Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar: Dallime mes rishikimesh
Content deleted Content added
No edit summary |
No edit summary |
||
Rreshti 1: | Rreshti 1: | ||
{{StyllaMatricatdhepërcaktorët|MP}} |
{{StyllaMatricatdhepërcaktorët|MP}} |
||
Kur në matricën katrore <math>A = [a_{ik}]^n_{1}</math> secili element i saj <math>a_{ik}</math> zëvendësohet me kofaktorin <math>A_{ki}</math> elementit <math>a_{ki}</math> të <math>\det A</math> përftohet një matricë që quhe't <i>matricë e adjunguar</i> (matricë reciproke) e matricës <math>A</math> dhe shënohet <math> adj \ A</math>, pra: |
|||
<center><math>adj \ A=\begin{bmatrix} |
<center><math>adj \ A=\begin{bmatrix} |
||
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ |
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ |
||
Rreshti 8: | Rreshti 9: | ||
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} |
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} |
||
\end{bmatrix}</math>(...29)</center> |
\end{bmatrix}</math>(...29)</center> |
||
Përcaktori i matricës së adjunguar (29) quhet përcaktor <i>i adjunguar</i> i matricës <math>A</math> dhe shënohet <math>\det adj \ A</math>, pra: |
|||
<center><math>\det \ adj \ A=\begin{bmatrix} |
<center><math>\det \ adj \ A=\begin{bmatrix} |
||
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ |
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ |
||
Rreshti 16: | Rreshti 19: | ||
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} |
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} |
||
\end{bmatrix}</math>(...30)</center> |
\end{bmatrix}</math>(...30)</center> |
||
Meqenëse, në bazë të identiteteve: |
|||
<center><math>a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+ \cdots +a_{in}A_{kn}=\begin{cases} D, & kur \ i=k \\ 0, & kur \ i\ne k \end{cases}</math> (...28b)</center> |
<center><math>a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+ \cdots +a_{in}A_{kn}=\begin{cases} D, & kur \ i=k \\ 0, & kur \ i\ne k \end{cases}</math> (...28b)</center> |
||
<center><math>a_{1i}A_{1k}+a_{2i}A_{2k}+ \cdots +a_{ni}A_{nk}=\begin{cases} D, & kur \ i=k \\ 0, & kur \ i\ne k \end{cases}</math> (...28c)</center> |
<center><math>a_{1i}A_{1k}+a_{2i}A_{2k}+ \cdots +a_{ni}A_{nk}=\begin{cases} D, & kur \ i=k \\ 0, & kur \ i\ne k \end{cases}</math> (...28c)</center> |
||
ku <math>D=\det A, \ i,k=l, 2, \cdots , n</math> dhe në bazë të formulës (18) për prodhimin e matricave, del: |
|||
<center><math>A \cdot adj\,A= |
<center><math>A \cdot adj\,A= |
||
\begin{bmatrix} |
\begin{bmatrix} |
||
Rreshti 27: | Rreshti 35: | ||
0 & & &D |
0 & & &D |
||
\end{bmatrix}</math>(...29a)</center> |
\end{bmatrix}</math>(...29a)</center> |
||
prandaj |
|||
<center><math>(\det A) (\det adj\,A)=(\det A)^n \,</math>(...31}</center> |
<center><math>(\det A) (\det adj\,A)=(\det A)^n \,</math>(...31}</center> |
||
respektivisht |
|||
<center><math>\det adj\,A=(\det A)^{n-1} \,</math>.(...31a)</center> |
<center><math>\det adj\,A=(\det A)^{n-1} \,</math>.(...31a)</center> |
||
==Shembuj== |
|||
Të gjindet <math>adj\,A</math> dhe <math>\det adj\,A</math>, nëse |
|||
<center><math>A=\begin{bmatrix} |
<center><math>A=\begin{bmatrix} |
||
3 &-4 &5 \\ |
3 &-4 &5 \\ |
||
Rreshti 37: | Rreshti 51: | ||
3 &-5 &-1 |
3 &-5 &-1 |
||
\end{bmatrix}</math>.</center> |
\end{bmatrix}</math>.</center> |
||
<u>Z g j i d h j e :</u> Duke zbatuar formulën (30) përftohet: |
|||
{| |
{| |
||
| |
| |
||
Rreshti 98: | Rreshti 114: | ||
</math> |
</math> |
||
|} |
|} |
||
Meqë <math>\det A= - 1</math>, në bazë të formulës (31a), del: |
|||
<center><math>\det adj\,A=(-1)^2=1</math>,</center> |
<center><math>\det adj\,A=(-1)^2=1</math>,</center> |
||
gjë që konfirmohet edhe me: |
|||
<center><math>\det \begin{vmatrix} |
<center><math>\det \begin{vmatrix} |
||
8 &-29 &11 \\ |
8 &-29 &11 \\ |
||
Rreshti 106: | Rreshti 126: | ||
-1 &3 &-1 |
-1 &3 &-1 |
||
\end{vmatrix}=1</math>.</center> |
\end{vmatrix}=1</math>.</center> |
||
[[Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura|Ekuacioni me tri të panjohura]] |
|||
[[Category:Matricat]][[Category:Përcaktorët]] |
[[Category:Matricat]][[Category:Përcaktorët]] |
Versioni aktual i datës 7 qershor 2008 04:20
Kur në matricën katrore secili element i saj zëvendësohet me kofaktorin elementit të përftohet një matricë që quhe't matricë e adjunguar (matricë reciproke) e matricës dhe shënohet , pra:
Përcaktori i matricës së adjunguar (29) quhet përcaktor i adjunguar i matricës dhe shënohet , pra:
Meqenëse, në bazë të identiteteve:
ku dhe në bazë të formulës (18) për prodhimin e matricave, del:
prandaj
respektivisht
Shembuj[redakto]
Të gjindet dhe , nëse
Z g j i d h j e : Duke zbatuar formulën (30) përftohet:
|
|
Meqë , në bazë të formulës (31a), del:
gjë që konfirmohet edhe me: