Grupi dhe nëngrupi: Dallime mes rishikimesh
Faqe e re: {{StyllaAlgjebraepërgjithëshme|Veprimet binare}} Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ... |
_ |
||
Rreshti 4: | Rreshti 4: | ||
{{HZP|Grupi}} |
{{HZP|Grupi}} |
||
==Sistemi i aksiomave të grupit== |
==Sistemi i aksiomave të grupit== |
||
Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët |
Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët <math>A</math> lidhur me veprimin binar <math>\circ</math> është grup, nëse plotësohen këto kushte : |
||
: (a |
: (a<sub>1</sub>) Bashkësia <math>A</math> është e mbyllur lidhur me veprimin binar <math>\circ</math> , pra: |
||
<CENTER> |
<CENTER> <math>(\forall a, b \in A)( \exist ! c \in A) a \circ b = c</math> ;</CENTER> |
||
: (a |
: (a<sub>2</sub>) Veprimi binar {{o}} është asociativ, pra : |
||
<CENTER> |
<CENTER> <math>( \forall a, b, c \in A)(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)</math> ;</CENTER> |
||
: (a |
: (a<sub>3</sub>) Në bashkësinë <math>A</math> ekziston elementi neutral për veprimin binar <math>\circ</math> , pra : |
||
<CENTER> {{mate|( {{ekziston!}} e {{enë}} A)( {{çdo}} a {{enë}} A)a {{O}} e {{=}} e {{o}} a {{=}} a}} ; dhe</CENTER> |
<CENTER> {{mate|( {{ekziston!}} e {{enë}} A)( {{çdo}} a {{enë}} A)a {{O}} e {{=}} e {{o}} a {{=}} a}} ; dhe</CENTER> |
||
: (a |
: (a<sub>4</sub>) Për secilin element {{mate|a {{enë}} A}} ekziston elementi invers {{mate|a{{sup|-1}} {{enë}} A}} ashtu që : |
||
<CENTER> {{mate|a {{o}} a{{sup|1}} {{=}} a{{sup|-1}} {{o}} a {{=}} e}} .</CENTER> |
<CENTER> {{mate|a {{o}} a{{sup|1}} {{=}} a{{sup|-1}} {{o}} a {{=}} e}} .</CENTER> |
||
Rreshti 23: | Rreshti 23: | ||
<u>Zgjidhje</u>: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas {{mate|modulit 5}} , respektivisht {{mate|7}} duket kështu: |
<u>Zgjidhje</u>: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas {{mate|modulit 5}} , respektivisht {{mate|7}} duket kështu: |
||
<math>\begin{array}{c|cccccccc} |
|||
+_5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ |
|||
{|border=0 align=center cellpadding=0 cellspacing=1 style="text-align: center;" |
|||
\hline |
|||
| {{mate|+<sub>5</sub>}} |
|||
0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ |
|||
|rowspan="7" bgcolor="black" style="width:1px" | |
|||
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ |
|||
| {{mate| 0 1 2 3 4}} |
|||
2 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\ |
|||
|rowspan="9" style="width:40px" | |
|||
3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\ |
|||
| {{mate|+<sub>7</sub>}} |
|||
4 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ |
|||
|rowspan="9" bgcolor="black" style="width:1px" | |
|||
\end{array}\qquad |
|||
| {{mate| 1 2 3 4 5 6}} |
|||
\begin{array}{c|cccccccc} |
|||
|-style="height:1px" |
|||
+_7 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ |
|||
|colspan="3" bgcolor="black" | |
|||
\hline |
|||
|colspan="3" bgcolor="black" | |
|||
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ |
|||
|- |
|||
2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \\ |
|||
| {{mate|0}} |
|||
3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 \\ |
|||
| {{mate| 0 1 2 3 4}} |
|||
4 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 \\ |
|||
| {{mate|1}} |
|||
5 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ |
|||
| {{mate| 1 2 3 4 5 6}} |
|||
6 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ |
|||
|- |
|||
\end{array} |
|||
| {{mate|1}} |
|||
</MATH> |
|||
| {{mate| 1 2 3 4 0}} |
|||
| {{mate|2}} |
|||
| {{mate| 2 3 4 5 6 1}} |
|||
|- |
|||
| {{mate|2}} |
|||
| {{mate| 2 3 4 0 1}} |
|||
| {{mate|3}} |
|||
| {{mate| 3 4 5 6 1 2}} |
|||
|- |
|||
| {{mate|3}} |
|||
| {{mate| 3 4 0 1 2}} |
|||
| {{mate|4}} |
|||
| {{mate| 4 5 6 1 2 3}} |
|||
|- |
|||
| {{mate|4}} |
|||
| {{mate| 4 0 1 2 3}} |
|||
| {{mate|5}} |
|||
| {{mate| 5 6 1 2 3 4}} |
|||
|- |
|||
|colspan="3"| |
|||
| {{mate|6}} |
|||
| {{mate| 6 1 2 3 4 5}} |
|||
|} |
|||
<br clean=all /> |
|||
Nga këto tabela shihet se: |
Nga këto tabela shihet se: |
||
: (1) {{mate|(A, +{{sub|5}} )}} është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas {{mate|modulit 5}} : |
|||
<math>\begin{array}{l|cccccccc} |
|||
{| |
|||
\mathrm{Elementi} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ |
|||
|{{dygishta}} |
|||
\hline |
|||
| Elementi|| {{mate|0 1 2 3 4}} |
|||
\mathrm{Elem.\ i\ kund\ddot{e}rt} & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 |
|||
|- |
|||
\end{array} |
|||
| ||colspan="2" bgcolor="black" | |
|||
</MATH> |
|||
|- |
|||
⚫ | |||
| ||Elem. i kundërt || {{mate|0 4 3 2 1}} |
|||
<math>\begin{array}{l|cccccccc} |
|||
|} |
|||
\mathrm{Elementi} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ |
|||
⚫ | |||
\hline |
|||
{| |
|||
\mathrm{Elem.\ imvers} & 1 & 4 & 5 & 2 & 3 & 6 |
|||
|{{dygishta}} |
|||
\end{array} |
|||
| Elementi|| {{mate|1 2 3 4 5 6}} |
|||
</MATH> |
|||
|- |
|||
| ||colspan="2" bgcolor="black" | |
|||
|- |
|||
| ||Elem. invers || {{mate|1 4 5 2 3 6}} |
|||
|} |
|||
==Veprimet në grup== |
==Veprimet në grup== |
||
Në përgjithësi, kur në grupin {{mate|(A, {{o}} ) }} : |
Në përgjithësi, kur në grupin {{mate|(A, {{o}} ) }} : |
||
Rreshti 91: | Rreshti 65: | ||
: - veprimi binar quhet ''shumëzim'' dhe në vend të simbolit {{o}} përdoret simboli {{o*}} , atëherë {{mate|(A, {{o*}} )}} quhet ''grup multiplikativ''. |
: - veprimi binar quhet ''shumëzim'' dhe në vend të simbolit {{o}} përdoret simboli {{o*}} , atëherë {{mate|(A, {{o*}} )}} quhet ''grup multiplikativ''. |
||
Për grupin aditiv {{mate|(A, {{o+}} )}} elementi neutral shënohet me {{mate|0}} , kurse elementi invers (i kundërt) me {{mate|- a}} . |
|||
{{S h e m b u l l i|20.}} - Të tregohet se bashkësia {{mate|A {{=}} {(a, b) {{f!}} a {{enë}} {{numratZ}} , b {{enë}} {{numratZ}} }} } në lidhje me veprimin {{o+}} të përkufizuar me formulën : |
{{S h e m b u l l i|20.}} - Të tregohet se bashkësia {{mate|A {{=}} {(a, b) {{f!}} a {{enë}} {{numratZ}} , b {{enë}} {{numratZ}} }} } në lidhje me veprimin {{o+}} të përkufizuar me formulën : |
||
<CENTER> {{mate|(a, b) {{o+}} (c, d) {{=}} (a+c, b+d) }}</CENTER> |
<CENTER> {{mate|(a, b) {{o+}} (c, d) {{=}} (a+c, b+d) }}</CENTER> |
Versioni i datës 4 qershor 2008 14:11
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
|
Shkalla UNI |
Gjykimet Bashkësitë |
Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :
Përkufizimi
Semigrupi (A, ) që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element a A ekziston elementi invers a-1 A.[1]
Sistemi i aksiomave të grupit
Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët lidhur me veprimin binar është grup, nëse plotësohen këto kushte :
- (a1) Bashkësia është e mbyllur lidhur me veprimin binar , pra:
- (a2) Veprimi binar është asociativ, pra :
- (a3) Në bashkësinë ekziston elementi neutral për veprimin binar , pra :
- (a4) Për secilin element a A ekziston elementi invers a-1 A ashtu që :
Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.
Llojet e grupit
Nëse veprimi binar është komutativ, (A, ) quhet grup komutativ ose abelian[2]. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, (A, +) , respektivisht (A, .) quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.
P.sh. grupe aditive janë : ( , + ), ( , + ), ( \ , + ) , ndërkaq grupe multiplikative janë : ( \{0}, .), ( \{0}, .), (A, .) ku A = { -1, 1, - i, i } . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.
Grupi aditiv dhe multiplikativ
P.sh.: Të tregohet se bashkësia A = {0, 1, 2, 3, 4 } në lidhje me mbledhjen sipas modulit 5 është grup aditiv (A, + ) , kurse bashkësia B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } në lidhje me shumëzimin, sipas modulit 7 , është grup multiplikativ (B, -7 ) .
Zgjidhje: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas modulit 5 , respektivisht 7 duket kështu:
Nga këto tabela shihet se:
- (1) (A, +5 ) është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas modulit 5 :
- (2) (B, •7 ) është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas modulit 7 :
Veprimet në grup
Në përgjithësi, kur në grupin (A, ) :
- - veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit përdoret simboli , atëherë (A, ) quhet grup aditiv ; ndërsa kur
- - veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit përdoret simboli , atëherë (A, ) quhet grup multiplikativ.
Për grupin aditiv (A, ) elementi neutral shënohet me 0 , kurse elementi invers (i kundërt) me - a .
- S h e m b u l l i 20. - - Të tregohet se bashkësia A = {(a, b) a , b } në lidhje me veprimin të përkufizuar me formulën :
- është grup (A, ) .
- Z g j i d h j e : : Meqë bashkësia A në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :
- konkludojmë se (A, ) është grup aditiv.
- Grupi (A, ) quhet i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia A a është fundme apo e pafundme.
- P ë r k u f i z i m i 6.2. - Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit a A , i tillë që me përsëritjen e veprimit në a riprodhohen të gjitha elementet e bashkësisë A.
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
- ↑ 14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .