Grupi dhe nëngrupi: Dallime mes rishikimesh
Rreshti 17: | Rreshti 17: | ||
==Llojet e grupit== |
==Llojet e grupit== |
||
Nëse veprimi binar |
Nëse veprimi binar <math>\circ</math> është komutativ, <math>(A, \circ )\!</math> quhet grup ''komutativ'' ose ''abelian''<ref>14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .</ref>. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, <math>(A, +)\!</math> , respektivisht <math>(A,\cdot)\!</math> quhet grup ''aditiv'', respektivisht grup ''multiplikativ''. Grupi aditiv është gjithmonë abelian. |
||
P.sh. grupe aditive janë : |
P.sh. grupe aditive janë : <math>( \mathbb{Q} , + ), ( \mathbb{R} , + ), ( \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} , + )</math> , ndërkaq grupe multiplikative janë : <math>( \mathbb{Q}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace,\cdot), ( \mathbb{R}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace , \cdot), (A, \cdot)</math> ku <math>A = \left\lbrace -1, 1, - i, i \right\rbrace\!</math> . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike. |
||
===Grupi aditiv dhe multiplikativ=== |
===Grupi aditiv dhe multiplikativ=== |
||
P.sh.: Të tregohet se bashkësia |
P.sh.: Të tregohet se bashkësia <math>A = \left\lbrace 0, 1, 2, 3, 4\right\rbrace</math> në lidhje me mbledhjen sipas <math>\mathrm{modulit}\ 5\!</math> është grup aditiv <math>(A, +_5 )\!</math> , kurse bashkësia <math> B = \left\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6\right\rbrace</math> në lidhje me shumëzimin, sipas <math>\mathrm{modulit}\ 7\!</math> , është grup multiplikativ <math>(B, \cdot_7 )\!</math> . |
||
<u>Zgjidhje</u>: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas { |
<u>Zgjidhje</u>: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas <math>\mathrm{modulit}\ 5\!</math> , respektivisht <math>7\!</math> duket kështu: |
||
<math>\begin{array}{c|cccccccc} |
<math>\begin{array}{c|cccccccc} |
||
+_5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ |
+_5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ |
||
Rreshti 46: | Rreshti 46: | ||
Nga këto tabela shihet se: |
Nga këto tabela shihet se: |
||
: (1) |
: (1) <math>(A, +_5)\!</math> është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas <math>\mathrm{modulit}\ 5\!</math>: |
||
<math>\begin{array}{l|cccccccc} |
<math>\begin{array}{l|cccccccc} |
||
\mathrm{Elementi} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ |
\mathrm{Elementi} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ |
||
Rreshti 53: | Rreshti 53: | ||
\end{array} |
\end{array} |
||
</MATH> |
</MATH> |
||
: (2) |
: (2) <math>(B, \cdot_7 )</math> është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas <math>\mathrm{modulit}\ 7\!</math> : |
||
<math>\begin{array}{l|cccccccc} |
<math>\begin{array}{l|cccccccc} |
||
\mathrm{Elementi} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ |
\mathrm{Elementi} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ |
Versioni i datës 4 qershor 2008 23:31
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
|
Shkalla UNI |
Gjykimet Bashkësitë |
Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :
Përkufizimi
Semigrupi (A, ) që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element a A ekziston elementi invers a-1 A.[1]
Sistemi i aksiomave të grupit
Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët lidhur me veprimin binar është grup, nëse plotësohen këto kushte :
- (a1) Bashkësia është e mbyllur lidhur me veprimin binar , pra:
- (a2) Veprimi binar është asociativ, pra :
- (a3) Në bashkësinë ekziston elementi neutral për veprimin binar , pra :
- (a4) Për secilin element ekziston elementi invers ashtu që :
Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.
Llojet e grupit
Nëse veprimi binar është komutativ, quhet grup komutativ ose abelian[2]. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, , respektivisht quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.
P.sh. grupe aditive janë : , ndërkaq grupe multiplikative janë : ku . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.
Grupi aditiv dhe multiplikativ
P.sh.: Të tregohet se bashkësia në lidhje me mbledhjen sipas është grup aditiv , kurse bashkësia në lidhje me shumëzimin, sipas , është grup multiplikativ .
Zgjidhje: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas , respektivisht duket kështu:
Nga këto tabela shihet se:
- (1) është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas :
- (2) është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas :
Veprimet në grup
Në përgjithësi, kur në grupin :
- - veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit përdoret simboli , atëherë quhet grup aditiv ; ndërsa kur
- - veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit përdoret simboli , atëherë quhet grup multiplikativ.
Për grupin aditiv (A, ) elementi neutral shënohet me 0 , kurse elementi invers (i kundërt) me - a .
- S h e m b u l l i 20. - - Të tregohet se bashkësia në lidhje me veprimin të përkufizuar me formulën :
- është grup (A, ) .
- Z g j i d h j e : : Meqë bashkësia A në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :
- (a1)
- (a2)
- (a3) dhe
- (a4)
konkludojmë se është grup aditiv.
Grupi i fundëm dhe i pafundëm
Grupi quhet i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia a është fundme apo e pafundme.
Përkufizimi
Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit a A , i tillë që me përsëritjen e veprimit në a riprodhohen të gjitha elementet e bashkësisë A.[3]
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
- ↑ 14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).