Grupi dhe nëngrupi: Dallime mes rishikimesh

Nga Wikibooks
Content deleted Content added
Rreshti 17: Rreshti 17:


==Llojet e grupit==
==Llojet e grupit==
Nëse veprimi binar {{o}} është komutativ, {{mate|(A, {{o}} )}} quhet grup ''komutativ'' ose ''abelian''<ref>14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .</ref>. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, {{mate|(A, +)}} , respektivisht {{mate|(A, .)}} quhet grup ''aditiv'', respektivisht grup ''multiplikativ''. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.
Nëse veprimi binar <math>\circ</math> është komutativ, <math>(A, \circ )\!</math> quhet grup ''komutativ'' ose ''abelian''<ref>14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .</ref>. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, <math>(A, +)\!</math> , respektivisht <math>(A,\cdot)\!</math> quhet grup ''aditiv'', respektivisht grup ''multiplikativ''. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.


P.sh. grupe aditive janë : {{mate|( {{numratQ}} , + ), ( {{numratR}} , + ), ( {{numratR}} \ {{numratQ}} , + )}} , ndërkaq grupe multiplikative janë : {{mate|( {{numratQ}} \{0}, .), ( {{numratR}} \{0}, .), (A, .)}} ku {{mate|A {{=}} { -1, 1, - i, i}} } . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.
P.sh. grupe aditive janë : <math>( \mathbb{Q} , + ), ( \mathbb{R} , + ), ( \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} , + )</math> , ndërkaq grupe multiplikative janë : <math>( \mathbb{Q}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace,\cdot), ( \mathbb{R}\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace , \cdot), (A, \cdot)</math> ku <math>A = \left\lbrace -1, 1, - i, i \right\rbrace\!</math> . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.
===Grupi aditiv dhe multiplikativ===
===Grupi aditiv dhe multiplikativ===
P.sh.: Të tregohet se bashkësia {{mate|A {{=}} {0, 1, 2, 3, 4}} } në lidhje me mbledhjen sipas {{mate|modulit 5}} është grup aditiv {{mate|(A, + )}} , kurse bashkësia {{mate|B {{=}} { 1, 2, 3, 4, 5, 6}} } në lidhje me shumëzimin, sipas {{mate|modulit 7}} , është grup multiplikativ {{mate|(B, -{{sub|7}} )}} .
P.sh.: Të tregohet se bashkësia <math>A = \left\lbrace 0, 1, 2, 3, 4\right\rbrace</math> në lidhje me mbledhjen sipas <math>\mathrm{modulit}\ 5\!</math> është grup aditiv <math>(A, +_5 )\!</math> , kurse bashkësia <math> B = \left\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6\right\rbrace</math> në lidhje me shumëzimin, sipas <math>\mathrm{modulit}\ 7\!</math> , është grup multiplikativ <math>(B, \cdot_7 )\!</math> .


<u>Zgjidhje</u>: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas {{mate|modulit 5}} , respektivisht {{mate|7}} duket kështu:
<u>Zgjidhje</u>: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas <math>\mathrm{modulit}\ 5\!</math> , respektivisht <math>7\!</math> duket kështu:
<math>\begin{array}{c|cccccccc}
<math>\begin{array}{c|cccccccc}
+_5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
+_5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
Rreshti 46: Rreshti 46:


Nga këto tabela shihet se:
Nga këto tabela shihet se:
: (1) {{mate|(A, +{{sub|5}} )}} është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas {{mate|modulit 5}} :
: (1) <math>(A, +_5)\!</math> është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas <math>\mathrm{modulit}\ 5\!</math>:
<math>\begin{array}{l|cccccccc}
<math>\begin{array}{l|cccccccc}
\mathrm{Elementi} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\mathrm{Elementi} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
Rreshti 53: Rreshti 53:
\end{array}
\end{array}
</MATH>
</MATH>
: (2) {{mate|(B, •{{sub|7}} )}} është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas {{mate|modulit 7}} :
: (2) <math>(B, \cdot_7 )</math> është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas <math>\mathrm{modulit}\ 7\!</math> :
<math>\begin{array}{l|cccccccc}
<math>\begin{array}{l|cccccccc}
\mathrm{Elementi} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\mathrm{Elementi} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\

Versioni i datës 4 qershor 2008 23:31

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet

Veprimet binare

Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :

Përkufizimi

Semigrupi (A, ) që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element a A ekziston elementi invers a-1 A.[1]

Sistemi i aksiomave të grupit

Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët lidhur me veprimin binar është grup, nëse plotësohen këto kushte :

(a1) Bashkësia është e mbyllur lidhur me veprimin binar , pra:
 ;
(a2) Veprimi binar është asociativ, pra :
 ;
(a3) Në bashkësinë ekziston elementi neutral për veprimin binar , pra :
 ; dhe
(a4) Për secilin element ekziston elementi invers ashtu që :
.

Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.

Llojet e grupit

Nëse veprimi binar është komutativ, quhet grup komutativ ose abelian[2]. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, , respektivisht quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.

P.sh. grupe aditive janë : , ndërkaq grupe multiplikative janë : ku . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.

Grupi aditiv dhe multiplikativ

P.sh.: Të tregohet se bashkësia në lidhje me mbledhjen sipas është grup aditiv , kurse bashkësia në lidhje me shumëzimin, sipas , është grup multiplikativ .

Zgjidhje: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas , respektivisht duket kështu:

Nga këto tabela shihet se:

(1) është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas :

(2) është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas  :

Veprimet në grup

Në përgjithësi, kur në grupin  :

- veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit përdoret simboli , atëherë quhet grup aditiv ; ndërsa kur
- veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit përdoret simboli , atëherë quhet grup multiplikativ.

Për grupin aditiv (A, ) elementi neutral shënohet me 0 , kurse elementi invers (i kundërt) me - a .

       S h e m b u l l i  20. -  - Të tregohet se bashkësia në lidhje me veprimin të përkufizuar me formulën :
është grup (A, ) .
       Z g j i d h j e : : Meqë bashkësia A në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :


(a1)


(a2)
(a3) dhe
(a4)

konkludojmë se është grup aditiv.

Grupi i fundëm dhe i pafundëm

Grupi quhet i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia a është fundme apo e pafundme.

Përkufizimi

Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit a A , i tillë që me përsëritjen e veprimit a riprodhohen të gjitha elementet e bashkësisë A.[3]

  1. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  2. 14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .
  3. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).