Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Lidhur me zgjidhshmërinë e sistemit të ekuacioneve lineare (32) do të dallojmë këto tri raste

1°. Kur $D\neq 0$, sistemi i ekuacioneve lineare (32) është i mundshëm dhe i caktuar, sepse ${\frac {D_{i}}{D}}(i=1,2,3)$ ekzistojnë.

2°. Kur $D=0$ dhe $\exists A_{ik}\neq 0>(i,k=1,2,3)$ sistemi i ekuacioneve lineare (32) është ekuivalent me këtë sistem të ekuacioneve:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\end{matrix}}$(...32a) ${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}&a_{32}&a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\end{vmatrix}}=0$

Vërtet, kur supozojmë se treshi i renditur $(t_{1},t_{2},t_{3})$ është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32), ai është zgjidhja edhe i sistemit të ekuacioneve (32a), sepse ekuacioni i tretë i këtij sistemi, në atë rast, reduktohet në këtë formulë të saktë:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&0\end{vmatrix}}=0$

Ndërkaq, kur supozojmë se treshi i renditur $(t_{1},t_{2},t_{3})$ është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32a) dhe $A_{33}\neq 0$, ekuacioni i tretë i këtij sistemi merr këtë trajtë:

$(a_{31}t_{1}\!+\!a_{32}t_{2}\!+\!a_{33}t_{3}\!-\!b_{3})A_{33}\!=\!0\ ose\ a_{31}t_{1}\!+\!a_{32}t_{2}\!+\!a_{33}t_{3}\!-\!b_{3}\!=\!0,\,$

çka do të thotë se $(t_{1},t_{2},t_{3})$ është zgjidhja edhe e sistemit (32). D.m.th. në kushtet e përmendura sistemet (32) dhe (32a) janë ekuivalente. Nga ekuivalenca e tyre rrjedh se shqyrtimi i zgjidhshmërisë së sistemit (32) mund të bëhet nëpërmjet të sistemit (32a). Për këtë qëllim e zhvillojmë përcaktorin në ekuacionin e tretë të sistemit (32a) në kofaktor sipas elementeve të shtyllës së tretë, ku pas reduktimit merret:

$(a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33})x_{3}=b_{1}A_{13}+b_{2}A_{23}+b_{3}A_{33}\Rightarrow Dx_{3}=D_{3},$

sepse koeficientet e $x_{1}$ dhe $x_{2}$ janë të barabarta me zero. Në bazë të relacionit të fundit përfundojmë:

(a) Nëse $D_{3}\neq 0$, sistemi (32) është i pamundshëm;

(b) Nëse $D_{3}=0\,$, sistemi (32) është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në dy ekuacione me tri të panjohura:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\end{matrix}}$

Në këtë sistem, kur $x_{3}$ e trajtojmë si parametër, kemi:

${\begin{matrix}x_{1}={{\begin{vmatrix}b_{1}-a_{13}x_{3}&a_{12}\\b_{2}-a_{23}x_{3}&a_{22}\end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}&,&x_{2}={{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}-a_{13}x_{3}\\a_{21}&b_{2}-a_{23}x_{3}\end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}\end{matrix}}$

3°. Kur $D=0,A_{ik}=0\ (\forall i,k=1,2,3)$ dhe $\exists a_{ik}\neq 0$, ekuivalent me:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}-b_{1}\\a_{21}&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}-b_{2}\end{vmatrix}}=0\\{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}-b_{1}\\a_{31}&a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}-b_{3}\end{vmatrix}}=0\end{matrix}}$ (...32b)

Ekuivalenca e këtyre dy sistemeve vërtetohet sikurse në rastin e mëparshëm.

Dy ekuacionet e fundit të sistemit (32b) mund të shprehen në këtë mënyrë

${\begin{matrix}(\!a_{11}a_{21}\!-\!a_{11}a_{21}\!)x_{1}\!+\!(a_{11}a_{22}\!-\!a_{12}a_{21}\!)x_{2}\!+\!(a_{11}a_{23}\!-\!a_{13}a_{21}\!)x_{3}\!=\!a_{11}b_{2}\!-\!a_{21}b_{1}\\(\!a_{11}a_{31}\!-\!a_{11}a_{31}\!)x_{1}\!+\!(a_{11}a_{32}\!-\!a_{12}a_{31}\!)x_{2}\!+\!(a_{11}a_{33}\!-\!a_{13}a_{31}\!)x_{3}\!=\!a_{11}b_{3}\!-\!a_{31}b_{1}\end{matrix}}$

prej nga, duke marrë parasysh kushtet, del:

${\begin{matrix}{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\end{vmatrix}}=0&&{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{31}&b_{3}\end{vmatrix}}=0\end{matrix}}$

D.m.th.:

(a) Nëse të paktën njëri prej përcaktorëve

${\begin{matrix}{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\end{vmatrix}}&ose&{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{31}&b_{3}\end{vmatrix}}\end{matrix}}$

nuk është i barabartë me zero, sistemi (32) është i pamundshëm;

(b) Nëse të dy këta përcaktorë janë të barabartë me zero sistemi është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura:

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}.\,$

Shembuj

Për vlerat e ndryshme të parametrit $m$ të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit:

${\begin{matrix}mx_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}+mx_{2}+x_{3}=m\\x_{1}+x_{2}+mx_{3}=m^{2}.\end{matrix}}$

Zgjidhje Meqë në këtë rast

$D\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^{2}\!(m\!+\!2)\!,\!D\!_{1}\!=\!-\!(\!m\!-\!1\!)\!^{2}\!(\!m\!+\!1\!)\!,\!D\!_{2}\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^{2}\!,\!D\!_{3}\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^{2}\!(\!m\!+\!1\!)\!^{2}$

ku ylerat karakteristike të parametrit $m$ për përcaktorin kryesor janë $-2$ dhe $1$, kurse për përcaktorët karakteristikë $-1$ dhe $1$, pra:

(a) Për $\forall m\neq -2\vee 1:D\neq 0$, sistemi i dhënë është i mundshëm ku

$x_{1}={\frac {m+1}{m+2}},\ x_{2}={\frac {1}{m+2}},\ x_{3}={\frac {(m+1)^{2}}{m+2}},$

(b) Për $m=-2:D=0,\exists A_{ik}\neq 0$ (p.sh. $A_{33}=3$) dhe $D_{3}=9\neq 0$, prandaj sistemi i dhënë është i pamundshëm;

(c) Për $m=1:D=0,A_{ik}=0\ (\forall i,k=1,2,3),\exists a_{ik}\neq 0$ (p.sh. $a_{11}=1$) dhe

${\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}}=0,\;{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{31}&b_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}}=0$

prandaj sistemi i dhënë reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura: $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$. Zgjidhjet e këtij ekuacioni janë $(1-m-n,m,n)$ ku $m,n$ janë dy parametra çfarëdo.