të ndryshme.
I4 Çdo rrafsh është incident me së paku 3 pika joincidente me një drejtëz.
I5 Ekziston së paku një rrafsh incident me tri pika joincidente me një drejtëz.
I6 Ekziston më së shumti një rrafsh incident me tri pika joincidente me një drejtëz.
I7 Nëse dy pika të ndryshme të një drejtëze janë incidente me një rrafsh, atëherë edhe drejtëza është incidente me atë rrafsh.
I8 Nëse dy rrafshe të ndryshme janë incidente me një pikë, atëherë ato rrafshe janë incidente edhe me së paku një pikë tjetër.
I9 Ekzistojnë katër pika joincidente me një rrafsh.

Faktin që pika A është incidente me drejtëzën a e shënojmë: Aa ose aA. Në të kundërtën shënojmë Aa. Drejtëzën e cila është incidente me pikat A dhe B e shënojmë (AB) dhe themi se ajo është e përcaktuar me pikat A dhe B. Pikat të cilat janë incidente me një drejtëz i quajmë pika kolineare. Në rastet e tjera quhen pika jokolineare. Pikat të cilat janë incidente me një rrafsh i quajmë pika koplanare. Po ashtu drejtëzat incidente me një rrafsh quhen drejtëza koplanare, gjithashtu edhe për pikat dhe drejtëzat incidente me të njëjtin rrafsh themi se janë koplanare. Në raset të tjera quhen pika dhe drejtëza jokoplanare. Në vazhdim do t`i formulojmë disa pohime të nxjerra, apo siç i kemi quajtur teorema, vërtetimi i të cilave mbështetet në aksiomat e incidences, duke i përdorur edhe rregullat e konkludimit të matematikës logjike. Teoremë 1. Ekziston një dhe vetëm një drejtëz incidente me dy pika të ndryshme A dhe B (fig.30). AB d Fig. 30 Vërtetim: Në mbështetje të aksiomës I2 ekziston së paku një drejtëz d incidente me pikat e dhëna A dhe B, ndërsa në bazë të aksiomës I3, ekziston më së shumti një drejtëz e tillë. Prandaj, përfundojmë se ekziston një dhe vetëm një drejtëz d incidente me dy pika të ndryshme A dhe B. Teoremë 2. Ekziston një dhe vetëm një rrafsh α incident me tri pika jokolineare A, B dhe C (fig. 31). Vërtetim: Në mbështetje të aksiomës I5 ekziston së paku një rrafsh α incident me pikat jokolineare A, B dhe C, ndërsa në mbështetje të aksiomës I6, ekziston më së shumti një rrafsh α incident me pikat jokolineare A, B dhe C. Prandaj, përfundojmë se ekziston një dhe vetëmnjë rrafsh α incident me tri pika jokolineare. Fig. 31

α
C
A B
3

Në bazë të këtyre aksiomave mund të vërtetohen edhe pohime-teorema të tjera gjeometrike. Tani po japim disa përkufizime të disa koncepteve të bazuara në konceptet dhe pohimet e deritashme. Përkufizim: Për dy drejtëza a dhe b themi se priten në një pikë O, në qoftë se kanë të përbashkët vetëm pikën O. (fig. 32).

0
a
b

Fig. 32 Simbolikisht shënojmë: ab = {O}

Përkufizim: Për dy rrafshe α dhe β themi se priten sipas një drejtëze d, në qoftëse kanë të përbashkët vetëm drejtëzën d. Simbolikisht e shënojmë α  β = d.

Për drejtëzën d themi se e depërton rrafshin α (ose rrafshi α e pret drejtëzën d) në një pikë O, në qoftë se drejtëza d dhe rrafshi α kanë vetëm pikën O të përbashkët.

Shembull: Le të jenë A, B, C, D katër pika koplanare për të cilat vlen – çdo tri prej këtyre pikave janë jokolineare. Sa drejtëza përcaktohen me anë të këtyre pikave?
Zgjidhje: Formojmë të gjitha bashkësitë dyelementëshe nga pikat A, B, C, D ato janë: {A,B}, {B,C}, {C,D}, {A,D}, {A,C} {B,D}. Meqenëse me anë të dy pikave përcaktohet një drejtëz, konstatojmë se me 4 pikat e dhëna përcaktohen 6 drejtëza të

ndryshme d(AB), d(BC), d(CD), d(AD), d(AC) dhe d(BD).

Shembull: Le të jenë A, B, C, D katër pika të ndryshme jokoplanarte. Sa është numri i rrafsheve që përcaktojnë ato pika?
Zgjidhje: Ngjashëm si në shembullin e mësipërm, formojmë të gjitha bashkësitë trielementëshe, të cilat gjithsej janë 4: {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D} dhe {B,C,D} të cilat përcaktojnë katër rrafshe rr(ABC), rr(ABD), rr(ACD), rr(BCD).
4.2. Aksiomat e renditjes dhe rrjedhimet
Aksiomat e renditjes në mënyrë implicite e përcaktojnë relacionin themelor “ndërmjet”.

Relacioni “ndërmjet” ka të bëjë gjithëmonë me pika kolineare. Kur pika B ndodhet ndërmjet pikave A dhe C, simbolikisht do ta shënojmë: A – B – C, ose C – B – A.

Aksiomate renditjes
Aksiomat e renditjes janë:
R1 Nëse A,B,C janë pika kolineare për të cilat vlen A – B – C, atëherë ato janë të ndryshme.
R2 Nëse A, B, C janë tri pika kolineare për të cilat vlen A – B – C, atëherë është C–B–A.
R3 Nëse A, B, C janë tri pika kolineare për të cilat vlen A–B–C, atëherë nuk vlen A–C–B.
R4 Nëse A dhe B janë dy pika të ndryshme të ndonjë drejtëze d, atëherë në drejtëzen d ekziston pika C për të cilat vlen A – B – C.
R5 Nëse A, B dhe C janë tri pika të ndryshme kolineare atëherë vlen së paku njëri prej relacioneve: A – B – C, A – C – B, C – A – B.
R6 (Aksioma e Pashit) Nëse A, B, C janë tri pika jokolineare dhe d drejtëz incidente me rrafshin (A,B,C), joincidente me pikën A dhe e pret drejtëzën (B,C) në pikën P ashtu që B – P – C, atëherë drejtëza d e pret drejtëzën (A,C) në pikën Q ashtu që A–Q–C (fig, 33), ose drejtëzën (A,B) në pikën Q ashtu që A–Q–B (fig. 34).

Fig 33 Fig. 34

Në vazhdim do t`i formulojmë vetëm disa pohime të nxjerra, apo siç i kemi quajtur teorema, vërtetimi i të cilave bazohet në aksiomat e renditjes.
Teorema 1. Nëse A, B, C janë tri pika të ndryshme kolineare, atëherë vlen një dhe vetëm një prej relacioneve:

A – B – C, A – C – B, C – A – B.

Vërtetimi: Meqenëse A, B, C, janë tri pika të ndryshme kolineare, në bazë të aksiomës R5 vlen së paku njëri prej relacioneve:

A – B – C, A – C – B, C – A – B.

Nëse vlen A – B – C, atëherë vlen edhe C – B – A.
Në bazë të aksiomës R3 nga relacioni C–B–A rrejdh se nuk vlen C–A–B.
Po ashtu, nëse A – B – C, atëherë nuk vlen A – C – B dhe C – A – B.

Në mënyrë analoge vërtetohet se nëse vlen A – C – B atëherë nuk vlen A – B – C dhe C – A – B.

Teorema 2. Nëse A dhe B janë dy pika të ndryshme, atëherë në drejtëzën e përcaktuar me pikat A dhe B ekziston pika C për të cilën vlen A – C – B.
Vërtetim: Nga I3 egziston pika D joincidente me drejtzën d(A,B).
Në bazë të aksiomës R4, egziston pika E incidente me drejtzën d(A,D) e tillë që A-D-E
Zbatojmë përsëri aksiomën R2, dhe kemi: egziston F incidente me drejtzën d(E,B) e tillë që E-B-F.
Drejtza d(D,F) nuk përmban asnjë nga pikat A,B,E, por përmban pikën D për të cilën vlen relacioni A-D-E.
Prandaj, në bazë të aksiomës së Pashit:
Ose C, Cd(D,F) e tillë që A-C-B
Ose C, Cd(D,F) e tillë që E-C-B
Në të kundërtën do të vlente: d(D,F)  d(E,B) = {C,F}
Por në bazë të aksiomave I1 dhe I2, drejtzat d(D,F) dhe d(C,F) do të përputheshin. Meqë ato janë të ndryshme, sepse Dd(D,F) dhe Dd(E,B), atëherë patjetër do të vlej rasti i pare, pra: C e tillë që A-C-B.
Nga teorema 2 rrjedh pohimi: Çdo drejtëz është incidente me pambarimisht shumë pika.
Teoremë: Nëse P-A-Q dhe P-A-R atëherë pika A nuk është ndërmjet pikave Q dhe R ((Q-A-R)).
Vërtetim:
Le të jetë B `pika joincidente me drejtzen d(A,Q), ndërsa C e tillë që (Q-B-C).
Atëherë pikat P,Q,C janë jokolineare. Drejtza d(A,B) përmban pikat A dhe B dhe vlen (P-A-Q) dhe (Q_B_C). Në bazë të aksiomës së Pashit, drejtza d(A;B) nuk përmban pikën e cila do të ishte ndërmjet pikave P dhe C.
Pikat R, P dhe C janë jokolineare. Drejtza d(A,B) përmban pikën A ashtuqë (P-A-R) por nuk e përmban pikën e cila do të ishte ndërmjet pikave P dhe C. Në bazë të aksiomës së Pashit, egziston pika D e tillë që:
Dd(A,B) dhe (C-D-R).
Nëse aksiomën e Pashit e zbatojmë për pikat joklonieare C,Q,R dhe drejtzën d(A,B), shohim se se kjo drejtzë nuk e përmban pikën e cila do të ishte ndërmjet pikave R dhe Q. Prandaj edhe për pikën A vlen (Q-A-R).
7
4.3. Gjysëmdrejtza dhe segmenti
Për të përkufizuar gjysmëdrejtëzën dhe segmentin na nevojitet kuptimi i nxjerrë “ndodhet në të njëjtën anë”, për këtrë arsye japim përkufizimin në vazhdim.
Përkufizim: Le të jenë A, B dhe C, tri pika të ndryshme të një drejtëze a. Për pikat B dhe C të drejtëzës a themi se ndodhen në të njëjtën anë të pikës A, nëse pika A nuk ndodhet ndërmjet pikave B dhe C.
Përkufizim: Gjysmëdrejtëz quajmë nënbashkësinë e një drejtëze e cila përmban një pikë të saj, të quajtur pikë fillestare, dhe të gjitha pikat e drejtëzës që ndodhen në të njëjtën anë të kësaj pike.
Gjysmëdrejtëzën me pikë fillestare A, e cila është nënbashkësi e drejtëzës a, do ta shënojmë Aa.
Përkufizim: Segment quajmë unionin e bashkësisë së të gjitha pikave të një drejtëze që ndodhen ndërmjet dy pikave të ndryshme të saj A e B dhe bashkësisë së pikave {A, B}.
Segmentin e përcaktuar me pikat A dhe B do ta shënojmë [AB], apo me ndonjë germë të vogël të alfabetit latin a, b, c etj. Pra,
[AB]={A,B}{X: (A – X – B)}
Segmenti i cili nuk përmban pikat e skajshme A dhe B quhet segment i hapur, dhe shënohet: ]AB[={x:(A-X-B)}.
Mund të vërtetohet pohimi: segmenti hapur është bashkësi e pafundme e pikave.
Për ta përkufizuar gjysmërrafshin, më parë duhet të përkufizojmë relacionin ndodhet në të njëjtën anë të drejtëzës në rrafsh.
Përkufizim: Pikat A dhe B të rrafshit π, themi se ndodhen në të njëjtën anë të drejtëzës s, sπ, në qoftëse segmenti [AB] dhe drejtëza s nuk kanë pika të përbashkëta (fig.35).
Fig. 35
s
A
B
8
Vërtetohet se relacioni i përkufizuar më sipër është relación ekuivalence në bashkësinë e pikave të rrafshit, pra e tërë bashkësia e pikave të rrafshit ndahet në dy klasë disjunkte.
Përkufizim: Unionin e drejtëzës s, sπ me bashkësinë e të gjitha pikave të rrafshit π, që ndodhen në të njëjtën anë të drejtëzës s, e quajmë gjysmërrafsh.. Drejtëza s quhet tehu (kufiri) i gjysmërrafshit.
Gjysmërrafshin, tehu i të cilit është drejtëza s dhe që e përmban pikën A, do ta shënojmë sA apo me ndonjë germë të vogël α, β, γ etj. (fig. 36).
Përkufizim: Bashkësinë e dy gjysmëdrejtëzave me pikë fillestare të përbashkët e quajmë kënd.
Gjysmëdrejtëzat i quajmë krahë të këndit, ndërsa pikën e përbashkët të tyre e quajmë kulmi i këndit. Këndin e përcaktuar me gjysmëdrejtëzat Oa dhe Ob do ta shënojmë simbolikishtë me  aOb (fig.37). Këndet, shpeshherë i shënojmë edhe me shkronjat e vogla greke α, β, γ etj.
Fig. 36 Fig.37
Dy kënde të cilat kanë një krah të përbashkët, ndërsa krahët e lirë të tyre formojnë drejtëzë, quhen kënde suplementare. Këndin e barabartë me këndin e tij suplementar e quajmë kënd i drejtë.
Përkufizim: Le të jenë A1, A2, …, An (n>2) bashkësi e fundme e pikave të rrrafshit, të tilla që çdo tri prej tyre janë jokolineare. Unioni i segmenteve A1A2, A2A3, …, An-1An quhet vijë e thyer.
Vija e thyer A1, A2, …, An (n>2) quhet e hapur nëse A1  An, ndërsa vijë e mbyllur apo vijë poligonale (shumëkëndëshe) nëse A1= An. Pikat A1, A2, …, An quhen kulme të vijës, ndërsa segmentet A1A2, A2A3, …, An-1An, quhen brinjë të vijës poligonale.
Përkufizim: Shumëkëndësh quhet unioni i vijës së thyer të mbyllur në rrafsh.
0
a
b
9
Çdo shumëkëndësh e ndan rrafshin në dy bashkësi disjunkte të pikave: në bashkësinë e pikave të jashtme dhe në bashkësinë e pikave të brendshme të shumëkëndëshit.
Bashkësia e pikave të shumëkëndëshit dhe e pikave të brendshme të tij quhet sipërfaqe shumëkëndëshe.
Nëse cilatdo dy brinjë të shumëkëndëshit nuk kanë pika të përbashkëta – përveç brinjëve fqinje, shumëkëndëshi quhet i thjeshtë.
Sipërfaqet shumëkëndëshe mund të jenë konkave dhe konvekse. Sipërfaqja
shumëkëndëshe quhet konkave nëse ekzistojnë së paku dy pika të cilat formojnë segmentin, ndonjë pikë e të cilit nuk i takon sipërfaqes shumëkëndëshe (fig.38).
Sipërfaqja shumëkëndëshe quhet konvekse nëse cilatdo dy pika të saj formojnë segmentin i cili përmbahet i tëri në te (fig.39).
Detyra:
1. Nëse A,B,C janë pika kolineare, atëherë gjithmon njëra është ndërmjet dy të tjerave. Vërteto .
2. Vërteto se relacioni “ndodhet në të njejtën anë” është relacion ekuivalence në
a) bashkësinë e pikave të drejtzës lidhur me pikën P
b) bashkësinë e pikave të rrafshit lidhur me drejtzën p.