Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Në bazë të formulave (5) dhe (18) sistemi i ekuacioneve lineare (34) mund të shprehet në këtë mënyrë:

${\begin{bmatrix}a_{1l}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}$

respektivisht

${\begin{bmatrix}a_{1l}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}$(...39)

që quhet forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare (34), ku $A$ është matrica e atij sistemi, $X$ matrica njështyllore elementet e së cilës janë të panjohurat $x_{k}\ (k=1,2,\cdots ,n)$, kurse $B$ matrica njështyllore elementet e së cilës janë kufizat e lira $b_{k}\ (k=1,2,\cdots ,n)$. Algoritmi i zgjidhjes së ekuacionit matricial $AX=B$ është sa vijonë:

$AX=B/\cdot A^{-1}\Rightarrow A^{-1}(AX)=A^{-1}B$,

prej nga me aplikimin e ligjit të asociacionit përftohet:

$(A^{-1}A)X=A^{-1}B\Rightarrow EX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B$.

Nëse tani në relacionin e fundit aplikojmë formulën (37) kemi:

$X={\frac {adj\;A}{\det A}}B={\frac {1}{D}}(adj\;A)B$

respektivisht

$X={\frac {1}{D}}{\begin{bmatrix}b_{1}A_{11}+b_{2}A_{21}+\cdots +b_{n}A_{n1}\\b_{1}A_{12}+b_{2}A_{22}+\cdots +b_{n}A_{n2}\\\vdots \\b_{1}A_{1n}+b_{2}A_{2n}+\cdots +b_{n}A_{nn}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{D}}{\begin{bmatrix}D_{1}\\D_{2}\\\vdots \\D_{n}\end{bmatrix}}$(...40)

prej nga del:

$x_{k}={\frac {D_{k}}{D}}\ (k=1,2,\cdots ,n)$ (...40a)

që janë në të vërtetë formulat e Cramerit.

Shembuj

Të zgjidhet sistemi i ekuacioneve

${\begin{matrix}2x_{1}&+&\ x_{2}&-&5x_{3}&+&\ x_{4}&=&\ 8\\&&\ x_{1}&-&2x_{2}&-&6x_{4}&=&\ 9\\&&2x_{2}&-&\ x_{3}&+&2x_{4}&=&-5\\\ x_{1}&+&4x_{2}&-&7x_{3}&+&6x_{4}&=&\ 0\\\end{matrix}}$

Zgjidhje Meqenëse $\det A=27$ dhe

$A^{-1}={\frac {1}{27}}{\begin{bmatrix}36&\!-18&\;9&\!-27\\-2&\;\ 7&\ 31&\ -3\\10&\ -8&\;\ 7&\!-12\\\;\ 8&\!-11&-14&\ -3\\\end{bmatrix}}$

prandaj kemi

$X=A^{-1}B={\frac {1}{27}}{\begin{bmatrix}36&\!-18&\;9&-27\\-2&\ 7&\ 31&\ -3\\10&\ -8&\;7&-12\\\ 8&\!-11&-14&\ -3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\ 8\\\;\ 9\\-5\\\;\ 0\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{27}}{\begin{bmatrix}81\\-108\\-27\\27\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\-4\\-1\\1\\\end{bmatrix}}$

respektivisht

$x_{1}=3,\ x_{2}=-4,\ x_{3}=-1,\ x_{4}=1.$

Matricat katrore të posaçme