Aksiomat e renditjes

GJEOMETRIA E RENDITJES

Renditja në gjeometri futet në shekullin 19 pas vërejtjeve të Gaussit se për ndërtimin rigoroz të gjeometrisë disa veti më të thjeshta të renditjes së pikave në drejtëz duhen të merren si aksioma. Siç e dimë te Elementet e Euklidit ky kuptim merret si evident duke u mbështetur në krahasimin e segmenteve. Për here të pare aksiomat e renditjes në gjeometri i fut matematicienti gjerman M. Pasch më 1882, në veprën ”Leksione të gjeometrisë së re”, kurse më vonë, Peano dhe Hilberti e përmirësojnë sistemin aksiomatik të tij. Renditjen e pikave në drejtëz Hilberti e bën me anë të relacionit themelor “ndërmjet” për tri pika të ndryshme të një drejtëze. Faktin se pika B ndodhet ndërmjet pikave A dhe C do ta shënojmë B( A, B,C). 1. Aksiomat e renditjes dhe rrjedhimet e para. Me aksiomat e renditjes karakterizohet kuptimi themelor ”ndërmjet” si relacion ternar në bashkësinë e pikave kolineare.

• Aksiom II- 1. Në qoftë se B( A, B,C), atëherë A , B , C janë tri pika të ndryshme kolineare dhe gjithashtu B(C, B, A).
• Aksioma II-2. Në qoftë se B ( A, B,C ), atëherë nuk është B( A, C, B).
• Aksioma II-3. Për çdo dy pika A dhe B ekziston pika C ashtu që B ( A, B,C ).
• Aksioma II-4. Në qoftë se A, B,C janë tri pika të ndryshme kolineare, atëherë B( A, B, C ) ose B( B, C, A) ose B(C , A, B).
• Aksioma II-5. (M. Pasch) Le të jenë A, B, C tri pika jokolineare dhe p drejtëz në rrafshin e tyre, joincidente me pikën A. Në qoftë se ekziston pika D
• p,B( B, D,C ), atëherë ekziston edhe pika E p , ashtu që B ( A , E , B) ose B( A,E,C). Katër aksiomat e para janë pohime të gjeometrise në drejtëz, prandaj dhe quhen aksioma lineare të renditjes, ndërsa
• Aksioma II-5 është pohim i gjeometrisë në rrafsh. Aksiomat lineare nuk janë të mjaftueshme për gjeometrinë e renditjes në drejtëz, por duhet të merren edhe aksioma të tjera të gjeometrisë lineare. Por me qenë se këto janë rrjedhime të aksiomës së Pasch-it, nuk i marrim si aksioma.

Katër aksiomat e para janë pohime të gjeometrise në drejtëz, prandaj dhequhenaksioma lineare të renditjes, ndërsa aksioma II-5 është pohim igjeometrisë në rrafsh. Aksiomat lineare nuk janë të mjaftueshme përgjeometrinë e renditjes në drejtëz, por duhet të merren edhe aksioma tëtjera të gjeometrisë lineare. Por me qenë se këto janë rrjedhime tëaksiomës së Pasch-it, nuk i marrim si aksioma. Për tri pika kolineare A, B, C aksioma II-4 siguron ekzistencën e së paku njërit prej relacioneve B( A, B , C ),B( B, C , A), B( C, A, B). Do të vërtetojmë se vlen pikërisht njëri prej tyre.

Lidhje të jashtme

1. Gjeometria