Grupi dhe nëngrupi: Dallime mes rishikimesh
Rreshti 106: | Rreshti 106: | ||
{{dygishta}}Elementi i tillë {{mate|a}} quhet ''përlindëse'' e grupit {{mate|(A, {{o}})}}. |
{{dygishta}}Elementi i tillë {{mate|a}} quhet ''përlindëse'' e grupit {{mate|(A, {{o}})}}. |
||
<!---------------------------------------------------------------------------------------- --> |
<!---------------------------------------------------------------------------------------- --> |
||
{{S h e m b u l l i|21}} Grupi {{mate|(A, •)}}, ku {{mate|A{{ |
{{S h e m b u l l i|21}} Grupi {{mate|(A, •)}}, ku {{mate|A{{Barazim}}<math> \Big\{ \scriptstyle {1,} \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}} </math> <math> \Big\} </math>}} është grup ciklik me dy përlindëse:<math>\textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}</math> dhe <math>\textstyle {\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}}</math>.Vërtet: {{mate|<math>\Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{2}= \textstyle {\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}} , \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{3}= 1, \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{4} = \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}, </math>}} etj. |
||
<!---------------------------------------------------------------------------------------- --> |
<!---------------------------------------------------------------------------------------- --> |
||
==Vetitë e grupit== |
==Vetitë e grupit== |
||
Prej aksiomave (a{{sub|1}}) - (a{{sub|4}}) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të grupit: |
Prej aksiomave (a{{sub|1}}) - (a{{sub|4}}) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të grupit: |
||
====Vetia e elementit invers==== |
====Vetia e elementit invers==== |
||
{{V e t i a|1.}}Nëse në grupin {{mate|(A, {{o}}) a{{sup|-1}} }} është element invers i elementit {{mate|a}}, edhe elementi {{mate|a}} është invers për elementin {{mate|a{{sup|-1}} }}, d.m.th. {{mate|(a{{sup|-1}}){{sup|-1}} {{ |
{{V e t i a|1.}}Nëse në grupin {{mate|(A, {{o}}) a{{sup|-1}} }} është element invers i elementit {{mate|a}}, edhe elementi {{mate|a}} është invers për elementin {{mate|a{{sup|-1}} }}, d.m.th. {{mate|(a{{sup|-1}}){{sup|-1}} {{Barazim}}a}}. |
||
Kjo veti për grupin aditiv {{mate|(A, {{o+}}) }} ka këtë trajtë: {{mate|-(-a){{ |
Kjo veti për grupin aditiv {{mate|(A, {{o+}}) }} ka këtë trajtë: {{mate|-(-a){{Barazim}}a}}. |
||
====Vetia e rrënjës==== |
====Vetia e rrënjës==== |
||
{{V e t i a|2.}} Në grupin {{mate|(A, {{o}})}} secili barazim |
{{V e t i a|2.}} Në grupin {{mate|(A, {{o}})}} secili barazim |
||
(1) {{mate|a{{o}}x{{ |
(1) {{mate|a{{o}}x{{Barazim}}b}},2) {{mate|y{{o}}a{{Barazim}}b}} |
||
ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën .{{mate|x {{ |
ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën .{{mate|x {{Barazim}} a{{sup|-1}} {{o}} b}}, kurse për barazimin (2) trajtën {{mate|y {{Barazim}} b {{o}} a{{sup|-1}} }}. {{dygishta}}Për grupin aditiv abelian {{mate|(A, {{o+}}) barazimet |
||
<center>{{mate|a {{o+}} x{{ |
<center>{{mate|a {{o+}} x{{Barazim}}b}} dhe {{mate|y {{o+}} a{{Barazim}}b}}</center> |
||
:kanë një zgjidhje të përbashkët: {{mate|x{{ |
:kanë një zgjidhje të përbashkët: {{mate|x{{Barazim}}y{{Barazim}}(-a) {{o+}} b{{Barazim}}b {{o+}} (-a){{Barazim}}b-a}}. |
||
====Vetit e implikuacioneve==== |
====Vetit e implikuacioneve==== |
||
{{V e t i a|3.}} Në grupin {{mate|(A, {{o}})}} vlejnë këto implikacione: |
{{V e t i a|3.}} Në grupin {{mate|(A, {{o}})}} vlejnë këto implikacione: |
||
<center>{{mate|a {{o}} b {{ |
<center>{{mate|a {{o}} b {{Barazim}} a{{o+}}c{{implikacion}} b{{Barazim}}c}},</center> |
||
<center>{{mate|b{{o}}a{{ |
<center>{{mate|b{{o}}a{{Barazim}}c{{o}}a{{implikacion}} b {{Barazim}} c}}.</center> |
||
{{dygishta}}Në grupin aditiv abelian {{mate|(A, {{o+}})}} vlen implikacioni |
{{dygishta}}Në grupin aditiv abelian {{mate|(A, {{o+}})}} vlen implikacioni |
||
<center>{{mate|a {{o+}} b{{ |
<center>{{mate|a {{o+}} b{{Barazim}}a {{o+}} c{{implikacion}} b{{Barazim}}c}}.</center> |
||
====Vetia e vlerfshmëris së barazimit==== |
====Vetia e vlerfshmëris së barazimit==== |
||
{{V e t i a|4.}} Në secilin grup {{mate|(A, {{o+}})}} vlen barazia: |
{{V e t i a|4.}} Në secilin grup {{mate|(A, {{o+}})}} vlen barazia: |
||
<center>{{mate|(a{{o}}b){{sup|-1}}{{ |
<center>{{mate|(a{{o}}b){{sup|-1}}{{Barazim}}b{{sup|-1}}{{o}}a{{sup|-1}} }}.</center> |
||
Në grupin aditiv abelian {{mate|(A, {{o+}})}} kjo veti shprehet me formulën: |
Në grupin aditiv abelian {{mate|(A, {{o+}})}} kjo veti shprehet me formulën: |
||
<center>{{mate|-(a {{o+}} b){{ |
<center>{{mate|-(a {{o+}} b){{Barazim}}(-a) {{o+}} (-b)}}.</center> |
||
==Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit== |
==Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit== |
||
{{dygishta}}Le të jenë {{mate|(A, {{o}}), (B, {{*}} ) }} dy grupe dhe {{mate|h:A→B}} pasqyrimi bashkësisë i {{mate|A}} në bashkësinë {{mate|B}}. Thuhet se grupet {{mate|(A, {{o}} ) }} dhe {{mate|(B, {{*}} ) }} janë ''homomorfe'', kurse pasqyrimi{{mate|h}} ''homorfizëm'' i grupit {{mate|(A, {{o}})}} në grupin {{mate|(B, {{*}} ) }}, nëse (fig. 1.17.): |
{{dygishta}}Le të jenë {{mate|(A, {{o}}), (B, {{*}} ) }} dy grupe dhe {{mate|h:A→B}} pasqyrimi bashkësisë i {{mate|A}} në bashkësinë {{mate|B}}. Thuhet se grupet {{mate|(A, {{o}} ) }} dhe {{mate|(B, {{*}} ) }} janë ''homomorfe'', kurse pasqyrimi{{mate|h}} ''homorfizëm'' i grupit {{mate|(A, {{o}})}} në grupin {{mate|(B, {{*}} ) }}, nëse (fig. 1.17.): |
||
<center>{{mate|({{çdo}}a, b {{enë}} A) h (a {{o}} b) {{ |
<center>{{mate|({{çdo}}a, b {{enë}} A) h (a {{o}} b) {{Barazim}} h (a) {{*}} h (b) }}.(...51)</center> |
||
{{dygishta}}Kur {{mate|h (A){{ |
{{dygishta}}Kur {{mate|h (A){{Barazim}}B}}, {{mate|h}} quhet ''homomorfizëm'' i grupit {{mate|(A, {{o}})}} mbi grupin {{mate|(B, {{*}})}} ose ''homomorfizëm'' surjektiv apo ''epimorfizëm'' (fig. 1.18.). |
||
:::Fig. 1.18. Fig. 1.17. |
:::Fig. 1.18. Fig. 1.17. |
||
{{dygishta}}Nëse {{mate|e}} dhe {{mate|e'}} janë elementet neutrale të grupeve homomorfe {{mate|(A, {{o}})}} dhe {{mate|(B, {{*}})}}, atëherë kemi: |
{{dygishta}}Nëse {{mate|e}} dhe {{mate|e'}} janë elementet neutrale të grupeve homomorfe {{mate|(A, {{o}})}} dhe {{mate|(B, {{*}})}}, atëherë kemi: |
||
{|border=0 align=center cellpadding=0 cellspacing=1 |
{|border=0 align=center cellpadding=0 cellspacing=1 |
||
| {{mate|h (a) {{ |
| {{mate|h (a) {{Barazim}} h (a {{o}} e) {{Barazim}} h (a) {{*}} h (e)}} |
||
|rowspan="2"|{{mate| <math> \Big\} </math> h (e) {{ |
|rowspan="2"|{{mate| <math> \Big\} </math> h (e) {{Barazim}} e'}}, |
||
|- |
|- |
||
| {{mate|h (a) {{ |
| {{mate|h (a) {{Barazim}} h (e {{o}} a) {{Barazim}} h (e) {{*}} h (a)}} |
||
|} |
|} |
||
:çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit {{mate|(A, {{o}})}} është element neutral i grupit {{mate|(B, {{*}})}}. |
:çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit {{mate|(A, {{o}})}} është element neutral i grupit {{mate|(B, {{*}})}}. |
||
Rreshti 155: | Rreshti 155: | ||
|{{dygishta}} |
|{{dygishta}} |
||
| valign="top"|(1) {{mate|({{çdo}}a, b{{enë}}A) h{{sub|1}} (a{{o}}{{sub|1}} b) }}<br />. |
| valign="top"|(1) {{mate|({{çdo}}a, b{{enë}}A) h{{sub|1}} (a{{o}}{{sub|1}} b) }}<br />. |
||
| {{mate|{{ |
| {{mate|{{Barazim}}h{{sub|1}}(a){{o}}{{sub|2}} h{{sub|1}}(b)}}<br>{{mate|{{Barazim}}a'{{o}}{{sub|2}} b'}}, ku {{mate|a' {{Barazim}} h {{sub|1}} (a), b'{{Barazim}}h{{sub|1}} (b)}}; |
||
|- |
|- |
||
| {{dygishta}} |
| {{dygishta}} |
||
| valign="top"|(2) {{mate|({{çdo}}a', b'{{enë}} B) h{{sub|2}} (a'{{o}}{{sub|2}} b')}} |
| valign="top"|(2) {{mate|({{çdo}}a', b'{{enë}} B) h{{sub|2}} (a'{{o}}{{sub|2}} b')}} |
||
| {{mate|{{ |
| {{mate|{{Barazim}}h{{sup|2}}(a'){{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} (b')<br>{{Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}}(a)] {{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (b)]<br>{{Barazim}}(h{{sub|2}}{{o}} h{{sub|1}}) (a) {{o}}{{sub|3}} (h{{sub|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (b)}}. |
||
|} |
|} |
||
{{dygishta}}Duke shfrytëzuar këto formula marrim: |
{{dygishta}}Duke shfrytëzuar këto formula marrim: |
||
Rreshti 166: | Rreshti 166: | ||
| {{dygishta}} |
| {{dygishta}} |
||
| valign="top"|{{mate|({{çdo}}a, b{{enë}} A) (h{{sup|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (a {{o}}{{sub|1}} b)}} |
| valign="top"|{{mate|({{çdo}}a, b{{enë}} A) (h{{sup|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (a {{o}}{{sub|1}} b)}} |
||
|{{mate|{{ |
|{{mate|{{Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a {{o}}{{sub|1}} b)]<br>{{Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a){{o}}{{sub|2}} h{{sub|1}} (b)]<br>{{Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a) {{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} h{{sub|1}} (b)]<br>{{Barazim}} (h{{sub|2}} {{o}} h {{sub|1}}) (a) {{o}}{{sub|3}} (h{{sub|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (b)}} |
||
|} |
|} |
||
:dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë. |
:dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë. |
||
Rreshti 175: | Rreshti 175: | ||
{{dygishta}}Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo ! |
{{dygishta}}Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo ! |
||
{{S h e m b u l l i|23.}} Të shohim grupet {{mate|({{numratR}}+, .), ({{numratR}}, +) }} dhe {{mate|h:{{numratR}}+→{{numratR}}}} pasqyrimin e {{mate|{{numratR}}+}} në {{mate|{{numratR}} }} që përcaktohet me formulën: |
{{S h e m b u l l i|23.}} Të shohim grupet {{mate|({{numratR}}+, .), ({{numratR}}, +) }} dhe {{mate|h:{{numratR}}+→{{numratR}}}} pasqyrimin e {{mate|{{numratR}}+}} në {{mate|{{numratR}} }} që përcaktohet me formulën: |
||
<center>{{mate|h:x→y{{ |
<center>{{mate|h:x→y{{Barazim}} log x, {{çdo}}x{{enë}}{{numratR}}{{sup|+}} }}.</center> |
||
{{dygishta}}Meqë vlen: |
{{dygishta}}Meqë vlen: |
||
<center>{{mate|({{çdo}}x{{sub|1}}, x{{sub|2}} {{enë}} {{numratR}}{{sup|+}}) log (x{{sub|1}} • x{{sub|2}}){{ |
<center>{{mate|({{çdo}}x{{sub|1}}, x{{sub|2}} {{enë}} {{numratR}}{{sup|+}}) log (x{{sub|1}} • x{{sub|2}}){{Barazim}} log x{{sub|1}} +log x{{sub|2}} }},</center> |
||
:themi se {{mate|(R{{sup|+}},.), (R, +)}} janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi {{mate|h}} homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi {{mate|h}} është izomorfizëm. |
:themi se {{mate|(R{{sup|+}},.), (R, +)}} janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi {{mate|h}} homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi {{mate|h}} është izomorfizëm. |
||
Fig. 1.19. |
Fig. 1.19. |
Versioni aktual i datës 17 korrik 2020 22:33
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
|
Shkalla UNI |
Gjykimet Bashkësitë |
Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :
Përkufizimi[redakto]
Semigrupi (A, ) që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element a A ekziston elementi invers a-1 A.[1]
Sistemi i aksiomave të grupit[redakto]
Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët lidhur me veprimin binar është grup, nëse plotësohen këto kushte :
- (a1) Bashkësia është e mbyllur lidhur me veprimin binar , pra:
- (a2) Veprimi binar është asociativ, pra :
- (a3) Në bashkësinë ekziston elementi neutral për veprimin binar , pra :
- (a4) Për secilin element ekziston elementi invers ashtu që :
Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.
Llojet e grupit[redakto]
Nëse veprimi binar është komutativ, quhet grup komutativ ose abelian[2]. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, , respektivisht quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.
P.sh. grupe aditive janë : , ndërkaq grupe multiplikative janë : ku . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.
Grupi aditiv dhe multiplikativ[redakto]
P.sh.: Të tregohet se bashkësia në lidhje me mbledhjen sipas është grup aditiv , kurse bashkësia në lidhje me shumëzimin, sipas , është grup multiplikativ .
Zgjidhje: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas , respektivisht duket kështu:
Nga këto tabela shihet se:
- (1) është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas :
- (2) është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas :
Veprimet në grup[redakto]
Në përgjithësi, kur në grupin :
- - veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit përdoret simboli , atëherë quhet grup aditiv ; ndërsa kur
- - veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit përdoret simboli , atëherë quhet grup multiplikativ.
Për grupin aditiv (A, ) elementi neutral shënohet me 0 , kurse elementi invers (i kundërt) me - a .
- S h e m b u l l i 20. - - Të tregohet se bashkësia në lidhje me veprimin të përkufizuar me formulën :
- është grup (A, ) .
- Z g j i d h j e : : Meqë bashkësia A në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :
- (a1)
- (a2)
- (a3) dhe
- (a4)
konkludojmë se është grup aditiv.
Grupi i fundëm dhe i pafundëm[redakto]
Grupi quhet i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia a është fundme apo e pafundme.
Përkufizimi[redakto]
Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit a A , i tillë që me përsëritjen e veprimit në a riprodhohen të gjitha elementet e bashkësisë A.[3]
Elementi përlindës[redakto]
- Elementi i tillë a quhet përlindëse e grupit (A, ).
- S h e m b u l l i 21 - Grupi (A, •), ku A është grup ciklik me dy përlindëse: dhe .Vërtet: etj.
Vetitë e grupit[redakto]
Prej aksiomave (a1) - (a4) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të grupit:
Vetia e elementit invers[redakto]
- V e t i a 1.-Nëse në grupin (A, ) a-1 është element invers i elementit a, edhe elementi a është invers për elementin a-1 , d.m.th. (a-1)-1 a.
Kjo veti për grupin aditiv (A, ) ka këtë trajtë: -(-a)a.
Vetia e rrënjës[redakto]
- V e t i a 2.- Në grupin (A, ) secili barazim
(1) axb,2) yab
ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën . x a-1 b, kurse për barazimin (2) trajtën y b a-1 .
- Për grupin aditiv abelian {{mate|(A, ) barazimet
- kanë një zgjidhje të përbashkët: xy(-a) bb (-a)b-a.
Vetit e implikuacioneve[redakto]
- V e t i a 3.- Në grupin (A, ) vlejnë këto implikacione:
- Në grupin aditiv abelian (A, ) vlen implikacioni
Vetia e vlerfshmëris së barazimit[redakto]
- V e t i a 4.- Në secilin grup (A, ) vlen barazia:
Në grupin aditiv abelian (A, ) kjo veti shprehet me formulën:
Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit[redakto]
- Le të jenë (A, ), (B, ) dy grupe dhe h:A→B pasqyrimi bashkësisë i A në bashkësinë B. Thuhet se grupet (A, ) dhe (B, ) janë homomorfe, kurse pasqyrimi h homorfizëm i grupit (A, ) në grupin (B, ) , nëse (fig. 1.17.):
- Kur h (A)B, h quhet homomorfizëm i grupit (A, ) mbi grupin (B, ) ose homomorfizëm surjektiv apo epimorfizëm (fig. 1.18.).
- Fig. 1.18. Fig. 1.17.
- Nëse e dhe e' janë elementet neutrale të grupeve homomorfe (A, ) dhe (B, ), atëherë kemi:
h (a) h (a e) h (a) h (e) | h (e) e', |
h (a) h (e a) h (e) h (a) |
- çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit (A, ) është element neutral i grupit (B, ).
- T e o r e m a 6.1.1. - Nëse h1 është homomorfizëm i (A, 1) në (B, 2) dhe h2 homomorfizëm i (B, 2) në (C, 3), shumëzimi h2 h1 është homomorfizëm i (A, 1) në (C, 3).
- V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës kemi:
|
(1) (a, bA) h1 (a1 b) . |
h1(a)2 h1(b) a'2 b', ku a' h 1 (a), b'h1 (b); |
|
(2) (a', b' B) h2 (a'2 b') | h2(a')3 h2 (b') h2 [h1(a)] 3 h2 [h1 (b)] (h2 h1) (a) 3 (h2 h1) (b). |
- Duke shfrytëzuar këto formula marrim:
|
(a, b A) (h2 h1) (a 1 b) | h2 [h1 (a 1 b)] h2 [h1 (a)2 h1 (b)] h2 [h1 (a) 3 h2 h1 (b)] (h2 h 1) (a) 3 (h2 h1) (b) |
- dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.
- Homomorfizmi injektiv i grupit (A, ) në grupin (B, ) quhet izomorfizëm i (A, ) në (B, ) (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi h është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i (A, ) mbi (B, ) quhet izomorfizëm i (A, ) mbi (B, ) dhe thuhet se grupet (A, ) , (B, ) janë izomorfe ndërmjet tyre.
- Të konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.
- Fig. 1.20.
- T e o r e m a 6.1.2. - Nëse i1 është izomorfizëm i grupit (A, 1) mbi grupin (B, 2) dhe i2 izomorfizëm i (B, 2) mbi (C, 3) , shumëzimi i2 i1 është izomorfizëm i grupit (A, 1) mbi grupin (C, 3) .
- Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo !
- S h e m b u l l i 23. - Të shohim grupet (+, .), (, +) dhe h:+→ pasqyrimin e + në që përcaktohet me formulën:
- Meqë vlen:
- themi se (R+,.), (R, +) janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi h homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi h është izomorfizëm.
Fig. 1.19.
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
- ↑ 14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).