Dallime mes rishikimeve të "Grupi dhe nëngrupi"

Jump to navigation Jump to search
v
 
{{dygishta}}Elementi i tillë {{mate|a}} quhet ''përlindëse'' e grupit {{mate|(A, {{o}})}}.
<!---------------------------------------------------------------------------------------- -->
{{S h e m b u l l i|21}} Grupi {{mate|(A, •)}}, ku {{mate|A{{=Barazim}}<math> \Big\{ \scriptstyle {1,} \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}} </math> <math> \Big\} </math>}} është grup ciklik me dy përlindëse:<math>\textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}</math> dhe <math>\textstyle {\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}}</math>.Vërtet: {{mate|<math>\Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{2}= \textstyle {\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}} , \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{3}= 1, \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{4} = \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}, </math>}} etj.
<!---------------------------------------------------------------------------------------- -->
==Vetitë e grupit==
Prej aksiomave (a{{sub|1}}) - (a{{sub|4}}) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të grupit:
====Vetia e elementit invers====
{{V e t i a|1.}}Nëse në grupin {{mate|(A, {{o}}) a{{sup|-1}} }} është element invers i elementit {{mate|a}}, edhe elementi {{mate|a}} është invers për elementin {{mate|a{{sup|-1}} }}, d.m.th. {{mate|(a{{sup|-1}}){{sup|-1}} {{=Barazim}}a}}.
 
Kjo veti për grupin aditiv {{mate|(A, {{o+}}) }} ka këtë trajtë: {{mate|-(-a){{=Barazim}}a}}.
====Vetia e rrënjës====
{{V e t i a|2.}} Në grupin {{mate|(A, {{o}})}} secili barazim
 
(1) {{mate|a{{o}}x{{=Barazim}}b}},2) {{mate|y{{o}}a{{=Barazim}}b}}
 
ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën .{{mate|x {{=Barazim}} a{{sup|-1}} {{o}} b}}, kurse për barazimin (2) trajtën {{mate|y {{=Barazim}} b {{o}} a{{sup|-1}} }}. {{dygishta}}Për grupin aditiv abelian {{mate|(A, {{o+}}) barazimet
<center>{{mate|a {{o+}} x{{=Barazim}}b}} dhe {{mate|y {{o+}} a{{=Barazim}}b}}</center>
:kanë një zgjidhje të përbashkët: {{mate|x{{=Barazim}}y{{=Barazim}}(-a) {{o+}} b{{=Barazim}}b {{o+}} (-a){{=Barazim}}b-a}}.
====Vetit e implikuacioneve====
{{V e t i a|3.}} Në grupin {{mate|(A, {{o}})}} vlejnë këto implikacione:
<center>{{mate|a {{o}} b {{=Barazim}} a{{o+}}c{{implikacion}} b{{=Barazim}}c}},</center>
<center>{{mate|b{{o}}a{{=Barazim}}c{{o}}a{{implikacion}} b {{=Barazim}} c}}.</center>
{{dygishta}}Në grupin aditiv abelian {{mate|(A, {{o+}})}} vlen implikacioni
<center>{{mate|a {{o+}} b{{=Barazim}}a {{o+}} c{{implikacion}} b{{=Barazim}}c}}.</center>
====Vetia e vlerfshmëris së barazimit====
{{V e t i a|4.}} Në secilin grup {{mate|(A, {{o+}})}} vlen barazia:
<center>{{mate|(a{{o}}b){{sup|-1}}{{=Barazim}}b{{sup|-1}}{{o}}a{{sup|-1}} }}.</center>
 
Në grupin aditiv abelian {{mate|(A, {{o+}})}} kjo veti shprehet me formulën:
<center>{{mate|-(a {{o+}} b){{=Barazim}}(-a) {{o+}} (-b)}}.</center>
 
==Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit==
 
{{dygishta}}Le të jenë {{mate|(A, {{o}}), (B, {{*}} ) }} dy grupe dhe {{mate|h:A&rarr;B}} pasqyrimi bashkësisë i {{mate|A}} në bashkësinë {{mate|B}}. Thuhet se grupet {{mate|(A, {{o}} ) }} dhe {{mate|(B, {{*}} ) }} janë ''homomorfe'', kurse pasqyrimi{{mate|h}} ''homorfizëm'' i grupit {{mate|(A, {{o}})}} në grupin {{mate|(B, {{*}} ) }}, nëse (fig. 1.17.):
<center>{{mate|({{çdo}}a, b {{enë}} A) h (a {{o}} b) {{=Barazim}} h (a) {{*}} h (b) }}.(...51)</center>
{{dygishta}}Kur {{mate|h (A){{=Barazim}}B}}, {{mate|h}} quhet ''homomorfizëm'' i grupit {{mate|(A, {{o}})}} mbi grupin {{mate|(B, {{*}})}} ose ''homomorfizëm'' surjektiv apo ''epimorfizëm'' (fig. 1.18.).
 
:::Fig. 1.18. Fig. 1.17.
{{dygishta}}Nëse {{mate|e}} dhe {{mate|e'}} janë elementet neutrale të grupeve homomorfe {{mate|(A, {{o}})}} dhe {{mate|(B, {{*}})}}, atëherë kemi:
{|border=0 align=center cellpadding=0 cellspacing=1
| {{mate|h (a) {{=Barazim}} h (a {{o}} e) {{=Barazim}} h (a) {{*}} h (e)}}
|rowspan="2"|{{mate| <math> \Big\} </math> h (e) {{=Barazim}} e'}},
|-
| {{mate|h (a) {{=Barazim}} h (e {{o}} a) {{=Barazim}} h (e) {{*}} h (a)}}
|}
:çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit {{mate|(A, {{o}})}} është element neutral i grupit {{mate|(B, {{*}})}}.
|{{dygishta}}
| valign="top"|(1) {{mate|({{çdo}}a, b{{enë}}A) h{{sub|1}} (a{{o}}{{sub|1}} b) }}<br />.
| {{mate|{{=Barazim}}h{{sub|1}}(a){{o}}{{sub|2}} h{{sub|1}}(b)}}<br>{{mate|{{=Barazim}}a'{{o}}{{sub|2}} b'}}, ku {{mate|a' {{=Barazim}} h {{sub|1}} (a), b'{{=Barazim}}h{{sub|1}} (b)}};
|-
| {{dygishta}}
| valign="top"|(2) {{mate|({{çdo}}a', b'{{enë}} B) h{{sub|2}} (a'{{o}}{{sub|2}} b')}}
| {{mate|{{=Barazim}}h{{sup|2}}(a'){{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} (b')<br>{{=Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}}(a)] {{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (b)]<br>{{=Barazim}}(h{{sub|2}}{{o}} h{{sub|1}}) (a) {{o}}{{sub|3}} (h{{sub|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (b)}}.
|}
{{dygishta}}Duke shfrytëzuar këto formula marrim:
| {{dygishta}}
| valign="top"|{{mate|({{çdo}}a, b{{enë}} A) (h{{sup|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (a {{o}}{{sub|1}} b)}}
|{{mate|{{=Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a {{o}}{{sub|1}} b)]<br>{{=Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a){{o}}{{sub|2}} h{{sub|1}} (b)]<br>{{=Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a) {{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} h{{sub|1}} (b)]<br>{{=Barazim}} (h{{sub|2}} {{o}} h {{sub|1}}) (a) {{o}}{{sub|3}} (h{{sub|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (b)}}
|}
:dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.
{{dygishta}}Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo !
{{S h e m b u l l i|23.}} Të shohim grupet {{mate|({{numratR}}+, .), ({{numratR}}, +) }} dhe {{mate|h:{{numratR}}+&rarr;{{numratR}}}} pasqyrimin e {{mate|{{numratR}}+}} në {{mate|{{numratR}} }} që përcaktohet me formulën:
<center>{{mate|h:x&rarr;y{{=Barazim}} log x, {{çdo}}x{{enë}}{{numratR}}{{sup|+}} }}.</center>
{{dygishta}}Meqë vlen:
<center>{{mate|({{çdo}}x{{sub|1}}, x{{sub|2}} {{enë}} {{numratR}}{{sup|+}}) log (x{{sub|1}} • x{{sub|2}}){{=Barazim}} log x{{sub|1}} +log x{{sub|2}} }},</center>
:themi se {{mate|(R{{sup|+}},.), (R, +)}} janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi {{mate|h}} homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi {{mate|h}} është izomorfizëm.
Fig. 1.19.
106

edits

Menyja e lëvizjeve