Dallime mes rishikimeve të "Grupi dhe nëngrupi"

Jump to navigation Jump to search
1.215 bytes removed ,  14 vjet më parë
_
(Faqe e re: {{StyllaAlgjebraepërgjithëshme|Veprimet binare}} Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ...)
 
(_)
{{HZP|Grupi}}
==Sistemi i aksiomave të grupit==
Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët {{mate|<math>A}}</math> lidhur me veprimin binar {{o}}<math>\circ</math> është grup, nëse plotësohen këto kushte :
: (a{{<sub|>1}} </sub>) Bashkësia {{mate|<math>A}}</math> është e mbyllur lidhur me veprimin binar {{o}}<math>\circ</math> , pra:
<CENTER> {{mate|<math>( {{çdo}}\forall a, b {{enë}}\in A)( {{ekziston\exist !}} c {{enë}}\in A) a {{o}}\circ b {{=}} c}}</math> ;</CENTER>
: (a{{<sub|>2}} </sub>) Veprimi binar {{o}} është asociativ, pra :
<CENTER> {{mate|<math>( {{çdo}}\forall a, b, c {{enë}}\in A)(a {{o}}\circ b) {{o}}\circ c {{=}} a {{o}}\circ (b {{o}}\circ c)}}</math> ;</CENTER>
: (a{{<sub|>3}} </sub>) Në bashkësinë {{mate|<math>A}}</math> ekziston elementi neutral për veprimin binar {{o}}<math>\circ</math> , pra :
<CENTER> {{mate|( {{ekziston!}} e {{enë}} A)( {{çdo}} a {{enë}} A)a {{O}} e {{=}} e {{o}} a {{=}} a}} ; dhe</CENTER>
: (a{{<sub|>4}} </sub>) Për secilin element {{mate|a {{enë}} A}} ekziston elementi invers {{mate|a{{sup|-1}} {{enë}} A}} ashtu që :
<CENTER> {{mate|a {{o}} a{{sup|1}} {{=}} a{{sup|-1}} {{o}} a {{=}} e}} .</CENTER>
 
 
<u>Zgjidhje</u>: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas {{mate|modulit 5}} , respektivisht {{mate|7}} duket kështu:
<math>\begin{array}{c|cccccccc}
 
+_5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
{|border=0 align=center cellpadding=0 cellspacing=1 style="text-align: center;"
\hline
| {{mate|+<sub>5</sub>}}
0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
|rowspan="7" bgcolor="black" style="width:1px" |
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
| {{mate|&nbsp;&nbsp;0&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp; 4}}
2 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\
|rowspan="9" style="width:40px" |
3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\
| {{mate|+<sub>7</sub>}}
4 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
|rowspan="9" bgcolor="black" style="width:1px" |
\end{array}\qquad
| {{mate|&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp; 4&nbsp;&nbsp; 5&nbsp;&nbsp; 6}}
\begin{array}{c|cccccccc}
|-style="height:1px"
+_7 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
|colspan="3" bgcolor="black" |
\hline
|colspan="3" bgcolor="black" |
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
|-
2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \\
| {{mate|0}}
3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 \\
| {{mate|&nbsp;&nbsp;0&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp; 4}}
4 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 \\
| {{mate|1}}
5 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
| {{mate|&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp; 4&nbsp;&nbsp; 5&nbsp;&nbsp; 6}}
6 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
|-
\end{array}
| {{mate|1}}
</MATH>
| {{mate|&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp; 4&nbsp;&nbsp; 0}}
| {{mate|2}}
| {{mate|&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp; 4&nbsp;&nbsp; 5&nbsp;&nbsp; 6&nbsp;&nbsp; 1}}
|-
| {{mate|2}}
| {{mate|&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp; 4&nbsp;&nbsp; 0&nbsp;&nbsp; 1}}
| {{mate|3}}
| {{mate|&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp; 4&nbsp;&nbsp; 5&nbsp;&nbsp; 6&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp; 2}}
|-
| {{mate|3}}
| {{mate|&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp; 4&nbsp;&nbsp; 0&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp; 2}}
| {{mate|4}}
| {{mate|&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp; 5&nbsp;&nbsp; 6&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp; 3}}
|-
| {{mate|4}}
| {{mate|&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp; 0&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp; 3}}
| {{mate|5}}
| {{mate|&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp; 6&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp; 4}}
|-
|colspan="3"| &nbsp;
| {{mate|6}}
| {{mate|&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp; 2&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp; 4&nbsp;&nbsp; 5}}
|}
<br clean=all />
 
Nga këto tabela shihet se:
{{dygishta}}: (1) {{mate|(A, +{{sub|5}} )}} është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas {{mate|modulit 5}} :
<math>\begin{array}{l|cccccccc}
{|
\mathrm{Elementi} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
|{{dygishta}}
\hline
| Elementi||&nbsp;&nbsp;{{mate|0 1 2 3 4}}
\mathrm{Elem.\ i\ kund\ddot{e}rt} & 4 & 3 & 2 & 1 & 0
|-
\end{array}
| ||colspan="2" bgcolor="black" |
</MATH>
|-
{{dygishta}}: (2) {{mate|(B, •{{sub|7}} )}} është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas {{mate|modulit 7}} :
| ||Elem. i kundërt ||&nbsp;&nbsp; {{mate|0 4 3 2 1}}
<math>\begin{array}{l|cccccccc}
|}
\mathrm{Elementi} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
{{dygishta}} (2) {{mate|(B, •{{sub|7}} )}} është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas {{mate|modulit 7}} :
\hline
{|
\mathrm{Elem.\ imvers} & 1 & 4 & 5 & 2 & 3 & 6
|{{dygishta}}
\end{array}
| Elementi||&nbsp;&nbsp;{{mate|1 2 3 4 5 6}}
</MATH>
|-
 
| ||colspan="2" bgcolor="black" |
|-
| ||Elem. invers ||&nbsp;&nbsp; {{mate|1 4 5 2 3 6}}
|}
==Veprimet në grup==
Në përgjithësi, kur në grupin {{mate|(A, {{o}} ) }} :
: - veprimi binar quhet ''shumëzim'' dhe në vend të simbolit {{o}} përdoret simboli {{o*}} , atëherë {{mate|(A, {{o*}} )}} quhet ''grup multiplikativ''.
 
{{dygishta}} Për grupin aditiv {{mate|(A, {{o+}} )}} elementi neutral shënohet me {{mate|0}} , kurse elementi invers (i kundërt) me {{mate|- a}} .
{{S h e m b u l l i|20.}} - Të tregohet se bashkësia {{mate|A {{=}} {(a, b) {{f!}} a {{enë}} {{numratZ}} , b {{enë}} {{numratZ}} }} } në lidhje me veprimin {{o+}} të përkufizuar me formulën :
<CENTER> {{mate|(a, b) {{o+}} (c, d) {{=}} (a+c, b+d) }}</CENTER>
10.849

edits

Menyja e lëvizjeve